Dérivés - Mathority

Nous expliquons ici comment dériver tous les types de fonctions. Vous trouverez les formules de toutes les dérivées accompagnées d’exemples et d’exercices résolus pas à pas de dérivées.

Que sont les produits dérivés ?

Les dérivées sont des règles mathématiques utilisées pour étudier les fonctions. En particulier, la dérivée d’une fonction en un point est le résultat d’une limite et indique le comportement de la fonction en ce point.

La dérivée d’une fonction s’exprime avec le signe premier ‘ , c’est-à-dire que la fonction f'(x) est la dérivée de la fonction f(x) .

Géométriquement, la signification de la dérivée d’une fonction en un point est la pente de la tangente à la fonction en ce point.

La définition mathématique de la dérivée d’une fonction est la suivante :

$\displaystyle f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

Cependant, la dérivée d’une fonction n’est généralement pas calculée à l’aide de la formule ci-dessus, mais des règles de différenciation s’appliquent en fonction du type de fonction dont il s’agit. Toutes les formules de dérivation sont expliquées ci-dessous.

formules dérivées

Après avoir vu la définition des dérivés, nous allons voir comment ils sont fabriqués, en expliquant chaque type de dérivé par un exemple. L’objectif de ce post est que vous compreniez bien le concept de dérivées, donc si au final vous avez des doutes sur la façon dont une fonction est dérivée, vous pouvez nous demander dans les commentaires.

dérivée d’une constante

La dérivée d’une constante est toujours égale à zéro, quelle que soit la valeur de la constante.

Par conséquent, pour trouver la dérivée d’une fonction constante, il n’est pas nécessaire de faire de calcul, simplement la dérivée est nulle.

Jetez un œil aux exemples pratiques suivants de dérivées de constantes :

$\begin{array}{c}f(x)=3 \qquad \longrightarrow\qquad f'(x)=0\\[3ex]g(x)=-5 \qquad \longrightarrow\qquad g'(x)=0\\[3ex]h(x)=291 \qquad \longrightarrow\qquad h'(x)=0\end{array}$

Dérivée d’une fonction linéaire

La dérivée d’une fonction linéaire est le coefficient du terme du premier degré, c’est-à-dire que la dérivée d’une fonction linéaire f(x)=Ax+B est égale à A

Jetez un œil aux exemples suivants de la manière dont ce type de fonction a été dérivé :

$\begin{array}{c}f(x)=3x-1\quad\longrightarrow\quad f'(x)=3\\[3ex]f(x)=5x\quad\longrightarrow\quad f'(x)=5\\[3ex] f(x)=-2x+9\quad\longrightarrow\quad f'(x)=-2\end{array}$

dérivée d’une puissance

La dérivée d’une puissance , ou fonction potentielle, est le produit de l’exposant de la puissance par la base élevée à l’exposant moins 1.

Par conséquent, pour dériver une puissance, il suffit de multiplier la fonction par l’exposant et de soustraire une unité de l’exposant.

Par exemple, la dérivée de la puissance x élevée au cube est :

$f(x)=x^3 \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\quad f'(x)=3\cdot x^{3-1}=3x^2$

Vous pouvez vous exercer à faire des exercices (et plus difficiles) de ce type de dérivé ici :

➤ Voir : exercices résolus de la dérivée d’une puissance

dérivé d’une racine

La dérivée d’une racine, ou fonction irrationnelle, est égale à un divisé par le produit de l’indice de la racine par la même racine en soustrayant 1 de l’exposant du radicande.

À titre d’exemple, ci-dessous, vous pouvez voir la dérivée de la racine carrée de x résolue :

$f(x)=\sqrt{x}\quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\quad f'(x)=\cfrac{1}{2\sqrt{x^{2-1}}}=\cfrac{1}{2\sqrt{x}}$

➤ Voir : exercices résolus de la dérivée d’une racine

Dérivée d’une fonction exponentielle

La dérivée d’une fonction exponentielle dépend du fait que la base est le nombre e ou un autre nombre. Il existe donc deux formules pour dériver ce type de fonctions et il faut utiliser celle qui correspond selon la base de puissance :

$\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800} \newtcbox{\mymath}[1][]{% nobeforeafter, math upper, tcbox raise base, enhanced, colframe=taronjaquadreejemplo, boxrule=1pt, boxsep=1.8mm, #1} \begin{empheq}[box={\mymath[colback=white, shadow={2mm}{-2mm}{0mm}{taronjaquadreejemplo!20!white,} ]}]{equation*} \begin{array}{l}f(x)=a^x \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=a^x\cdot \ln(a)\\[3ex] f(x)=e^x \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=e^x \end{array} \end{empheq}$

Ci-dessous, vous pouvez voir deux dérivées résolues de ce type de fonctions :

$f(x)=7^{x} \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=7^x\cdot \ln(7)$

$f(x)=e^{x} \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=e^x$

➤ Voir : exercices résolus de la dérivée d’une fonction exponentielle

Dérivée d’une fonction logarithmique

La dérivée d’une fonction logarithmique dépend de la base du logarithme, car si le logarithme est naturel, une formule doit être appliquée pour trouver la dérivée et si le logarithme a un autre nombre comme base, une autre règle doit être utilisée.

