Binôme au cube - Mathority

Vous trouverez ici l’explication de la résolution du produit notable d’un binôme au cube (formule), soit (a+b) ³ soit (ab) ³ . De plus, vous pourrez voir des exemples et des exercices résolus pas à pas des binômes au cube.

Qu’est-ce qu’un binôme au cube ?

Un binôme au cube est un polynôme formé de deux termes à la puissance 3. Par conséquent, l’expression algébrique d’un binôme au cube peut être (a+b) ³ ou (ab) ³ , selon qu’on leur ajoute ou soustrait leurs monômes.

De plus, le binôme élevé au cube fait partie des identités notables (ou produits notables). Plus précisément, il correspond à l’une des identités notables au cube (ou cubique).

formule du cube binomial

Comme nous l’avons vu dans la définition du binôme au cube, ce type d’identité notable peut consister en une addition ou une soustraction. Par conséquent, la formule varie légèrement selon qu’il s’agit d’un binôme positif ou d’un binôme négatif et, par conséquent, nous verrons chaque cas séparément.

cube d’une somme

Lorsqu’une somme est élevée au cube, nous pouvons la calculer en utilisant la formule du cube d’une somme :

De sorte qu’un binôme au cube (addition) est égal au cube du premier, plus le triple du carré du premier fois le second, plus le triple du premier fois le carré du second, plus le cube du second.

Une autre méthode pour calculer le cube d’un binôme est le binôme de Newton (ou théorème binomial). Nous vous laissons le lien suivant avec l’explication de ce théorème car il est très utile de connaître cette formule, car elle fonctionne non seulement pour les puissances des binômes du troisième degré, mais aussi pour les exposants supérieurs. Alors cliquez sur ce lien pour le découvrir et pouvoir vous entraîner avec des exercices résolus du binôme de Newton .

cube d’une différence

Par contre, si au lieu d’une somme on a une différence (ou soustraction) élevée au cube, la formule du binôme au cube change dans le signe des termes pairs :

binôme d'une différence ou d'une soustraction à la formule du cube

Par conséquent, un binôme au cube (soustraction) équivaut au cube du premier, moins le triple du carré du premier par le second, plus le triple du premier par le carré du second, moins le cube du second.

Ainsi, la seule manière dont les formules du cube d’une somme et du cube d’une différence diffèrent est dans les signes des deuxième et quatrième termes, puisque dans le binôme d’une somme tous sont positifs et, au contraire, dans le binôme d’une soustraction sont tous deux négatifs.

Nous venons de voir ce que sont le binôme somme et le binôme différence. Bon, il faut savoir que la somme par différence de deux binômes est aussi une identité remarquable et, de fait, elle fait partie du top 3 (la plus importante). Vous pouvez voir quelle est la formule pour une somme multipliée par une différence et comment elle est appliquée sur la page liée.

Exemples de binômes au cube

Maintenant que nous connaissons la formule du cube d’une somme et la formule du cube d’une différence, nous allons voir un exemple de résolution de chaque type de binôme au cube pour finir de comprendre le concept.

Exemple du cube d’une somme

Résolvez le binôme au cube suivant en appliquant la formule :

$(x+2)^3$

Dans ce problème, nous avons un binôme dont les deux termes sont positifs. Il faut donc appliquer la formule d’une somme élevée au cube :

$(a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2 +b^3$

Il faut maintenant trouver la valeur des paramètres

$a$ et $b$ de la formule. Dans ce cas, $a$ correspond à la variable $x$ et $b$ est le numéro 2.

$\left. \begin{array}{l} (a+b)^3\\[2ex] (x+2)^3 \end{array} \color{red} \right\} \quad \color{red}\bm{\longrightarrow}\quad \color{black} \begin{array}{c} a=x \\[2ex] b=2 \end{array}$

Par conséquent, nous calculons le binôme au cube en substituant les valeurs de

$a$ et de $b$ dans la formule :

exemple d'un binôme somme et différence au cube

Exemple du cube d’une différence

Calculez le binôme au cube suivant (différence) à l’aide de sa formule correspondante :

$(3x-2)^3$

Dans cet exercice, nous avons un binôme avec un élément positif et un élément négatif. Il faut donc utiliser la formule d’une différence élevée au cube :

$(a-b)^3 = a^3-3a^2b+3ab^2 -b^3$

Il faut donc identifier la valeur des inconnues

$a$ et $b$ de la formule. Dans ce cas, $a$ représente le monôme 3x et $b$ est le terme indépendant du binôme, soit 2.

