Fonctions par morceaux -

Sur cette page vous trouverez tout sur les fonctions par morceaux : ce qu’elles sont, comment calculer leur image et leur domaine, comment les représenter sur un graphique, leur continuité, etc. De plus, vous verrez des exemples et vous pourrez vous entraîner avec des exercices résolus étape par étape de fonctions définies par morceaux.

Qu’est-ce qu’une fonction définie par morceaux ?

La définition d’une fonction définie par morceaux est la suivante :

En mathématiques, une fonction par morceaux est une fonction dont l’expression change en fonction de la valeur de la variable indépendante x.

Par exemple, la fonction suivante est définie en morceaux :

$\displaystyle f(x)= \left\{ \begin{array}{lcl} x+2 & \text{si} & x<1 \\[2ex] -2x+8 & \text{si} & x \geq 1 \end{array} \right.$

Comme vous pouvez le voir, la fonction comporte deux sections différentes : si

$x$ est inférieur à 1, la fonction sera $x+2$ D’un autre côté, oui $x$ est supérieur ou égal à 1 la fonction sera valide $-2x+8.$

Bien que ci-dessous nous verrons comment elles sont représentées, ci-dessous vous avez le graphique de cette fonction définie en morceaux :

exemple de fonction définie par morceaux

Les fonctions définies en morceaux sont également appelées fonctions définies par parties ou morceaux, fonctions sectionnées, fonctions segmentées, fonctions multiparties, fonctions par intervalles,… entre autres.

Image d’une fonction définie par morceaux

Pour calculer l’image d’une fonction définie par parties il faut prendre l’expression de l’intervalle auquel appartient la variable.

Écrit ainsi, cela peut paraître très compliqué, mais avec un exemple vous verrez que c’est simple :

*** QuickLaTeX cannot compile formula:
\displaystyle f(x)= \left\{ \begin{array}{lcl} x+2 & \text{si} &  x \leq 0 \\[2ex] 5 & \text{si} & 0  Cette fonction définie par morceaux signifie que si

*** Error message:
Missing $ inserted.
leading text: \displaystyle
Please use \mathaccent for accents in math mode.
leading text: ...[2ex] 5 & \text{si} & 0  Cette fonction dé
\begin{array} on input line 9 ended by \end{document}.
leading text: \end{document}
Improper \prevdepth.
leading text: \end{document}
Missing $ inserted.
leading text: \end{document}
Missing } inserted.
leading text: \end{document}
Missing \cr inserted.
leading text: \end{document}
Missing $ inserted.
leading text: \end{document}
You can't use `\end' in internal vertical mode.
leading text: \end{document}
\begin{array} on input line 9 ended by \end{document}.
leading text: \end{document}
Missing } inserted.
leading text: \end{document}
Emergency stop.

x $est inférieur ou égal à 0 la fonction sera valide$ x+2 $Cependant, entre$ x=0 $(non inclus) et$ x=4 $(non inclus) la fonction vaudra toujours 5, et enfin, à partir de$ x=4 $(inclus) la fonction prendra la valeur de$ 2x^2-4. $Donc si, par exemple, on veut calculer$ f(-3) $nous devons prendre l'expression de$ x\le0 $, car -3 est inférieur à 0 :$ f(-3)=-3+2=-1 $Ou si nous voulons déterminer$ f(2) $il faut prendre l'expression de l'intervalle$ 0 , parce que $x=2$ est dans cette plage :

$f(2)=5$

Et si nous voulons trouver

$f(4)$ nous devons le faire avec la dernière expression, puisque $x=4$ appartient à cet intervalle :

$f(4)=2\cdot 4^2-4=32-4=28$

Domaine d’une fonction définie par morceaux

Le domaine d’une fonction définie en sections est l’union des différents sous-domaines associés à chacune de ses branches.

Par exemple, pour déterminer le domaine de la fonction suivante définie par intervalles il faut calculer le domaine de chaque sous-fonction :

$\displaystyle f(x)= \left\{ \begin{array}{lcl} x^2-3x+1 & \text{si} & x\leq 2 \\[2ex] \cfrac{3}{x-5} & \text{si} & x>2 \end{array} \right.$

La première section est une fonction polynomiale, donc son domaine est constitué de nombres réels (jusqu’à x=2).

