Matrice unitaire

Sur cette page, nous expliquons ce qu’est la matrice unitaire et, en plus, nous l’illustrons avec plusieurs exercices afin qu’elle soit bien comprise. Vous découvrirez également quelles sont toutes les propriétés de ce type de matrice si important pour l’algèbre linéaire.

Qu’est-ce qu’une matrice unitaire ?

La définition de matrice unitaire est la suivante :

Une matrice unitaire est une matrice complexe qui multipliée par sa matrice transposée conjuguée est égale à la matrice d’identité. C’est-à-dire que la condition suivante est remplie :

U\cdot U^* = U^* \cdot U =I

Où

U est une matrice unitaire etU^* sa transposée conjuguée.

Par conséquent, cette condition implique que l’inverse d’une matrice unitaire est sa transposée conjuguée , car, selon la définition d’une matrice inverse, une matrice est l’inverse d’une autre si son produit est équivalent à la matrice d’identité.

\left.\begin{array}{c} U \cdot U^* =I \\[2ex] U \cdot U^{-1} = I\end{array} \right\} \longrightarrow \ U^*=U^{-1}

Par conséquent, une matrice unitaire sera toujours une matrice régulière ou non dégénérée , puisqu’elle aura toujours un inverse.

Par contre, l’analogue d’une matrice unitaire dans un environnement à nombres réels est la matrice orthogonale , et dans ce cas il est vrai que la matrice unitaire multipliée par sa transposée est égale à la matrice d’identité.

U\cdot U^t = U^t \cdot U =I

Donc dans ce cas la matrice inverse de U serait directement sa matrice transposée (ou transposée).

Exemples de matrices unitaires

Exemple de matrice unitaire de dimension 2×2

Une fois que nous avons vu le concept de matrice unitaire, nous allons voir un exemple de matrice unitaire 2×2 pour bien le comprendre :

exemple de matrice unitaire de dimension 2x2

Cette matrice est unitaire car la multiplication d’elle-même par sa matrice conjuguée donne la matrice Identité (ou Unité) :

\displaystyle U\cdot U^*=\cfrac{1}{3} \begin{pmatrix} 2 & -2+i \\[1.1ex] 2+i & 2 \end{pmatrix}\cdot \cfrac{1}{3} \begin{pmatrix} 2 & 2-i \\[1.1ex] -2-i & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 1 \end{pmatrix}

Et, comme nous l’avons vu précédemment, toute matrice unitaire est commutable avec sa transposée conjuguée :

\displaystyle U^*\cdot U=\cfrac{1}{3} \begin{pmatrix} 2 & 2-i \\[1.1ex] -2-i & 2 \end{pmatrix}\cdot \cfrac{1}{3} \begin{pmatrix} 2 & -2+i \\[1.1ex] 2+i & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 1 \end{pmatrix}

Exemple de matrice diagonale unitaire

La matrice diagonale composée uniquement du nombre complexe i est également un exemple de matrice unitaire, quelle que soit la dimension de la matrice. Ci-dessous, vous avez un exercice résolu illustrant cela avec une matrice unitaire de dimension 3 × 3 :

exemple de matrice unitaire de dimension 3x3

Notez que si nous résolvons le produit de la matrice par sa transposée conjuguée, cela donne la matrice Identité comme solution :

\displaystyle U\cdot U^* =\begin{pmatrix} i & 0 & 0 \\[1.1ex] 0 & i & 0 \\[1.1ex] 0& 0 & i \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} -i & 0 & 0 \\[1.1ex] 0 & -i & 0 \\[1.1ex] 0& 0 & -i \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\[1.1ex] 0 & 1 & 0 \\[1.1ex] 0& 0 & 1 \end{pmatrix}

Et la même chose se produit si nous multiplions les matrices dans le sens inverse :

\displaystyle U^*\cdot U =\begin{pmatrix} -i & 0 & 0 \\[1.1ex] 0 & -i & 0 \\[1.1ex] 0& 0 & -i \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} i & 0 & 0 \\[1.1ex] 0 & i & 0 \\[1.1ex] 0& 0 & i \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\[1.1ex] 0 & 1 & 0 \\[1.1ex] 0& 0 & 1 \end{pmatrix}

La caractéristique de cette matrice est qu’elle sert d’exemple de matrice unitaire de n’importe quelle dimension, puisque chaque fois que la matrice est formée par le nombre imaginaire i sur la diagonale principale et que le reste des éléments sont nuls (0) ce sera une matrice unitaire.

Propriétés d’une matrice unitaire

Les propriétés des matrices unitaires sont les suivantes :

  • Évidemment, toute matrice unitaire est une matrice normale . Bien que toutes les matrices normales ne soient pas des matrices unitaires.
  • Toutes les matrices unitaires sont diagonalisables, c’est-à-dire qu’elles peuvent être transformées en matrices diagonales.
  • La valeur absolue du déterminant d’une matrice unitaire est toujours égale à 1.

\begin{vmatrix} det(U) \end{vmatrix} = 1

  • pour tout entiern , l’ensemble de toutes les matrices unitairesn\times n avec l’opération de produit matriciel, ils forment un groupe, appelé groupe unitaire.
  • De sorte que la multiplication de deux matrices unitaires de même ordre donne une autre matrice unitaire.
  • Le module de toutes les valeurs propres (ou valeurs propres) d’une matrice unitaire est toujours égal à 1.

\begin{vmatrix} \lambda \end{vmatrix} = 1

  • Les espaces propres de ce type de matrices sont orthogonaux.

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