Définition de matrice et types de matrices

Dans cet article, nous expliquons ce que sont les matrices et comment la dimension d’une matrice est déterminée. De plus, vous verrez des exemples de matrices. Et, enfin, vous trouverez quels sont les types de matrices les plus importants.

Qu’est-ce qu’une matrice ?

une matrice de commande

$m \times n$ est un ensemble de nombres disposés en $m$ rangées et $n$ Colonnes:

$\displaystyle A =\left( \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\[1.1ex] a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\[1.1ex] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\[1.1ex] a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{array} \right)$

exemples de matrice

Voici plusieurs exemples de différentes matrices :

$\displaystyle A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\[1.1ex] 1 & 4 & -3 \\[1.1ex] -2 & 8 & 7 \end{pmatrix} \qquad B = \begin{pmatrix} 9 & 2 \\[1.1ex] 5 & 6 \end{pmatrix} \qquad C = \begin{pmatrix} 5 & 2 & -3 \\[1.1ex] 2 & 1 & 8 \end{pmatrix}$

Dimension d’un tableau

La dimension d’un tableau est

$\bm{m \times n}$ . Où $m$ correspond au nombre de lignes de la matrice, et $n$ au nombre de colonnes.

Exemples:

matrice des dimensions

$2 \times 3:$

$\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 2 & 5 \\[1.1ex] -1 & 3 & 4 \end{pmatrix}$

matrice des dimensions

$2 \times 1 :$

$\displaystyle \begin{pmatrix} 5 \\[1.1ex] 2 \end{pmatrix}$

Types de matrices

Nous expliquons ci-dessous les caractéristiques des types de matrices les plus importants.

matrice de lignes

C’est cette matrice qui n’a qu’une ligne :

$\displaystyle\begin{pmatrix} 3 & 6 & -2 \end{pmatrix}$

matrice de colonne

C’est cette matrice qui n’a qu’une seule colonne :

$\displaystyle \begin{pmatrix} 6 \\[1.1ex] 4 \end{pmatrix}$

matrice transposée

La transposition ou matrice de transposition est la matrice obtenue en changeant les lignes en colonnes . Et il est représenté en mettant un “t” en haut à droite de la matrice

$\left(A^t \right) .$

Exemples:

$\displaystyle A= \begin{pmatrix} 2 & 3 \\[1.1ex] -1 & 5 \end{pmatrix} \ \longrightarrow \ A^t= \begin{pmatrix} 2 & -1 \\[1.1ex] 3 & 5 \end{pmatrix}$

$\displaystyle B= \begin{pmatrix} 1 & 5 & 4 \\[1.1ex] 3 & 0 & 2 \end{pmatrix} \ \longrightarrow \ B^t= \begin{pmatrix} 1 & 3 \\[1.1ex] 5 & 0 \\[1.1ex] 4 & 2 \end{pmatrix}$

Matrice Carrée

Une matrice carrée est une matrice qui a le même nombre de lignes que de colonnes.

$(m=n ) .$

Par exemple, une matrice carrée d’ordre 3 serait :

$\displaystyle \left( \begin{array}{ccc} 1 & 6 & 3 \\[1.1ex] 2 & 4 & 0 \\[1.1ex] 5 & -1 & 2 \end{array} \right)$

La diagonale principale d’une matrice carrée est constituée des éléments qui vont du coin supérieur gauche au coin inférieur droit :

La diagonale secondaire d’une matrice carrée correspond aux éléments qui vont du coin inférieur gauche au coin supérieur droit :

Nous vous recommandons de voir toutes les propriétés des matrices carrées , car elles sont probablement le type de matrices le plus utilisé et, par conséquent, elles sont très importantes pour l’algèbre linéaire.

matrice triangulaire

Une matrice triangulaire est une matrice dans laquelle tous les éléments au-dessus ou au-dessous de la diagonale principale sont 0.

Les matrices triangulaires se divisent en deux types : les matrices triangulaires supérieures , dont les éléments sous la diagonale principale sont nuls, et les matrices triangulaires inférieures , dont les éléments au-dessus de la diagonale principale sont nuls. Pour bien comprendre les différences entre eux, vous pouvez consulter d’autres exemples de matrices triangulaires .

Matrice triangulaire supérieure :

$\displaystyle \begin{pmatrix} 4 & 1 & 7 \\[1.1ex] 0 & 2 & 5 \\[1.1ex] 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}$

Matrice triangulaire inférieure :

$\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\[1.1ex] 2 & 3 & 0 \\[1.1ex] -1 & 2 & 4 \end{pmatrix}$

matrice diagonale

Une matrice diagonale est une matrice carrée dans laquelle tous les éléments qui ne sont pas sur la diagonale principale sont des zéros. Vous pouvez voir les propriétés et d’autres exemples de matrices diagonales dans ce lien.

$\displaystyle \begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 \\[1.1ex] 0 & 2 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & -3 \end{pmatrix}$

Bien que ces matrices semblent très simples car elles contiennent beaucoup de 0, elles sont en fait très importantes pour les mathématiques. En fait, il existe toute une procédure pour diagonaliser une matrice, donc les matrices diagonalisables sont d’une grande importance.

matrice scalaire

Une matrice scalaire est une matrice diagonale dans laquelle tous les éléments de la diagonale principale sont égaux. Si vous le souhaitez, vous pouvez voir ici d’autres exemples de matrices scalaires .

$\displaystyle \begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 \\[1.1ex] 0 & 4 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}$

Matrice ou unité d’identité

La matrice identité est une matrice diagonale dans laquelle tous les éléments de la diagonale principale valent 1.

$\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\[1.1ex] 0 & 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

Comme toute matrice diagonale, elle ressemble à un type de matrice très simple. Mais ne vous fiez pas à son apparence, c’est une matrice largement utilisée en raison de ses propriétés, par exemple elle sert à inverser une matrice. Nous vous recommandons d’examiner les propriétés de la matrice d’identité afin de comprendre son utilité.

matrice nulle

Une matrice nulle est une matrice dans laquelle tous ses éléments sont 0 :

$\displaystyle \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

Comme vous pouvez le voir, cette matrice n’est pas complexe du tout. Mais même si cela n’en a pas l’air, il a ses utilisations. Vous pouvez voir leurs applications sur la page des propriétés de la matrice nulle .

matrice symétrique

Une matrice symétrique est une matrice dont la diagonale principale est un axe de symétrie.

$\displaystyle \begin{pmatrix} 2 & 3 & -1 \\[1.1ex] 3 & 5 & 9 \\[1.1ex] -1 & 9 & 1 \end{pmatrix}$

En raison des propriétés des matrices symétriques , le résultat de la transposition d’une matrice symétrique est la matrice elle-même.

matrice antisymétrique

Une matrice antisymétrique est une matrice dans laquelle la diagonale principale est remplie de zéros et, de plus, c’est un axe d’antisymétrie.

$\displaystyle \begin{pmatrix} 0 & 4 & 2 \\[1.1ex] -4 & 0 & -3 \\[1.1ex] -2 & 3 & 0 \end{pmatrix}$

Dans le lien suivant, vous pouvez voir toutes les propriétés et plus d’exemples de matrices antisymétriques .

Maintenant que vous avez vu les types de tableaux, vous vous demandez sûrement… et à quoi ça sert tout ça ? Eh bien, l’une des principales applications est les opérations matricielles, dont la plus importante est la multiplication, dont vous pouvez également voir comment cela se fait sur la page de la matrice de multiplication .