$f_1= x^2-3x+1$

$\text{Dom } f_1= (-\infty,2]$

La deuxième branche correspond à une fonction rationnelle, il faut donc trouver quel nombre annule le dénominateur puisque ce nombre sera le seul qui ne fera pas partie du domaine :

$f_2= \cfrac{3}{x-5}$

$x-5=0$

$x=5$

$\text{Dom } f_2= (2,5)\cup (5,+\infty)$

Ainsi, le domaine de la fonction par morceaux entière est l’union des deux sous-domaines :

$\text{Dom } f=(-\infty,2] \cup (2,5)\cup (5,+\infty)$

$\text{Dom } f= (-\infty,5) \cup (5,+\infty)$

Ou équivalent:

$\text{Dom } f= \mathbb{R} - \{5\}$

Comment représenter graphiquement une fonction par morceaux

Représenter une fonction par morceaux sur un graphique est simple, il suffit de représenter chaque intervalle séparément. Voyons comment représenter graphiquement une fonction par morceaux à l’aide d’un exemple :

$\displaystyle f(x)= \left\{ \begin{array}{lcl} -x+4 & \text{si} & x<1 \\[2ex] x^2-4x+4 & \text{si} & 1 \leq x<4 \\[2ex] 5 & \text{si} & x\geq 4 \end{array} \right.$

Tout d’abord, il faut représenter la fonction de la première section, qui est une fonction affine . On fait donc un tableau de valeurs et, évidemment, pour cela on ne peut prendre que des valeurs de

$x$ qui sont dans le premier intervalle :

$\displaystyle f(x)= \left\{ \begin{array}{lcl} \color{blue}\boxed{\color{black}-x+4} & \text{si} & x<1 \\[2ex] x^2-4x+4 & \text{si} & 1 \le x<4 \\[2ex] 5 & \text{si} & x\ge 4 \end{array} \right.$

$x= -2 \ \longrightarrow \ f(x) = -(-2)+4=6$

$x= -1 \ \longrightarrow \ f(x) =-(-1)+4=5$

$x= 0 \ \longrightarrow \ f(x) =-0+4=4$

$\begin{array}{c|c} x & f(x) \\ \hline -2 & 6 \\ -1 & 5 \\ 0 & 4 \end{array}$

Maintenant, nous représentons les points sur le graphique et traçons la ligne :

comment représenter une première étape de fonction définie par morceaux

Dans cette section, le 1 n’est pas inclus, puisque le symbole

$"< \ "$ de $x<1$ signifie strictement inférieur à un. Il faut donc mettre un point ouvert dans $x=1$ pour indiquer qu’il n’est pas inclus.

Une fois que nous aurons représenté la première section, nous représenterons la deuxième section, qui va de

$x=1$ (inclus) jusqu’à $x=4$ (non inclus):

$\displaystyle f(x)= \left\{ \begin{array}{lcl} -x+4 & \text{si} & x<1 \\[2ex] \color{blue}\boxed{\color{black}x^2-4x+4} & \text{si} & 1 \leq x<4 \\[2ex] 5 & \text{si} & x\geq 4 \end{array} \right.$

Il s’agit d’une fonction quadratique , on calcule donc d’abord le sommet de la parabole (en utilisant sa formule) puis on construit un tableau de valeurs autour du sommet :

$x = \cfrac{-b}{2a} = \cfrac{-(-4)}{2\cdot 1}= \cfrac{4}{2}= 2$

$x= 2 \ \longrightarrow \ f(2) = 2^2-4\cdot 2+4=0$

$x= 1 \ \longrightarrow \ f(1) = 1^2-4\cdot 1+4=1$

$x= 3 \ \longrightarrow \ f(3) = 3^2-4 \cdot 3+4=1$

$x= 4 \ \longrightarrow \ f(4) = 4^2-4\cdot 4+4=4$

$\begin{array}{c|c} x & f(x) \\ \hline 2 & 0 \\ 1 & 1 \\ 3 & 1 \\ 4&4 \end{array}$

