Matrices commutables

Sur cette page, nous expliquons ce que sont les matrices commutables. De plus, vous pourrez voir des exemples pour bien comprendre le concept et, enfin, vous trouverez un exercice résolu étape par étape dans lequel nous apprenons à calculer toutes les matrices qui commutent avec n’importe quelle matrice.

Que sont les matrices commutables ?

Deux matrices sont commutables si le résultat de leur produit ne dépend pas de l’ordre de multiplication. Autrement dit, les matrices commutables satisfont la condition suivante :

$\displaystyle A\cdot B = B \cdot A$

C’est la définition des matrices commutables, voyons maintenant un exemple :

Exemple de matrices commutables

Les deux matrices suivantes de dimension 2×2 sont commutables entre elles :

$\displaystyle A=\begin{pmatrix} 2 & 0\\[1.1ex] 1 & -1 \end{pmatrix} \quad B= \begin{pmatrix} 3& 0\\[1.1ex] 1 & 0\end{pmatrix}$

La commutabilité des deux matrices pourrait être démontrée en calculant leur produit dans les deux sens :

exemple de matrices commutables de dimension 2x2

Comme vous pouvez le voir, le résultat des deux multiplications est le même, quel que soit l’ordre dans lequel elles sont multipliées. Alors les matrices

$A$ et $B$ ils sont commutables.

Exercice résolu de matrices commuting

Ensuite nous allons voir étape par étape comment résoudre un exercice de matrices commutables :

Déterminez toutes les matrices qui commutent avec la matrice carrée suivante :

$\displaystyle A=\begin{pmatrix} 3 & 1\\[1.1ex] 1 & 0 \end{pmatrix}$

Pour résoudre ce problème nous allons créer une matrice inconnue :

$\displaystyle B=\begin{pmatrix} a & b\\[1.1ex] c & d \end{pmatrix}$

Il faut donc trouver cette matrice inconnue.

Pour ce faire, nous allons tirer parti de la propriété que vérifient toutes les matrices commutantes :

$\displaystyle A\cdot B = B \cdot A$

$\displaystyle \begin{pmatrix}3 & 1\\[1.1ex] 1 & 0\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} a & b\\[1.1ex] c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b\\[1.1ex] c & d \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 & 1\\[1.1ex] 1 & 0 \end{pmatrix}$

Maintenant, nous multiplions les matrices dans les deux membres de l’équation :

$\displaystyle \begin{pmatrix} 3a+c &3b+d\\[1.1ex] a & b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3a+b & a\\[1.1ex] 3c+d & c \end{pmatrix}$

Par conséquent, pour que l’égalité soit vérifiée, les équations suivantes doivent être remplies :

$\left.\begin{array}{l} 3a+c=3a+b \\[2ex] 3b+d=a \\[2ex] a=3c+d\\[2ex] b= c \end{array}\right\}$

Il ne nous reste donc plus qu’à résoudre le système d’équations. De la dernière équation on peut déduire que

$b$ doit être égal à $c$ :

$b=c$

Et si ces deux inconnues sont équivalentes, la troisième équation se répète avec la seconde, on peut donc l’éliminer :

$\left.\begin{array}{l} 3a+c=3a+b \\[2ex] 3b+d=a \\[2ex] \cancel{a=3c+d}\\[2ex] b= c \end{array}\right\}$

De plus, de la première équation, nous ne pouvons tirer aucune conclusion, car :

$3a+c=3a+b \ \xrightarrow{b \ = \ c} \ 3a+b=3a+b$

$3a=3a$

$a=a$

Par conséquent, il ne nous reste que la deuxième et la dernière équation :

$\left.\begin{array}{l} 3b+d=a \\[2ex] b= c \end{array}\right\}$

Pour que les matrices commutant avec la matrice

$A$ sont tous ceux qui vérifient les deux équations précédentes. Par conséquent, en substituant les expressions trouvées dans la matrice inconnue depuis le début, nous pouvons trouver la forme des matrices qui commutent avec $A:$

$\displaystyle \begin{pmatrix} a & b\\[1.1ex] c & d \end{pmatrix} \ \longrightarrow \ \begin{pmatrix} 3b+d & b \\[1.1ex] b & d \end{pmatrix}$

Où

$b$ et $d$ sont deux nombres réels.

Donc un exemple de matrice qui commuterait avec la matrice

$A$ serait la suivante :

$\displaystyle \begin{pmatrix} 6 & 1 \\[1.1ex] 1 & 3 \end{pmatrix}$

Propriétés des matrices commutables

Les matrices commutables ont les caractéristiques suivantes :

Les tableaux commutables ne possèdent pas la propriété transitive . Autrement dit, même si la matrice $A$ commuter avec des matrices $B$ et $C$ , cela ne veut pas dire que $B$ et $C$ sont commutables entre eux.

Les matrices diagonales commutent entre elles, c’est-à-dire qu’une matrice diagonale commute avec n’importe quelle autre matrice diagonale.

De même, une matrice scalaire commute également avec toutes les matrices. Par exemple, la matrice Identité ou Unité commute avec toutes les matrices.

Deux matrices hermitiennes commutent si leurs vecteurs propres (ou vecteurs propres) coïncident.

Évidemment, la matrice nulle commute également avec toutes les matrices.

Si le produit de deux matrices symétriques donne une autre matrice symétrique, alors les deux matrices doivent commuter.

Si la diagonalisation de deux matrices peut se faire simultanément, elles doivent être commutables. Par conséquent, ces deux matrices partagent également la même base orthonormée de vecteurs propres ou de vecteurs propres.

Que sont les matrices commutables ?

Exemple de matrices commutables

Exercice résolu de matrices commuting

Propriétés des matrices commutables

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