$\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800} \newtcbox{\mymath}[1][]{% nobeforeafter, math upper, tcbox raise base, enhanced, colframe=taronjaquadreejemplo, boxrule=1pt, boxsep=1.8mm, #1} \begin{empheq}[box={\mymath[colback=white, shadow={2mm}{-2mm}{0mm}{taronjaquadreejemplo!20!white,} ]}]{equation*} \begin{array}{l}f(x)=\ln(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{1}{x}\\[3ex] f(x)=\log_a(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{1}{x\cdot\ln(a)}\end{array} \end{empheq}$

Par exemple, la dérivée du logarithme de base trois de x est :

$f(x)=\log_3(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{1}{x\cdot\ln(3)}$

➤ Voir : exercices résolus de la dérivée d’une fonction logarithmique

Dérivées trigonométriques

Les trois principales dérivées trigonométriques sont la dérivée de la fonction sinus, la fonction cosinus et la fonction tangente, dont les formules sont les suivantes :

$\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800} \newtcbox{\mymath}[1][]{% nobeforeafter, math upper, tcbox raise base, enhanced, colframe=taronjaquadreejemplo, boxrule=1pt, boxsep=1.8mm, #1} \begin{empheq}[box={\mymath[colback=white, shadow={2mm}{-2mm}{0mm}{taronjaquadreejemplo!20!white,} ]}]{equation*} \begin{array}{l}f(x)=\text{sen}(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\text{cos}(x)\\[2.5ex] f(x)=\text{cos}(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=-\text{sen}(x)\\[1.1ex]f(x)=\text{tan}(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{1}{\text{cos}^2(x)}\end{array} \end{empheq}$

Logiquement, il existe plusieurs types de fonctions trigonométriques, telles que la sécante, la cosécante, la cotangente, les fonctions trigonométriques hyperboliques, les fonctions trigonométriques inverses, etc. Mais les règles les plus utilisées pour dériver sont les trois ci-dessus.

règles de renvoi

Lorsque nous avons des opérations avec des fonctions, les dérivées sont résolues différemment. Pour ce faire, nous devons utiliser les règles de dérivation , qui nous permettent de dériver l’addition, la soustraction, la multiplication et la division de fonctions.

$\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800} \newtcbox{\mymath}[1][]{% nobeforeafter, math upper, tcbox raise base, enhanced, colframe=taronjaquadreejemplo, boxrule=1pt, boxsep=2mm, #1} \begin{empheq}[box={\mymath[colback=white, shadow={2mm}{-2mm}{0mm}{taronjaquadreejemplo!20!white,} ]}]{equation*} \begin{array}{l}z(x)=f(x)\pm g(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} z'(x)=f'(x)\pm g'(x)\\[4ex] z(x)=f(x)\cdot g(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} z'(x)=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)\\[4ex]z(x)=\cfrac{f(x)}{g(x)} \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} z'(x)=\cfrac{f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x)}{\bigl(g(x)\bigr)^2}\end{array} \end{empheq}$

Par conséquent, pour résoudre des dérivées avec des opérations, nous devons non seulement appliquer les règles de dérivée, mais nous devons également utiliser la formule de chaque type de dérivée.

Pour que vous puissiez voir comment trouver ce type de dérivée, nous allons résoudre plusieurs exercices ci-dessous :

Dérivée d’une somme :

$f(x)=3x^2+5x$

$f'(x)=6x+5$

Comme vous pouvez le voir, pour résoudre la dérivée de la fonction entière, la formule de la dérivée d’une puissance a été appliquée à chaque terme de la somme.

Dérivé d’un produit :

$f(x)=4^{x}\cdot \text{sen}(x)$

La dérivée du premier terme du produit est 4 ^x ln(4), et la dérivée du sinus est le cosinus. Donc la dérivée de la multiplication est :

$f'(x)=4^{x}\cdot \ln (4) \cdot \text{sen}(x) +4^{x}\cdot \text{cos}(x)$

Dérivée d’un quotient :

$f(x)=\cfrac{x^3+4x^2}{5x^2-8}$

Au numérateur et au dénominateur de la fraction, nous avons un polynôme, donc pour obtenir la dérivée, nous devons utiliser la formule de la dérivée d’un quotient, la formule de la dérivée d’une addition (ou d’une soustraction) et la formule de la dérivée d’une puissance :

$\begin{aligned}f'(x)&=\cfrac{(3x^2+8x)\cdot (5x^2-8)-(x^3+4x^2)\cdot 10x}{\left(5x^2-8\right)^2}\\[2ex]&=\cfrac{15x^4-24x^2+40x^3-64x-10x^4-40x^3}{25x^4+64-80x^2}\\[2ex]&=\cfrac{5x^4-24x^2-64x}{25x^4-80x^2+64}\end{aligned}$

Règle de la chaîne

La règle de chaîne est une formule utilisée pour dériver des fonctions composées. La règle de la chaîne stipule que la dérivée d’une fonction composite f(g(x)) est égale à la dérivée f'(g(x)) multipliée par la dérivée g'(x) .