Nous représentons les points obtenus sur la grille et dessinons la parabole :

comment tracer graphiquement une deuxième étape de fonction définie par morceaux

Notez que nous avons représenté la parabole avec un point fermé au début et un point ouvert à la fin. C’est parce que l’intervalle

$1 \le x < 4$ est d’abord défini par le signe $"\le \ "$ ce qui signifie que le 1 est inclus (car il a aussi le signe égal) et, par conséquent, il faut mettre un point fermé. Au lieu de cela, le signe $"< \ "$ indique que 4 n’est pas inclus et c’est pourquoi un point ouvert doit être placé.

Et enfin nous représentons la dernière section :

$\displaystyle f(x)= \left\{ \begin{array}{lcl} -x+4 & \text{si} & x<1 \\[2ex] x^2-4x+4 & \text{si} & 1 \leq x<4 \\[2ex] \color{blue}\boxed{\color{black}5} & \text{si} & x\geq 4 \end{array} \right.$

Dans cet intervalle, la fonction est constante et a toujours une valeur de 5. Par conséquent, nous traçons une ligne dans

$f(x)=5$ a partir de $x=4$ :

représentation graphique d'une fonction définie en morceaux

Contrairement à avant, dans cette section, il est inclus

$x=4$ , parce que l’expression $x\ge 4$ a le signe $"\ge \ "$ . Il faut donc le représenter par un point fermé pour indiquer que ce point est également inclus.

Et nous avons ainsi terminé la représentation graphique de la fonction définie en morceaux. Comme vous pouvez le constater, ce n’est pas très compliqué, il suffit de représenter chaque section séparément sur le même graphique.

Continuité d’une fonction par morceaux

Selon la notion de continuité, une fonction est continue en un point si les limites latérales existent en ce point et, en outre, sont égales à son image.

$\lim\limits_{x \to a^-} f(x)=\lim\limits_{x \to a^+} f(x)= f(a)$

Ainsi, pour qu’une fonction définie en morceaux soit continue, la condition précédente doit être remplie en tous les points de chaque section et, en plus, aux points où la section change.

A titre d’exemple, nous allons analyser la continuité de la fonction suivante définie par intervalles :

continuité d'une fonction définie par morceaux

La fonction est continue dans

$x=-2,$ puisque la condition de continuité est remplie :

$\lim\limits_{x \to -2^-} f(x)=\lim\limits_{x \to -2^+} f(x)= f(-2)=3$

En fait, puisque la fonction est continue en ce point, les extrémités des deux intervalles ont été jointes.

Cependant, la fonction est discontinue dans

$x=4$ car la condition de continuité n’est pas vérifiée :

$\lim\limits_{x \to 4^-} f(x)=3 \neq \lim\limits_{x \to 4^+} f(x)= 2$

En bref, la fonction définie par les morceaux est continue dans tous les nombres réels sauf dans

$x=4,$ où il y a une discontinuité.

Vous pouvez vous entraîner à faire plus d’exercices de ce type en cliquant sur le lien suivant :

➤ Voir : exercices résolus sur la continuité d’une fonction

Exercices résolus sur des fonctions définies par morceaux

Exercice 1

A partir de la fonction suivante définie par morceaux :

$\displaystyle f(x)= \left\{ \begin{array}{lcl} 1 & \text{si} & x<-3 \\[2ex] x+4 & \text{si} & -3 \leq x \leq 5 \\[2ex] 3x-6 & \text{si} & x>5 \end{array} \right.$

Calculer:

$f(-4)$
$f(2)$
$f(7)$

Voir la solution

La fonction est toujours égale à 1 si

$x$ est inférieur à -3. Pourtant:

$f(-4)= \mathbf{1}$

En échange,

$x=2$ C’est dans l’intervalle entre -3 et 5. Il faut donc faire le calcul avec la fonction de la deuxième section :

$f(2)=2+4=\mathbf{6}$

Finalement,

$x=7$ est supérieur à 5. Il faut donc faire le calcul avec la fonction de troisième section :

