Dérivée de la fonction exponentielle

Dans cet article, nous expliquons comment dériver une fonction exponentielle. Vous y trouverez la formule de la dérivée exponentielle (de base a et de base e) et des exercices résolus de dérivées de fonctions exponentielles.

La règle de la dérivée de la fonction exponentielle dépend de la base de la puissance , puisque selon que la base est un nombre quelconque (a) ou le nombre e, la fonction dérive différemment. C’est pourquoi nous verrons chaque cas séparément ci-dessous, puis nous résumerons les deux formules pour bien comprendre comment dériver une fonction exponentielle.

Dérivée de la fonction exponentielle de base a

La dérivée de la fonction exponentielle de base a est égale au produit de la fonction par le logarithme népérien de la base de la puissance par la dérivée de l’exposant.

f(x)=a^u \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=a^u\cdot \ln(a) \cdot u'

Par exemple, la dérivée de la fonction exponentielle suivante est :

f(x)=5^{x^2+1} \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=5^{x^2+1}\cdot \ln(5) \cdot 2x

Dérivée de la fonction exponentielle de base e

La dérivée de la fonction exponentielle de base e est équivalente au produit de la même fonction par la dérivée de l’exposant.

f(x)=e^u \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=e^u\cdot u'

Par exemple, la dérivée du nombre e élevé à 4x est :

f(x)=e^{4x}\quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=e^{4x} \cdot 4=4e^{4x}

Formule dérivée exponentielle

Comme nous l’avons vu, la dérivée d’une fonction exponentielle dépend de sa base. Et les deux formules qui sont utilisées pour dériver les fonctions exponentielles sont les suivantes :

dérivée exponentielle

Dérivée exponentielle de e à x

Une fois que nous avons vu ce qu’est la formule de la dérivée exponentielle, nous allons analyser le cas de la dérivée de e en x, car c’est un cas curieux.

La dérivée de la fonction e à x aboutit toujours à la fonction elle-même , c’est-à-dire que peu importe le nombre de fois que nous dérivons la fonction e x , nous obtiendrons toujours la même fonction.

\begin{array}{c} f(x)=e^x \\[2ex] f'(x)=e^x\\[2ex] f''(x)=e^x\\[2ex] f'''(x)=e^x\\ \vdots\\ f^n(x)=e^x\end{array}

Cette propriété de la fonction e élevée à x est due au fait que la dérivée de x est 1. Par conséquent, lors de la dérivation, nous multiplions toujours la fonction elle-même par 1 et, par conséquent, nous obtenons toujours la fonction d’origine.

f(x)=e^x \quad\longrightarrow\quad f'(x)=e^x\cdot 1= e^x

Problèmes résolus de dérivées de fonctions exponentielles

Exercice 1

Dérivez la fonction exponentielle suivante :

f(x)=3^x

La fonction est basée sur un nombre autre que e, nous devons donc utiliser la formule suivante :

f(x)=a^u \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=a^u\cdot \ln(a) \cdot u'

La dérivée de la fonction exponentielle en base 3 est donc :

f(x)=3^x \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=3^x\cdot \ln(3) \cdot 1=3^x\cdot \ln(3)

Exercice 2

Calculez la dérivée de la fonction exponentielle suivante :

f(x)=7^{3x^2-4x}

La fonction de cet exercice est basée sur un nombre autre que e, il faut donc appliquer la formule suivante :

f(x)=a^u \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=a^u\cdot \ln(a) \cdot u'

Donc la dérivée de la fonction est :

f(x)=7^{3x^2-4x} \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=7^{3x^2-4x}\cdot \ln(7) \cdot (6x-4)

Exercice 3

Trouvez la dérivée de la fonction exponentielle suivante de base e :

f(x)=e^{(5x^2-9x)^3}

La fonction de cet exercice a le nombre e comme base, nous pouvons donc utiliser la formule suivante :

f(x)=e^u \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=e^u\cdot u'

Et la dérivation de la fonction exponentielle donne :

f'(x)=e^{(5x^2-9x)^3} \cdot 3(5x^2-9x)^2\cdot (10x-9)

Notez que pour résoudre cette dérivée, nous devons utiliser la règle de la chaîne.

Exercice 4

Trouvez la dérivée de la fonction exponentielle suivante avec une racine comme exposant :

f(x)=9^{\sqrt{5x}}

➤ Voir : dérivée d’une fonction radicale

Bien qu’il y ait une expression radicale dans l’exposant, nous devons toujours utiliser la règle pour dériver la fonction exponentielle de la base a :

f(x)=a^u \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=a^u\cdot \ln(a) \cdot u'

La dérivée de la fonction exponentielle composée est donc :

f'(x)=9^{\sqrt{5x}}\cdot \ln(9) \cdot \cfrac{5}{2\sqrt{5x}}

Exercice 5

Dérivez la fonction exponentielle suivante de la base e avec un exposant fractionnaire :

f(x)=e^{\frac{x^2}{5-3x}}

➤ Voir : dérivée d’un quotient de fonctions

La base de la puissance est le nombre e, nous allons donc utiliser la règle suivante pour diviser la fonction :

f(x)=e^u \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=e^u\cdot u'

La dérivée de la fonction exponentielle est donc :

\begin{aligned}f'(x)&=e^{\frac{x^2}{5-3x}} \cdot \cfrac{2x\cdot (5-3x)-x^2\cdot (-3)}{(5-3x)^2}\\[3ex] &=e^{\frac{x^2}{5-3x}} \cdot \cfrac{10x-6x^2+3x^2}{(5-3x)^2}\\[3ex] &=e^{\frac{x^2}{5-3x}} \cdot \cfrac{10x-3x^2}{(5-3x)^2}\end{aligned}

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