Cette notion de dérivés est généralement plus difficile à assimiler, nous allons donc résoudre un exercice étape par étape à titre d’exemple :

$f(x)=\text{sen}(x^3)$

Effectivement, c’est une composition de fonctions car nous avons la fonction x ³ à l’intérieur de la fonction sinus, donc, nous devons utiliser la règle de la chaîne pour trouver la dérivée de la fonction composite.

D’une part, la dérivée du sinus est le cosinus, donc la dérivée de la fonction extérieure sera le cosinus avec le même argument du sinus :

$f\bigl(g(x)\bigr)=\text{sen}(x^3) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'\bigl(g(x)\bigr)=\text{cos}(x^3)$

Et, d’autre part, nous calculons la dérivée de x ³ en utilisant la formule de la dérivée d’une puissance :

$g(x)=x^3\quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} g'(x)=3x^2$

Ainsi, la dérivée de la fonction composée entière est le produit des deux dérivées :

$f(x)=\text{sen}(x^3) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\text{cos}(x^3)\cdot 3x^2$

➤ Voir : exercices résolus de dérivées avec la règle de la chaîne

Dérivabilité d’une fonction

La continuité et la dérivabilité d’une fonction en un point sont liées comme suit :

Si une fonction est dérivable en un point, la fonction est continue en ce point.
Si une fonction n’est pas continue en un point, elle n’est pas non plus dérivable en ce point.

Cependant, l’inverse de ce théorème est faux, c’est-à-dire qu’une fonction est continue en un point ne signifie pas qu’elle est toujours différentiable en ce point.

Vous pouvez également voir si une fonction est différentiable ou non en un point de sa représentation graphique :

S’il s’agit d’un point lisse, la fonction est dérivable en ce point.
S’il s’agit d’un point angulaire, la fonction est continue mais non dérivable en ce point.

Point lisse à x=0 :
fonction continue et différentiable en ce point.

Point incliné à x=2 :
fonction continue mais non dérivable en ce point.

Vous pouvez également savoir si une fonction par morceaux est différentiable en un point en calculant les dérivées latérales à ce point :

Si les dérivées latérales en un point ne sont pas égales, la fonction n’est pas différentiable en ce point :

$f'(x_o^-) \neq f'(x_o^+) \ \longrightarrow$ Il n’est pas dérivable dans $x_o$

Si les dérivées latérales en un point coïncident, la fonction est différentiable en ce point :

$f'(x_o^-) = f'(x_o^+) \ \longrightarrow$ Oui c’est dérivable dans $x_o$

Voyons maintenant un exemple de calcul de la dérivée d’une fonction définie par morceaux en un point :

Étudiez la continuité et la dérivabilité de la fonction définie par morceaux suivante au point x=2 :

$\displaystyle f(x)= \left\{ \begin{array}{lcl} 3x^2-6x & \text{si} & x<2 \\[2ex] 6\ln (x-1) & \text{si} & x\geq 2 \end{array} \right.$

Les fonctions des deux sections sont continues dans leurs intervalles respectifs, cependant, il faut vérifier si la fonction est continue au point critique x=2. Pour ce faire, on résout les limites latérales de la fonction au point :

$\lim\limits_{x\to 2^-} f(x) = \lim\limits_{x\to 2^-} \bigl(3x^2-6x\bigr) = 3\cdot2^2-6\cdot2=12-12=\bm{0}$

$\lim\limits_{x\to 2^+} f(x) = \lim\limits_{x\to 2^+} 6\ln (x-1) = 6\ln (2-1)=6 \ln 1=6 \cdot 0= \bm{0}$

Les limites latérales au point critique nous ont donné le même résultat, donc la fonction est continue au point x=2.

Une fois que nous savons que la fonction est continue en x=2, nous allons étudier la dérivabilité de la fonction en ce point. Pour ce faire, on calcule les dérivées latérales de la fonction définie par morceaux :

$\displaystyle f'(x)= \left\{ \begin{array}{lcl} 6x-6 & \text{si} & x<2 \\[2ex] \cfrac{6}{x-1} & \text{si} & x\geq 2 \end{array} \right.$

Maintenant, nous évaluons chaque dérivée latérale au point critique :

$f'(2^-)=6\cdot2-6=12-6 = \bm{6}$

$f'(2^+)=\cfrac{6}{2-1} = \cfrac{6}{1} = \bm{6}$

Les deux dérivées latérales nous ont donné le même résultat, donc la fonction est différentiable en x=2 et la valeur de la dérivée est 6 :

$f'(2^-) = f'(2^+) = 6 \ \longrightarrow \ \bm{f'(2) = 6}$

Par contre, si les dérivées latérales nous avaient donné un résultat différent, cela signifierait que la fonction n’est pas différentiable en x=2. Autrement dit, la dérivée à ce stade n’existerait pas.

➤ Voir : exercices résolus de dérivabilité d’une fonction