$f(7)=3\cdot 7-6 = 21 - 6 = \mathbf{15}$

Exercice 2

A partir de la fonction suivante définie par morceaux :

$\displaystyle f(x)= \left\{ \begin{array}{lcl} 3x^2-5x-2 & \text{si} & x \leq -1 \\[2ex] 3x-7 & \text{si} & -1<x 2="" 4="" \leq="" \\[2ex]="" &="" \text{si}="" x="">4 \end{array} \right.$

Calculez les images suivantes :

$f(-2)$
$f(3)$
$f(4)$

Voir la solution

En premier lieu,

$x=-2$ est inférieur à -1. Il faut donc faire le calcul avec la fonction de la première section :

$f(-2)=3\cdot (-2)^2-5\cdot (-2)-2=3 \cdot 4+10-2=\mathbf{20}$

En échange,

$x=3$ C’est dans l’intervalle entre -1 et 4. Il faut donc faire le calcul avec la fonction de deuxième section :

$f(3)=3\cdot 3-7 =9-7= \mathbf{2}$

Finalement,

$x=4$ sépare simplement le deuxième du troisième intervalle. Mais puisque le deuxième intervalle est $-1 signifie que le 4 est inclus dans le deuxième intervalle, puisque le signe à côté du 4 (\le) indique qu'il est également inclus. Il faut donc faire le calcul avec la fonction de la deuxième section :$ f(4)=3\cdot 4-7 =12-7= \mathbf{5} $<div class="wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end"></div><h3 class="wp-block-heading"> Exercice 3</h3> Représentez la fonction par morceaux suivante sur un graphique :$ \displaystyle f(x)= \left\{ \begin{array}{lcl} 4 & \text{si} & x<-1 \\[2ex] x+1 & \text{si} & -1 \leq x \leq 4 \\[2ex] 3 & \text{si} & x>4 \end{array} \right. $<div class="wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__E6F9EF" role="button" tabindex="0" aria-expanded="false" data-otfm-spc="#E6F9EF" style="text-align:center"><div class="otfm-sp__title"> <strong>Voir la solution</strong></div></div> <strong>Premier tronçon</strong>$ \displaystyle f(x)= \left\{ \begin{array}{lcl} \color{blue}\boxed{\color{black}4} & \text{si} & x<-1 \\[2ex] x+1 & \text{si} & -1 \leq x \leq 4 \\[2ex] 3 & \text{si} & x>4 \end{array} \right. f(x) $ça vaut toujours 4 quand$ x $est inférieur à -1. Nous traçons donc une ligne dans$ f(x)= 4 $jusqu'à$ x=-1 : $<div class="wp-block-image"><figure class="aligncenter size-large is-resized"><img decoding="async" loading="lazy" src="http://mathority.org/wp-content/uploads/2023/07/exercice-1-fonction-definie-section-par-pieces-1.webp" alt="" class="wp-image-202" width="491" height="276" srcset="" sizes="" data-src=""></figure></div> Et nous représentons le point de$ x=-1 $avec un point ouvert, puisque l'intervalle a le signe <. <strong>Deuxième partie</strong>$ \displaystyle f(x)= \left\{ \begin{array}{lcl} 4 & \text{si} & x<-1 \\[2ex] \color{blue}\boxed{\color{black}x+1} & \text{si} & -1 \leq x \leq 4 \\[2ex] 3 & \text{si} & x>4 \end{array} \right. $La deuxième pièce correspond à une fonction linéaire, on fait donc un tableau de valeurs pour la dessiner : <div class="wp-block-columns is-layout-flex wp-container-271"><div class="wp-block-column is-layout-flow">$ x=0 \longrightarrow f(0)=0+1=1x=1 \longrightarrow f(1)=1+1=2x=2 \longrightarrow f(2)=2+1=3 $</div><div class="wp-block-column is-vertically-aligned-center is-layout-flow">$ \begin{array}{c|c} x & f(x) \\ \hline 0 & 1 \\ 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{array} $</div></div> Nous représentons les points sur le graphique et traçons la ligne de section : <div class="wp-block-image"><figure class="aligncenter size-large is-resized"><img decoding="async" loading="lazy" src="http://mathority.org/wp-content/uploads/2023/07/multiplication-de-monomes-1.png" alt="" class="wp-image-203" width="491" height="277" srcset="" sizes="" data-src=""></figure></div> Et