Matrice régulière

Sur cette page vous verrez ce qu’est une matrice normale ainsi que des exemples de matrices normales. De plus, vous trouverez les propriétés de ce type de matrices et des exercices résolus pas à pas.

Qu’est-ce qu’une matrice normale ?

La définition de tableau normale est la suivante :

Une matrice normale est une matrice complexe qui multipliée par sa matrice transposée conjuguée est égale au produit de la transposée conjuguée par elle-même.

$A\cdot A^*=A^*\cdot A$

Où

$A^*$ est la matrice transposée conjuguée de $A$ .

Cependant, s’il s’agit de matrices à nombres réels , la condition précédente revient à dire qu’une matrice commute avec sa transposée, c’est-à-dire :

$A\cdot A^t=A^t\cdot A$

Car, évidemment, la matrice transposée conjuguée d’une matrice réelle est simplement la matrice transposée (ou transposée).

Exemples de matrices normales

Exemple avec des nombres complexes

La matrice carrée complexe suivante de dimension 2×2 est normale :

exemple de matrice normale avec des nombres complexes de dimension 2x2

La démonstration de sa normalité est jointe ci-dessous :

$\displaystyle A\cdot A^* = \begin{pmatrix} i & i \\[1.1ex] i & -i \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -i & -i \\[1.1ex] -i & i \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 2 & 0 \\[1.1ex] 0 & 2 \end{pmatrix}$

$\displaystyle A^*\cdot A = \begin{pmatrix} -i & -i \\[1.1ex] -i & i \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} i & i \\[1.1ex] i & -i \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\[1.1ex] 0 & 2 \end{pmatrix}$

Exemple avec des nombres réels

La matrice carrée suivante avec des nombres réels d’ordre 2 est également normale :

exemple de matrice normale avec des nombres réels de dimension 2x2

Dans ce cas, puisqu’elle n’a que des nombres réels, pour prouver qu’elle est normale il suffit de vérifier que la matrice est commutable avec sa transposée :

$\displaystyle B\cdot B^t = \begin{pmatrix} 2 & -2 \\[1.1ex] 2 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & 2 \\[1.1ex] -2 & 2 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 8 & 0 \\[1.1ex] 0 & 8 \end{pmatrix}$

$\displaystyle B^t\cdot B =\begin{pmatrix} 2 & 2 \\[1.1ex] -2 & 2 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 2 & -2 \\[1.1ex] 2 & 2 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 8 & 0 \\[1.1ex] 0 & 8 \end{pmatrix}$

Propriétés des matrices normales

Les matrices normales ont les caractéristiques suivantes :

Toutes les matrices normales sont des matrices diagonalisables.

Chaque matrice unitaire est aussi une matrice normale.

De même, une matrice hermitienne est une matrice normale.

De même, une matrice antihermitienne est une matrice normale.

Si A est une matrice normale, les valeurs propres (ou valeurs propres) de la matrice transposée conjuguée A* sont les valeurs propres conjuguées de A.

$\displaystyle A=\begin{pmatrix}2i&-1+i\\[1.1ex] 1+i&i\end{pmatrix} \longrightarrow \ \lambda_{A,1} = 0 \ ; \ \lambda_{A,2} = +3i$

$\displaystyle A^*=\begin{pmatrix}-2i&1-i\\[1.1ex] -1-i&-i\end{pmatrix} \longrightarrow \ \lambda_{A^*,1} = 0 \ ; \ \lambda_{A^*,2} = -3i$

Dans les matrices normales, les vecteurs propres (ou vecteurs propres) associés aux différentes valeurs propres sont orthogonaux.

Si une matrice est composée uniquement de nombres réels et est symétrique , c’est en même temps une matrice normale.

De même, une matrice réelle antisymétrique est aussi une matrice normale.

Enfin, toute matrice orthogonale formée de nombres réels est aussi une matrice normale.

Exercices résolus de matrices normales

Exercice 1

Vérifiez que la matrice complexe suivante de dimension 2 × 2 est normale :

$\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&2+3i\\[1.1ex] 2+3i&1\end{pmatrix}$

voir solution

Pour montrer que la matrice est normale il faut d’abord calculer sa transposée conjuguée :

$\displaystyle A^*=\begin{pmatrix}1&2-3i\\[1.1ex] 2-3i&1\end{pmatrix}$

Et maintenant on fait la vérification en multipliant la matrice A par la matrice A* dans les deux sens possibles :

$\displaystyle A\cdot A^* = \begin{pmatrix}1&2+3i\\[1.1ex] 2+3i&1\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}1&2-3i\\[1.1ex] 2-3i&1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}14&4\\[1.1ex] 4&14\end{pmatrix}$

$\displaystyle A^*\cdot A =\begin{pmatrix}1&2-3i\\[1.1ex] 2-3i&1\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}1&2+3i\\[1.1ex] 2+3i&1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}14&4\\[1.1ex] 4&14\end{pmatrix}$

Le résultat des deux multiplications est le même, donc la matrice A est normale.

