Différence (ou soustraction) de carrés

Sur cette page, vous trouverez la formule de la différence (ou soustraction) de deux carrés parfaits. Nous expliquons également comment les différences de carrés sont factorisées et, en plus, vous pourrez voir plusieurs exemples et exercices résolus étape par étape.

Qu’est-ce qu’une différence de carrés ?

En mathématiques, le concept de différence de carrés , ou soustraction de carrés , fait référence à deux termes dont la racine carrée est exacte et, de plus, ils sont soustraits. Autrement dit, l’expression algébrique d’une différence de carrés est a ² -b ² .

Aussi, la différence de deux carrés correspond à l’un des produits notables (ou identités notables), c’est pourquoi elle est si importante.

Formule de la différence des carrés

La formule de l’identité remarquable d’une différence de deux carrés parfaits est la suivante :

Par conséquent, la différence des carrés de deux quantités est égale au produit de la somme par la différence de ces deux quantités.

Ainsi, la formule de la soustraction de deux carrés parfaits a différentes applications en algèbre. Premièrement, il peut être utilisé pour simplifier des expressions polynomiales. Mais, surtout, il sert à factoriser certains types de binômes, dans la section suivante nous expliquons comment le faire étape par étape.

Bien qu’ils aient des noms similaires, vous ne devez pas confondre la différence des carrés avec le carré d’une différence , car ce sont des identités notables différentes. Si vous avez des questions, nous vous recommandons de voir ces exemples du carré d’une différence , ici vous verrez la formule de cette identité remarquable, comment elle est appliquée et quelles sont les différences par rapport à la différence des carrés.

Factoriser une différence de carrés

Les différences de carrés peuvent facilement être factorisées à partir de votre formule.

Mais, évidemment, pour bien comprendre la procédure, vous devez savoir ce que sont les polynômes de factorisation . Au cas où vous ne sauriez toujours pas ce que signifie factoriser un polynôme, avant de poursuivre la lecture, il est préférable de jeter un œil à la page liée, où elle est expliquée en détail.

Ainsi, pour factoriser une différence de 2 carrés, il faut suivre le processus suivant :

La racine carrée des deux termes est calculée.
Multipliez la somme par la soustraction des deux racines trouvées à l’étape précédente.

Voyons mieux comment factoriser une soustraction de carrés à travers un exemple :

Factoriser la différence de carrés suivante :

$x^2 - 9$

Logiquement, avant d’appliquer la procédure que nous avons vue, il faut s’assurer qu’il s’agit bien d’une différence de carrés. Dans ce cas les deux

$x^2$ Puisque 9 sont des carrés parfaits (ils ont des racines exactes) et un a un signe négatif, il consiste en fait en une différence de carrés.

Il faut maintenant calculer la racine carrée de chaque élément :

$\sqrt{x^2} = x$

$\sqrt{9} = 3$

Enfin, il suffit de former deux binômes avec les racines calculées : un binôme dans lequel les racines s’additionnent et un autre binôme dans lequel elles se soustraient. Et puis on multiplie ces deux binômes :

$(x+3)\cdot (x-3)$

De cette façon, nous avons déjà pris en compte la différence des carrés dans le problème dans le produit d’une somme par une différence.

$x^2-9=(x+3)\cdot (x-3)$

Exemples de différences de carrés

Afin que vous puissiez bien comprendre comment sont factorisées les différences de carrés, voici quelques exemples travaillés :

Exemple 1

$4x^2-25$

Dans cet exercice, les racines carrées des deux termes du binôme sont :

$\sqrt{4x^2} = 2x$

$\sqrt{25} = 5$

Il suffit donc de multiplier la somme par la différence des deux racines trouvées :

$(2x+5)\cdot (2x-5)$

Exemple 2

$x^4- 16x^2$

On calcule d’abord les racines carrées des deux éléments :

$\sqrt{x^4} = x^2$

$\sqrt{16x^2} = 4x$

Le polynôme factorisé est donc :

$(x^2+4x)\cdot (x^2-4x)$

Maintenant que vous avez vu différents exemples de soustraction de carrés, nous vous proposons plusieurs exercices résolus étape par étape. Voyons si vous pouvez tout faire correctement ! 😉