nous représentons les deux extrêmes par des points fermés, car tous deux ont le signe \le dans l'intervalle. <strong>Troisième section</strong>$ \displaystyle f(x)= \left\{ \begin{array}{lcl} 4 & \text{si} & x<-1 \\[2ex] x+1 & \text{si} & -1 \leq x \leq 4 \\[2ex] \color{blue}\boxed{\color{black}3} & \text{si} & x>4 \end{array} \right. $La fonction est toujours égale à 3 lorsque$ x $est supérieur à 4. Par conséquent, nous traçons une ligne dans$ f(x)= 3 $a partir de$ x=4 : $<div class="wp-block-image"><figure class="aligncenter size-large is-resized"><img decoding="async" loading="lazy" src="http://mathority.org/wp-content/uploads/2023/07/exercices-resolus-de-fonctions-definies-par-pieces.webp" alt="exercices résolus sur des fonctions définies par morceaux" class="wp-image-204" width="491" height="272" srcset="" sizes="" data-src=""></figure></div> Et nous représentons le point de$ x=4 $avec un point ouvert, puisque l'intervalle a le signe >. <div class="wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end"></div><h3 class="wp-block-heading"> Exercice 4</h3> Représentez la fonction par morceaux suivante sur un graphique :$ \displaystyle f(x)= \left\{ \begin{array}{lcl} x^2+2x+2 & \text{si} & x\leq 1 \\[2ex] -x+8 & \text{si} & x>1 \end{array} \right. $<div class="wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__E6F9EF" role="button" tabindex="0" aria-expanded="false" data-otfm-spc="#E6F9EF" style="text-align:center"><div class="otfm-sp__title"> <strong>Voir la solution</strong></div></div> <strong>Premier tronçon</strong>$ \displaystyle f(x)= \left\{ \begin{array}{lcl} \color{blue}\boxed{\color{black} x^2+2x+2 } & \text{si} & x\leq 1 \\[2ex] -x+8 & \text{si} & x>1 \end{array} \right. $L'expression de la première section est une fonction quadratique, on calcule donc d'abord le sommet de la parabole avec sa formule :$ x = \cfrac{-b}{2a} = \cfrac{-2}{2\cdot 1} = -1 $Maintenant, nous créons la table de valeurs. Pour ce faire, nous calculons la valeur de$ f(x) $au sommet et autour du sommet : <div class="wp-block-columns is-layout-flex wp-container-274"><div class="wp-block-column is-layout-flow" style="flex-basis:66.66%">$ x= -1 \ \longrightarrow \ f(-1)=(-1)^2+2(-1)+2 = 1 x= 0 \ \longrightarrow \ f(0)=0^2+2\cdot 0+2 =2 x= -2 \ \longrightarrow \ f(-2)=(-2)^2+2(-2)+2 = 2 x= -3 \ \longrightarrow \ f(-3)=(-3)^2+2(-3)+2 = 5 x= 1 \ \longrightarrow \ f(1)=1^2+2\cdot 1+2 = 5 $</div><div class="wp-block-column is-vertically-aligned-center is-layout-flow" style="flex-basis:33.33%">$ \begin{array}{c|c} x & f(x) \\ \hline -1 & 1 \\ 0 & 2 \\ -2 & 2 \\ 1 & 5 \\ -3 & 5 \end{array} $</div></div> Nous représentons les points sur le graphique et dessinons la parabole dans l'intervalle$ x\le1 : $<div class="wp-block-image"><figure class="aligncenter size-large is-resized"><img decoding="async" loading="lazy" src="http://mathority.org/wp-content/uploads/2023/07/exercice-2-fonction-pointilles-section-1.webp" alt="" class="wp-image-205" width="375" height="330" srcset="" sizes="" data-src=""></figure></div> Et nous représentons le point de$ x=1 $avec un point fermé, puisque l'intervalle a le signe \le. <strong>Deuxième partie</strong>$ \displaystyle f(x)= \left\{ \begin{array}{lcl} x^2+2x+2 & \text{si} & x\leq 1 \\[2ex] \color{blue}\boxed{\color{black}-x+8 }}}& \text{si} & x>1 \end{array} \right. $La