Produit de la somme par la différence (identité remarquable)

Sur cette page, vous trouverez la formule du produit de la somme par la différence. De plus, vous pourrez voir des exemples d’application de la formule de ce type d’identité remarquable, et vous pourrez même vous entraîner avec des exercices résolus étape par étape.

Quel est le produit de la somme par la différence ?

En mathématiques, la notion de produit de la somme par la différence fait référence à l’une des égalités notables , également appelées identités notables ou produits notables.

Plus précisément, l’expression du produit de la somme par la différence est de la forme (a+b)·(ab) , où (a+b) correspond à la somme de deux termes différents, et (ab) est la différence de ces deux mêmes termes.

Formule du produit de la somme par la différence

Maintenant que nous connaissons la définition mathématique du produit de la somme par la différence, voyons quelle est la formule qui est utilisée pour résoudre ce type d’identité remarquable :

Par conséquent, le produit de la somme par la différence de deux termes est égal à la différence des carrés de ces termes . Autrement dit, multiplier la somme de deux termes différents par la soustraction de ces deux mêmes termes équivaut à élever au carré chacun des 2 termes et à les soustraire.

Cela implique que les différences de carrés peuvent être factorisées en produits de sommes multipliées par les différences. Bien que maintenant cela puisse vous sembler compliqué, sur la page liée, nous expliquons une astuce qui vous permet de factoriser ce type de polynôme en deux étapes simples. Cliquez et découvrez comment c’est fait.

Exemples de produits de sommes par différences

Une fois que nous savons quelle est la formule du produit de la somme par la différence, nous allons ensuite voir plusieurs exemples résolus afin que vous puissiez mieux comprendre comment ce type d’égalité remarquable est résolu.

Exemple 1

• Calculez, en appliquant la formule, le produit suivant de la somme par la différence de deux termes différents :

La formule du produit de la somme par la différence est la suivante :

Donc, la première chose que nous devons faire est d’identifier les valeurs des paramètres

et de la formule. Dans ce cas correspond à la variable et correspond au numéro 2.

Et maintenant qu’on sait quelles valeurs prennent les paramètres

et On peut appliquer la formule du produit de la somme par la différence :

Comme vous pouvez le voir, le produit d’une somme par une différence donnera toujours un terme négatif. Cependant, il ne faut pas confondre cela avec l’identité remarquable du carré d’une soustraction. Si vous avez des doutes, nous vous recommandons de jeter un œil à ce qu’est la formule du carré d’une différence , où vous découvrirez également quelles sont les différences entre ces deux identités remarquables

Exemple 2

• Trouvez, à l’aide de la formule, le produit suivant de la somme par la différence de deux binômes :

La formule du produit de la somme par la différence est la suivante :

Par conséquent, dans ce cas

et . Donc si on applique la formule de la somme par la différence on obtient l’expression algébrique suivante :

Exemple 3

• Résolvez avec la formule le produit suivant de la somme par la différence de deux monômes :

Puisque la multiplication a la propriété commutative, multiplier d’abord la différence puis la somme de deux quantités équivaut à multiplier les mêmes parenthèses en sens inverse.

Par conséquent, bien que dans ce cas le produit soit inversé, c’est-à-dire avant que l’addition ne soit la soustraction, le résultat reste le même que la formule :

Donc dans ce problème

et . Et quand on a identifié la valeur de chaque inconnue on peut utiliser la formule pour calculer le produit notable :

Démonstration de la formule de la somme par la différence

La formule somme fois différence que nous venons d’étudier peut être facilement démontrée.

Si on part du produit d’une somme par une soustraction de deux termes quelconques :

Il suffit de multiplier la première parenthèse par la deuxième parenthèse en utilisant la propriété distributive :

Et en regroupant les termes semblables, nous arrivons à l’expression suivante :

Par conséquent, la formule du produit notable somme par différence est démontrée :

Exercices résolus du produit de la somme par différence

Ci-dessous, nous avons préparé plusieurs exercices résolus étape par étape d’addition par différences afin que vous puissiez vous entraîner. Les exercices sont classés du moins au plus difficile, nous vous recommandons donc de commencer par le 1, de continuer par le 2 et enfin de faire le 3, qui est le plus difficile.

⬇⬇N’oubliez pas non plus que vous pouvez nous laisser toutes les questions qui se posent dans les commentaires !⬇⬇

Exercice 1

Résolvez les produits suivants de sommes par différences :

Exercice 2

Exprimez les multiplications suivantes sous forme de différences de carrés :

Exercice 3

Résolvez les identités notables suivantes :

Pour résoudre la première égalité notable, vous devez vous rappeler qu’une racine carrée simplifie :

Les 2 monômes de la deuxième somme par une différence ont des coefficients fractionnaires, nous devons donc résoudre cet exercice en utilisant les propriétés des fractions :

Enfin, la dernière égalité notable est un peu spéciale car à l’intérieur elle contient un autre produit notable (le carré de la somme) :