Matrice antihermitienne (ou antihermitienne)

Sur cette page, vous verrez ce qu’est une matrice antihermitienne, également appelée matrice antihermitienne. Vous trouverez des exemples de matrices anti-hermitiennes, toutes leurs propriétés et la forme de ce type de matrices carrées complexes. Enfin, vous trouverez l’explication de la façon de décomposer n’importe quelle matrice complexe en la somme d’une matrice anti-hermitienne plus une autre matrice hermitienne.

Qu’est-ce qu’une matrice antihermitienne ou antihermitienne ?

Par curiosité, ce type de matrice est appelé ainsi car il remplit la condition opposée de la matrice hermitienne , dont le nom vient de l’important mathématicien français Charles Hermite, professeur et chercheur de mathématiques du XIXe siècle qui a fait d’importantes études notamment dans le domaine de l’algèbre linéaire.

Exemples de matrices antihermitiennes

Une fois que nous avons vu la définition de matrice antihermitienne (ou matrice antihermitienne) nous allons voir quelques exemples de matrices antihermitiennes de différentes dimensions :

Exemple de matrice anti-hermitienne d’ordre 2×2

Exemple de matrice antihermitienne de dimension 3×3

Exemple de matrice anti-hermitienne de taille 4×4

Comme vous pouvez le voir, les matrices A, B et C sont anti-hermitiennes car la matrice transposée conjuguée de chacune est égale à la matrice elle-même mais avec tous les éléments changés de signe.

Structure d’une matrice antihermitienne

Si vous avez déjà regardé les exemples précédents, les matrices anti-hermitiennes ont toujours la même structure : elles sont constituées de nombres imaginaires (sans partie réelle) sur la diagonale principale, et l’élément complexe situé sur la ième ligne et la La jème colonne doit avoir la même partie imaginaire et la même partie réelle mais changée de signe que l’élément de la jème ligne et de la ième colonne.

Bien qu’écrit cela puisse sembler un peu compliqué, il est sûrement mieux compris par l’exemple suivant :

Structure d’une matrice antihermitienne de dimension 2×2

Comme vous pouvez le voir, les éléments de la diagonale principale d’une matrice anti-hermitienne sont totalement imaginaires et les éléments de la diagonale secondaire ont la même partie imaginaire et la partie réelle a changé de signe.

Par conséquent, la partie réelle d’une matrice antihermitienne doit être antisymétrique et la partie imaginaire symétrique.

Propriétés de la matrice antihermitienne

Nous allons maintenant voir quelles sont les propriétés de ce type de matrice complexe carrée :

• Chaque matrice antihermitienne est un exemple de matrice normale . Bien que toutes les matrices normales ne soient pas des matrices antihermitiques.

• Toute matrice anti-hermitienne est diagonalisable. De plus, la matrice diagonale obtenue ne contient que des éléments purement imaginaires.

• Par conséquent, les valeurs propres (ou valeurs propres) d’une matrice antihermitienne sont toujours des nombres imaginaires.

• De même, les vecteurs propres (ou vecteurs propres) de différentes valeurs propres d’une matrice anti-hermitienne sont orthogonaux.

• Une matrice de nombres réels, c’est-à-dire qu’aucun élément n’a de partie imaginaire, est anti-hermitienne si et seulement si c’est une matrice antisymétrique .

• Une matrice antihermitienne peut être exprimée comme la somme d’une matrice antisymétrique réelle et d’une matrice symétrique imaginaire.

• La somme (ou la soustraction) de deux matrices antihermitiennes est égale à une autre matrice antihermitienne.

• Le résultat du produit d’une matrice antihermitienne et d’un scalaire est une autre matrice antihermitienne si le scalaire est un nombre réel.

• La puissance d’une matrice anti-hermitienne est égale à une matrice anti-hermitienne si l’exposant est impair ; en revanche, si elle est élevée à un exposant pair, le résultat sera une matrice hermitienne.

• Ouais est une matrice antihermitienne, alors le produit est une matrice hermitienne.

Décomposition d’une matrice complexe en une matrice anti-hermitienne et une matrice hermitienne

Toute matrice contenant des nombres complexes peut être décomposée en la somme d’une matrice anti-hermitienne plus une autre matrice hermitienne . Mais pour cela il faut connaître les caractéristiques suivantes de ces types de matrices :

• La somme d’une matrice complexe carrée plus son conjugué transposé équivaut à une matrice hermitienne (ou hermitienne):

• La différence entre une matrice complexe carrée et sa conjuguée transposée est égale à une matrice anti-hermitienne :

• Par conséquent, toutes les matrices complexes peuvent être décomposées en la somme d’une matrice hermitienne et d’une matrice anti-hermitienne. Ce théorème est connu sous le nom de décomposition de Teoplitz :

Où C est la matrice complexe que l’on veut décomposer, C* sa conjuguée transposée, et enfin A et B sont respectivement les matrices hermitienne et anti-hermitienne en lesquelles la matrice C est décomposée.