fonction seconde jambe est une fonction affine, on fait donc un tableau de valeurs pour la représenter : <div class="wp-block-columns is-layout-flex wp-container-277"><div class="wp-block-column is-layout-flow">$ x= 1 \ \longrightarrow \ f(1)=-1+8=7x= 2 \ \longrightarrow \ f(2)=-2+8=6x= 3 \ \longrightarrow \ f(3)=-3+8=5 $</div><div class="wp-block-column is-vertically-aligned-center is-layout-flow">$ \begin{array}{c|c} x & f(x) \\ \hline 1 & 7 \\ 2 & 6 \\ 3 & 5 \end{array} $</div></div> Nous représentons les points sur le graphique et traçons la ligne dans l'intervalle$ x>-1 : $<div class="wp-block-image"><figure class="aligncenter size-large is-resized"><img decoding="async" loading="lazy" src="http://mathority.org/wp-content/uploads/2023/07/exercice-resolu-pas-a-pas-de-representation-graphique-d-une-fonction-definie-par-morceaux.webp" alt="fonction définie par morceaux avec une fonction quadratique" class="wp-image-206" width="375" height="331" srcset="" sizes="" data-src=""></figure></div> Et nous représentons le point de$ x=1 $avec un point ouvert, puisque l'intervalle a le signe >. <div class="wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end"></div><h3 class="wp-block-heading"> Exercice 5</h3> Réalisez la représentation graphique de la fonction suivante définie en morceaux :$ \displaystyle f(x)= \left\{ \begin{array}{lcl} -x^2-4x+1 & \text{si} & x<-2 \\[2ex] 3 & \text{si} & -2\leq x<4 \\[2ex] 2x-10 & \text{si} & x \geq 4 \end{array} \right. $<div class="wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__E6F9EF" role="button" tabindex="0" aria-expanded="false" data-otfm-spc="#E6F9EF" style="text-align:center"><div class="otfm-sp__title"> <strong>Voir la solution</strong></div></div> <strong>Premier tronçon</strong>$ \displaystyle f(x)= \left\{ \begin{array}{lcl} \color{blue}\boxed{\color{black}-x^2-4x+1}& \text{si} & x<-2 \\[2ex] 3 & \text{si} & -2\leq x<4 \\[2ex] 2x-10 & \text{si} & x \geq 4 \end{array} \right. $L'expression de la première section est constituée d'une fonction quadratique, on calcule donc d'abord le sommet de la parabole avec sa formule :$ x = \cfrac{-b}{2a} = \cfrac{-(-4)}{2\cdot (-1)} = \cfrac{+4}{-2} = -2 $Maintenant, nous créons la table de valeurs. Pour ce faire, nous calculons la valeur de$ f(x) $au sommet et autour du sommet : <div class="wp-block-columns is-layout-flex wp-container-280"><div class="wp-block-column is-layout-flow" style="flex-basis:66.66%">$ x= -2 \ \longrightarrow \ f(-2)=-(-2)^2-4(-2)+1 =5 x= -3 \ \longrightarrow \ f(-3)=-(-3)^2-4(-3)+1 =4 x= -4 \ \longrightarrow \ f(-4)=-(-4)^2-4(-4)+1 =1 $</div><div class="wp-block-column is-vertically-aligned-center is-layout-flow" style="flex-basis:33.33%">$ \begin{array}{c|c} x & f(x) \\ \hline -2 & 5 \\ -3 & 4 \\ -4 & 1 \end{array} $</div></div> Nous représentons les points sur le graphique et dessinons la parabole dans l'intervalle$ x<-2 : $<div class="wp-block-image"><figure class="aligncenter size-large is-resized"><img decoding="async" loading="lazy" src="http://mathority.org/wp-content/uploads/2023/07/premiere-section-exercice-fonction-3-segmentee.webp" alt="" class="wp-image-207" width="444" height="343" srcset="" sizes="" data-src=""></figure></div> Et nous représentons le point de$ x=-2 $avec un point ouvert, puisque l'intervalle a le signe <. <strong>Deuxième partie</strong>$ \displaystyle f(x)= \left\{ \begin{array}{lcl} -x^2-4x+1 & \text{si} & x<-2 \\[2ex] \color{blue}\boxed{\color{black}3} & \text{si} & -2\leq