Sur cette page, vous trouverez ce qu’est un polynôme monique ainsi que des exemples de polynômes moniques. Vous pourrez également voir les propriétés de ce type de polynôme et comment un polynôme devient monique.
Qu’est-ce qu’un polynôme unitaire ?
La définition du polynôme unitaire est la suivante :
En mathématiques, un polynôme unitaire est un polynôme à une seule variable et dont le coefficient directeur est égal à 1.
Les polynômes moniques sont également appelés polynômes unitaires ou polynômes normés.
Par exemple, le polynôme de degré 2 suivant est monique car il s’agit d’un polynôme univariable et son coefficient directeur est 1 :
Évidemment, pour comprendre le concept d’un polynôme unitaire, vous devez savoir quel est le coefficient directeur d’un polynôme. Si vous n’êtes pas clair à ce sujet, nous vous recommandons de jeter un œil à l’explication de ce que sont toutes les parties d’un polynôme , où, en plus, vous pourrez voir les autres parties (ou éléments) qui composent un polynôme accompagné d’exemples et d’exercices résolus pour s’entraîner.
Exemples de polynômes moniques
Une fois que nous avons vu ce que cela signifie pour un polynôme d’être monique, voyons quelques exemples de ce type de polynôme :
Exemple de polynôme unitaire du second degré :
Exemple de polynôme unitaire du troisième degré :
Exemple de polynôme unitaire du quatrième degré :
Comment transformer n’importe quel polynôme en monic
Maintenant que nous connaissons la signification de polynôme monique, nous allons voir comment convertir un polynôme en monique, ou en d’autres termes, comment “moniser” un polynôme. Ce processus est également appelé normalisation d’un polynôme.
Nous allons donc résoudre un exercice étape par étape pour voir comment cela se fait :
Pour normaliser le polynôme, nous devons diviser tous les éléments qui composent le polynôme par le coefficient du terme de degré le plus élevé du polynôme. Dans ce cas, le coefficient du terme de degré le plus élevé est 4, donc :
![\begin{aligned} \cfrac{P(x)}{4} & =\cfrac{4x^5}{4}+\cfrac{3x^4}{4}-\cfrac{8x^2}{4}+\cfrac{2x}{4}-\cfrac{12}{4} \\[2ex] & = \cfrac{4}{4}x^5+\cfrac{3}{4}x^4-\cfrac{8}{4}x^2+\cfrac{2}{4}x-\cfrac{12}{4} \end{aligned}](https://mathority.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9cee7fd835cb649bc1659f7ad895f028_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Maintenant, simplifions les fractions du polynôme :
Et de cette façon nous avons déjà converti le polynôme du problème en un polynôme monique.
Propriétés des polynômes moniques
Les polynômes moniques ont les caractéristiques suivantes :
- Le produit d’un polynôme monique par un autre polynôme monique donne toujours un polynôme monique.
Cela est dû aux propriétés de multiplication des polynômes . La page liée explique non seulement comment les polynômes sont multipliés, mais vous découvrirez également pourquoi cela se produit avec les propriétés de produit des polynômes.
- Si un polynôme unitaire est composé uniquement de coefficients entiers, les racines dudit polynôme unitaire seront des entiers.
Les racines (ou zéros) d’un polynôme sont des nombres qui définissent un polynôme, c’est donc un concept très important. Si vous ne savez pas ce qu’elles sont ou comment elles sont calculées, vous pouvez visiter notre page d’ exercices résolus pour les racines d’un polynôme dans laquelle nous expliquons en quoi consistent les racines d’un polynôme, comment les trouver, et vous pouvez même pratique avec des exercices résolus étape par étape.
- Bien que le coefficient d’un polynôme multivariable soit l’unité, il n’est jamais considéré comme un polynôme monique précisément parce qu’il a plus d’une variable.