$\left. \begin{array}{l} (a-b)^3\\[2ex] (3x-2)^3 \end{array} \color{red} \right\} \quad \color{red}\bm{\longrightarrow}\quad \color{black} \begin{array}{c} a=3x \\[2ex] b=2 \end{array}$

Notez que le paramètre

$b$ est simplement égal à 2, sans le signe négatif du nombre. Il est important de garder cela à l’esprit pour bien appliquer la formule.

Enfin, on résout le binôme au cube en mettant les valeurs de

$a$ et de $b$ dans la formule :

Preuve de la formule du cube binomial

Ensuite, nous allons démontrer la formule d’un binôme au cube. Bien qu’évidemment il ne soit pas nécessaire de le savoir, il est toujours bon de comprendre l’algèbre derrière toute formule.

A partir d’un binôme au cube positif :

$(a+b)^3$

L’expression ci-dessus peut être décomposée mathématiquement en le produit du facteur

$(a+b)$ par son carré :

$(a+b)^3=(a+b)\cdot (a+b)^2$

De plus, le binôme

$(a+b)$ élevé au 2 c’est une identité remarquable, donc, on peut le résoudre avec la formule du carré d’une somme :

$(a+b)\cdot (a+b)^2=(a+b)\cdot (a^2+2ab+b^2)$

Maintenant, nous multiplions les deux parenthèses en utilisant la propriété distributive :

$\begin{aligned} (a+b)\cdot (a^2+2ab+b^2) & = a\cdot a^2 +a\cdot 2ab + a\cdot b^2+b\cdot a^2 +b\cdot 2ab +b \cdot b^2 \\[2ex] & = a^3+2a^2b+ab^2+ba^2+2ab^2+b^3 \end{aligned}$

Et, enfin, nous n’avons qu’à regrouper les termes qui se ressemblent :

$a^3+2a^2b+ab^2+ba^2+2ab^2+b^3 = a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$

Pour que la formule d’un binôme au cube soit vérifiée :

$(a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2 +b^3$

Logiquement, pour déduire la formule du cube binomial négatif, suivez les mêmes étapes que nous venons de faire mais en commençant par le terme

$b$ changé de signe.

D’autre part, la formule d’un binôme au cube peut également être démontrée à l’aide du triangle de Pascal (ou de Tartaglia) . Au cas où vous ne sauriez pas en quoi consiste cette astuce mathématique, nous vous laissons ce lien où il est expliqué étape par étape. De plus, vous pourrez voir toutes les applications dont il dispose et l’histoire particulière de ce triangle algébrique très spécial.

Problèmes résolus de binômes au cube

Afin que vous puissiez vous entraîner avec la théorie que nous venons de voir sur le calcul d’un binôme à la puissance 3, nous vous avons préparé plusieurs exercices résolus pas à pas sur le binôme au cube.

Alors n’oubliez pas de nous dire ce que vous pensez de cette explication ! Et vous pouvez également nous poser toutes les questions qui se posent ! 👍👍👍

Exercice 1

Trouvez les binômes au cube suivants :

$\text{A)} \ (x+4)^3$

$\text{B)} \ \left(x^2-5\right)^3$

$\text{C)} \ \left(2x-1\right)^3$

$\text{D)} \ (5x+2)^3$

voir solution

Pour trouver toutes les identités notables du problème, il suffit d’appliquer la formule du binôme au cube, selon qu’il s’agit d’une addition ou d’une soustraction :

$(a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2 +b^3$

$(a-b)^3 = a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$

$\text{A)} \ \begin{aligned}(x+4)^3& =x^3+3\cdot x^2\cdot 4 +3\cdot x\cdot 4^2+4^3\\[2ex] & =x^3+3\cdot x^2\cdot 4 +3\cdot x\cdot 16+64 \\[2ex] & = \bm{x^3+12x^2+48x+64}\end{aligned}$

$\text{B)} \ \begin{aligned}\left(x^2-5\right)^3& =\left(x^2\right)^3-3\cdot \left(x^2\right)^2\cdot 5 +3\cdot x^2\cdot 5^2-5^3\\[2ex] & =x^6-3\cdot x^4\cdot 5 +3\cdot x^2\cdot 25-125 \\[2ex] & = \bm{x^6-15x^4+75x^2-125}\end{aligned}$