x<4 \\[2ex] 2x-10 & \text{si} & x \geq 4 \end{array} \right. $La fonction est toujours égale à 3 lorsque$ x $est compris entre -2 (inclus) et 4 (non inclus). Nous traçons donc une ligne dans$ f(x)= 3 $dans l'intervalle$ -2 \le x < 4 : $<div class="wp-block-image"><figure class="aligncenter size-large is-resized"><img decoding="async" loading="lazy" src="http://mathority.org/wp-content/uploads/2023/07/deuxieme-section-exercice-5-fonction-segmentee.webp" alt="" class="wp-image-208" width="444" height="341" srcset="" sizes="" data-src=""></figure></div> Nous représentons l'extrême de$ x=-2 $avec un point fermé, puisque -2 a le signe \le dans l'intervalle. Au lieu de cela, nous représentons l'extrême de$ x=-4 $avec un point ouvert, car 4 a le signe < dans l'intervalle. <strong>Troisième section</strong>$ \displaystyle f(x)= \left\{ \begin{array}{lcl} -x^2-4x+1 & \text{si} & x<-2 \\[2ex] 3 & \text{si} & -2\leq x<4 \\[2ex] \color{blue}\boxed{\color{black} 2x-10} & \text{si} & x \geq 4 \end{array} \right. $La troisième sous-fonction est une fonction affine, on fait donc un tableau de valeurs : <div class="wp-block-columns is-layout-flex wp-container-283"><div class="wp-block-column is-layout-flow">$ x=4 \longrightarrow f(4)=2\cdot 4-10=-2x=5 \longrightarrow f(5)=2\cdot 5-10=0x=6 \longrightarrow f(6)=2\cdot 6-10=2 $</div><div class="wp-block-column is-vertically-aligned-center is-layout-flow">$ \begin{array}{c|c} x & f(x) \\ \hline 4 & -2 \\ 5 & 0 \\ 6 & 2 \end{array} $</div></div> Nous représentons les points sur le graphique et traçons la ligne dans l'intervalle$ x\ge 4 : $<div class="wp-block-image"><figure class="aligncenter size-large is-resized"><img decoding="async" loading="lazy" src="http://mathority.org/wp-content/uploads/2023/07/exercices-resolus-de-fonctions-definies-par-parties.webp" alt="exercices résolus de fonctions définies par parties" class="wp-image-209" width="443" height="343" srcset="" sizes="" data-src=""></figure></div> Et nous représentons le point de$ x=4 $avec un point fermé, puisque l'intervalle a le signe \ge . <div class="wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end"></div><h3 class="wp-block-heading"> Exercice 6</h3> Déterminez à quelle fonction par morceaux correspond le graphique suivant : <div class="wp-block-image"><figure class="aligncenter size-large is-resized"><img decoding="async" loading="lazy" src="http://mathority.org/wp-content/uploads/2023/07/exemple-de-fonction-definie-par-intervalles.webp" alt="exemple de fonction définie par intervalles" class="wp-image-210" width="510" height="258" srcset="" sizes="" data-src=""></figure></div><div class="wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__E6F9EF" role="button" tabindex="0" aria-expanded="false" data-otfm-spc="#E6F9EF" style="text-align:center"><div class="otfm-sp__title"> <strong>Voir la solution</strong></div></div> Dans la première section, lorsque x\le0, la fonction a toujours une valeur de 2. Dans cet intervalle il faut mettre le signe \le car il y a un point fermé en x=0. Dans la deuxième section, la fonction a toujours une valeur de 5. Et elle passe de x=0 (non inclus) à x=4 (inclus). Enfin, dans la troisième section, lorsque x>4, la fonction a toujours une valeur de 1. Il faut aussi mettre le signe > car il y a un point ouvert en x=4. La fonction par morceaux est donc :$ \displaystyle f(x)= \left\{ \begin{array}{lcl} 2 & \text{si} & x\leq 0 \\[2ex] 