Exercice 2

Montrer que la matrice réelle suivante de taille 2 × 2 est normale :

$\displaystyle A=\begin{pmatrix}3&5\\[1.1ex] -5&3\end{pmatrix}$

voir solution

Puisque dans ce cas on a affaire à un environnement avec uniquement des nombres réels, il suffit de vérifier que le produit matriciel entre la matrice A et sa transposée donne le même résultat quel que soit le sens de la multiplication :

$\displaystyle A\cdot A^t = \begin{pmatrix}3&5\\[1.1ex] -5&3\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}3&-5\\[1.1ex] 5&3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}34&0\\[1.1ex] 0&34\end{pmatrix}$

$\displaystyle A^t\cdot A = \begin{pmatrix}3&-5\\[1.1ex] 5&3\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}3&5\\[1.1ex] -5&3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}34&0\\[1.1ex] 0&34\end{pmatrix}$

Le résultat des deux produits est le même, donc la matrice A est normale.

Exercice 3

Déterminez si la matrice suivante de nombres complexes d’ordre 2 est normale :

$\displaystyle A=\begin{pmatrix}4i&-1+i\\[1.1ex] 1-i&4i\end{pmatrix}$

voir solution

Pour vérifier que la matrice est normale, il faut d’abord calculer sa transposée conjuguée :

$\displaystyle A^*=\begin{pmatrix}-4i&1+i\\[1.1ex] -1-i&-4i\end{pmatrix}$

Et maintenant on vérifie si la matrice A et sa transposée conjuguée sont commutables :

$\displaystyle A\cdot A^* = \begin{pmatrix}4i&-1+i\\[1.1ex] 1-i&4i\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}-4i&1+i\\[1.1ex] -1-i&-4i\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}18&8i\\[1.1ex] -8i&18\end{pmatrix}$

$\displaystyle A^*\cdot A =\begin{pmatrix}-4i&1+i\\[1.1ex] -1-i&-4i\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}4i&-1+i\\[1.1ex] 1-i&4i\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}18&8i\\[1.1ex] -8i&18\end{pmatrix}$

Le résultat des deux multiplications est le même, donc la matrice A est normale.

Exercice 4

Vérifiez que la matrice réelle suivante de dimension 3×3 est normale :

$\displaystyle A=\begin{pmatrix} -1&1&0\\[1.1ex] 0&-1&1\\[1.1ex] 1&0&-1\end{pmatrix}$

voir solution

La matrice étant entièrement composée d’éléments réels, il suffit de vérifier que le produit matriciel entre la matrice A et sa transposée est indépendant du sens de la multiplication :

$\displaystyle A\cdot A^t = \begin{pmatrix} -1&1&0\\[1.1ex] 0&-1&1\\[1.1ex] 1&0&-1\end{pmatrix} \cdot\begin{pmatrix}-1&0&1\\[1.1ex] 1&-1&0\\[1.1ex] 0&1&-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&-1&-1\\[1.1ex] -1&2&-1\\[1.1ex] -1&-1&2\end{pmatrix}$

$\displaystyle A^t\cdot A =\begin{pmatrix}-1&0&1\\[1.1ex] 1&-1&0\\[1.1ex] 0&1&-1\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} -1&1&0\\[1.1ex] 0&-1&1\\[1.1ex] 1&0&-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&-1&-1\\[1.1ex] -1&2&-1\\[1.1ex] -1&-1&2\end{pmatrix}$

Le résultat des deux produits est le même, donc la matrice A est normale.

Exercice 5

Déterminez si la matrice complexe suivante d’ordre 3×3 est normale :

$\displaystyle A=\begin{pmatrix}4&3-2i & 5i \\[1.1ex] 3+2i & 0 & -1-3i \\[1.1ex] -5i & -1+3i & 1\end{pmatrix}$

voir solution

Tout d’abord, nous calculons la transposée conjuguée de la matrice :

$\displaystyle A^*=\begin{pmatrix}4&3-2i & 5i \\[1.1ex] 3+2i & 0 & -1-3i \\[1.1ex] -5i & -1+3i & 1\end{pmatrix}$

Maintenant, nous devons faire les multiplications matricielles entre la matrice A et sa transposée conjuguée dans les deux sens possibles. Cependant, la matrice transposée conjuguée de A est égale à la matrice A elle-même, il s’agit donc d’une matrice hermitienne. Et par conséquent, des propriétés des matrices normales, il résulte que A est une matrice normale , car toute matrice hermitienne est une matrice normale.

Qu’est-ce qu’une matrice normale ?

Exemples de matrices normales

Exemple avec des nombres complexes

Exemple avec des nombres réels

Propriétés des matrices normales

Exercices résolus de matrices normales

Exercice 1

Exercice 2

Exercice 3

Exercice 4

Exercice 5

Leave a Comment Cancel Reply