$\text{C)} \ \begin{aligned}\left(2x-1\right)^3& =\left(2x\right)^3-3\cdot \left(2x\right)^2\cdot 1 +3\cdot 2x\cdot 1^2-1^3\\[2ex] & =8x^3-3\cdot 4x^2\cdot 1 +3\cdot 2x\cdot 1-1 \\[2ex] & = \bm{8x^3-12x^2+6x-1}\end{aligned}$

$\text{D)} \ \begin{aligned}(5x+2)^3& =(5x)^3+3\cdot \left(5x\right)^2\cdot 2 +3\cdot 5x\cdot 2^2+2^3\\[2ex] & =125x^3+3\cdot 25x^2\cdot 2 +3\cdot 5x\cdot 4+8 \\[2ex] & = \bm{125x^3+150x^2+60x+8}\end{aligned}$

Exercice 2

Déterminer les binômes suivants au cube de deux quantités en appliquant la formule correspondante :

$\text{A)} \ \left(4x^2-y^5\right)^3$

$\text{A)} \ \left(6x^3+2y^4\right)^3$

$\text{C)} \ \displaystyle \left(\frac{9}{2}x^2-\frac{4}{3}x\right)^3$

voir solution

Pour calculer tous les produits notables de l’exercice il faut utiliser la formule d’une somme et d’une soustraction élevée au cube :

$(a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2 +b^3$

$(a-b)^3 = a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$

$\text{A)} \ \begin{aligned}\left(4x^2-y^5\right)^3& =\left(4x^2\right)^3-3\cdot \left(4x^2\right)^2\cdot y^5 +3\cdot 4x^2\cdot \left(y^5\right)^2-\left(y^5\right)^3\\[2ex] & =64x^6-3\cdot 16x^4\cdot y^5 +3\cdot 4x^2\cdot y^{10}-y^{15} \\[2ex] & = \bm{64x^6-48x^4y^5+12x^2y^{10}-y^{15}}\end{aligned}$

$\text{B)} \ \begin{aligned}\left(6x^3+2y^4\right)^3& =\left(6x^3\right)^3+3\cdot \left(6x^3\right)^2\cdot 2y^4 +3\cdot 6x^3\cdot \left(2y^4\right)^2+\left(2y^4\right)^3\\[2ex] & =216x^9+3\cdot 36x^6\cdot 2y^4 +3\cdot 6x^3\cdot 4y^8+8y^{12} \\[2ex] & = \bm{216x^9+216x^6y^4 +72x^3y^8+8y^{12}}\end{aligned}$

Les monômes du dernier binôme au cube ont des coefficients fractionnaires, donc pour le résoudre nous devons utiliser les propriétés des fractions :

$\text{C)} \ \displaystyle \begin{aligned}\left(\frac{9}{2}x^2-\frac{4}{3}x\right)^3 & =\left(\frac{9}{2}x^2\right)^3-3\cdot \left(\frac{9}{2}x^2\right)^2\cdot \frac{4}{3}x +3\cdot \frac{9}{2}x^2\cdot \left(\frac{4}{3}x\right)^2-\left(\frac{4}{3}x\right)^3\\[3ex] & =\frac{9^3}{2^3}x^6-3\cdot \frac{9^2}{2^2}x^4\cdot \frac{4}{3}x +3\cdot \frac{9}{2}x^2\cdot \frac{4^2}{3^2}x^2-\frac{4^3}{3^3}x^3 \\[3ex] &= \frac{729}{8}x^6-3\cdot \frac{81}{4}x^4\cdot \frac{4}{3}x +3\cdot \frac{9}{2}x^2\cdot \frac{16}{9}x^2-\frac{64}{27}x^3 \\[3ex] &= \frac{729}{8}x^6-3\cdot \frac{324}{12}x^5 +3\cdot \frac{144}{18}x^4-\frac{64}{27}x^3 \\[3ex] &= \frac{729}{8}x^6-3\cdot 27x^5 +3\cdot 8x^4-\frac{64}{27}x^3 \\[3ex] & = \mathbf{\frac{729}{8}}\bm{x^6-81x^5 +24x^4-}\mathbf{\frac{64}{27}}\bm{x^3}\end{aligned}$

Qu’est-ce qu’un binôme au cube ?

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cube d’une somme

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Exemples de binômes au cube

Exemple du cube d’une somme

Exemple du cube d’une différence

Preuve de la formule du cube binomial

Problèmes résolus de binômes au cube

Exercice 1

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