5 & \text{si} & 0 4 \end{array} \right. $</x\leq><div class="wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end"></div><h3 class="wp-block-heading"> Exercice 7</h3> Déterminez la fonction par morceaux dont le graphique est le suivant : <div class="wp-block-image"><figure class="aligncenter size-large is-resized"><img decoding="async" loading="lazy" src="http://mathority.org/wp-content/uploads/2023/07/exemple-de-fonction-multiparties.webp" alt="exemple de fonction multi-sections" class="wp-image-211" width="390" height="327" srcset="" sizes="" data-src=""></figure></div><div class="wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__E6F9EF" role="button" tabindex="0" aria-expanded="false" data-otfm-spc="#E6F9EF" style="text-align:center"><div class="otfm-sp__title"> <strong>Voir la solution</strong></div></div> <strong>Premier tronçon</strong> La fonction de la première section est une fonction affine, elle sera donc de la forme suivante :$ f(x)=mx+n $Pour trouver la définition de la fonction, nous devons prendre deux points par lesquels passe la droite, par exemple (0,1) et (1,-1).[/latex] Maintenant, en utilisant la formule de la pente, nous pouvons calculer la pente <em>m</em> de la fonction avec ces deux points :$ m=\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}= \cfrac{-1-1}{1-0} = \cfrac{-2}{1} = -2 $La fonction sera donc de la forme :$ f(x)=mx+n \ \xrightarrow{m \ = \ -2} \ f(x)=-2x+n $Et une fois que nous connaissons <em>m,</em> nous pouvons calculer le coefficient <em>n</em> . Pour ce faire, on substitue les coordonnées d'un point qui appartient à la fonction dans l'équation. Par exemple le point (0,1) :$ f(x)=-2x+n \ \xrightarrow{x \ = \ 0 \ ; \ f(x) \ = \ 1} \ 1=-2\cdot 0+n $On résout l'équation résultante :$ 1=0+n 1=n $La fonction de la première section est donc :$ \bm{f(x)=-2x+1} $Cette rubrique correspond à tous$ x $jusqu'à 2 (non inclus), c'est-à-dire à tous les nombres inférieurs à 2. L'intervalle de la première étape est donc :$ x<2 $Et on met le signe < car dans ce cas$ x=2 $Il est représenté comme un point ouvert. <strong>Deuxième partie</strong> La fonction de la deuxième section est également une fonction affine, il faut donc répéter la même procédure :$ f(x)=mx+n $Pour trouver la fonction il faut prendre deux points par lesquels passe la droite, par exemple (3,2) et (4,3). Et avec ces deux points on peut calculer la pente de la fonction avec sa formule :$ m=\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}= \cfrac{3-2}{4-3} = \cfrac{1}{1} = 1 $La fonction sera donc de la forme :$ f(x)=mx+n \ \xrightarrow{m \ = \ 1} \ f(x)=1x+n $Et une fois que nous connaissons <em>m,</em> nous pouvons calculer le terme <em>n</em> . Pour ce faire, on substitue les coordonnées d'un point qui appartient à la fonction dans l'équation. Par exemple le point (3,2) :$ f(x)=x+n \ \xrightarrow{x \ = \ 3 \ ; \ f(x) \ = \ 2} \ 2=3+n $On résout l'équation résultante :$ 2-3=+n -1=n $La fonction de la deuxième section est donc :$ \bm{f(x)=x-1} $Cette section correspond à tous les x à partir de 2 (inclus), c'est-à-dire à tous les nombres supérieurs ou égaux à 2. Ainsi l'intervalle de la deuxième section est :$ x\ge 2 $Et on met le signe \ge car dans cette section$ x=2 $C'est un point fermé. En conclusion, la fonction par morceaux du graphique est :$ \displaystyle f(x)= \left\{ \begin{array}{lcl} -2x+1 & \text{si} & x<2 \\[2ex] x-1 & \text{si} & x\ge 2 \end{array} \right. $