Dans cet article, nous expliquons comment dériver une fonction exponentielle. Vous y trouverez la formule de la dérivée exponentielle (de base a et de base e) et des exercices résolus de dérivées de fonctions exponentielles.
La règle de la dérivée de la fonction exponentielle dépend de la base de la puissance , puisque selon que la base est un nombre quelconque (a) ou le nombre e, la fonction dérive différemment. C’est pourquoi nous verrons chaque cas séparément ci-dessous, puis nous résumerons les deux formules pour bien comprendre comment dériver une fonction exponentielle.
Dérivée de la fonction exponentielle de base a
La dérivée de la fonction exponentielle de base a est égale au produit de la fonction par le logarithme népérien de la base de la puissance par la dérivée de l’exposant.
Par exemple, la dérivée de la fonction exponentielle suivante est :
Dérivée de la fonction exponentielle de base e
La dérivée de la fonction exponentielle de base e est équivalente au produit de la même fonction par la dérivée de l’exposant.
Par exemple, la dérivée du nombre e élevé à 4x est :
Formule dérivée exponentielle
Comme nous l’avons vu, la dérivée d’une fonction exponentielle dépend de sa base. Et les deux formules qui sont utilisées pour dériver les fonctions exponentielles sont les suivantes :

Dérivée exponentielle de e à x
Une fois que nous avons vu ce qu’est la formule de la dérivée exponentielle, nous allons analyser le cas de la dérivée de e en x, car c’est un cas curieux.
La dérivée de la fonction e à x aboutit toujours à la fonction elle-même , c’est-à-dire que peu importe le nombre de fois que nous dérivons la fonction e x , nous obtiendrons toujours la même fonction.
Cette propriété de la fonction e élevée à x est due au fait que la dérivée de x est 1. Par conséquent, lors de la dérivation, nous multiplions toujours la fonction elle-même par 1 et, par conséquent, nous obtenons toujours la fonction d’origine.
Problèmes résolus de dérivées de fonctions exponentielles
Exercice 1
Dérivez la fonction exponentielle suivante :
Exercice 2
Calculez la dérivée de la fonction exponentielle suivante :
Exercice 3
Trouvez la dérivée de la fonction exponentielle suivante de base e :
Exercice 4
Trouvez la dérivée de la fonction exponentielle suivante avec une racine comme exposant :
➤ Voir : dérivée d’une fonction radicale
Exercice 5
Dérivez la fonction exponentielle suivante de la base e avec un exposant fractionnaire :
➤ Voir : dérivée d’un quotient de fonctions