Cette page explique ce qu’est un polynôme complet et vous pouvez également voir des exemples de polynômes complets. De plus, vous trouverez ce que cela signifie pour un polynôme d’être complet et ordonné en même temps. Et enfin, nous analyserons les différences entre les polynômes complets et les polynômes incomplets.
Qu’est-ce qu’un polynôme complet ?
En mathématiques, la définition d’un polynôme complet est la suivante :
Un polynôme complet est ce polynôme qui est formé par tous les termes de tous les degrés, c’est-à-dire qu’un polynôme complet a tous les termes du monôme du plus haut degré au terme indépendant.
Par exemple, le polynôme suivant est complet :
En effet, c’est un polynôme complet car il est composé de tous les termes du degré trois au degré zéro : le monôme x 3 est du troisième degré, le terme 4x 2 est du second degré, l’élément -5x est du premier degré et, enfin, le numéro 3 est de degré 0.
D’un autre côté, un concept sur lequel vous devriez être très clair est ce qu’on appelle le terme de degré zéro d’un polynôme (le numéro 3 du polynôme précédent), puisqu’il a un nom spécifique. Si ce n’est pas le cas, je vous recommande de jeter un œil à ce qu’est le terme indépendant d’un polynôme , où il est expliqué en détail.
Exemples de polynômes complets
Une fois que nous connaissons le concept de polynôme complet, voyons plus d’exemples de ce type de polynôme :
- Exemple de polynôme complet de degré 2 :
- Exemple de polynôme complet de degré 4 :
- Exemple de polynôme complet de degré 7 :
Bien qu’il s’agisse d’un concept totalement différent, si vous êtes arrivé jusqu’ici, vous serez sûrement également intéressé à savoir ce qu’est la décomposition polynomiale d’un nombre. En fait, c’est quelque chose que peu de gens connaissent mais c’est en fait très utile.
Polynôme complet et ordonné
Maintenant que nous savons quand un polynôme est complet, voyons ce que sont les polynômes complets et ordonnés.
Rappelez-vous qu’un polynôme ordonné consiste en un polynôme dont tous les termes sont ordonnés du degré le plus élevé au degré le plus bas. Par exemple, le polynôme suivant est ordonné :
Par conséquent, un polynôme complet et ordonné est ce polynôme qui satisfait les propriétés des polynômes complets et des polynômes ordonnés en même temps. Autrement dit, un polynôme complet et ordonné est un polynôme qui a tous les monômes de tous les degrés et, de plus, lesdits monômes sont ordonnés par ordre décroissant.
Comme vous pouvez le voir, le polynôme de l’exercice précédent est complet et ordonné puisqu’il a tous les termes du degré 5 au terme indépendant et, en plus, tous ces termes sont dans l’ordre.
Bien qu’ils semblent être quelque chose de très simple, les polynômes ordonnés sont plus importants qu’il n’y paraît. Par exemple, dans la multiplication et la division de polynômes, il est essentiel que les polynômes soient bien ordonnés afin d’effectuer l’opération correctement. Au cas où vous ne sauriez pas de quoi je parle, voici deux pages qui expliquent comment multiplier des polynômes et comment diviser des polynômes .
Polynôme complet et incomplet
Enfin, nous allons analyser en quoi les polynômes complets et les polynômes incomplets diffèrent.
Un polynôme incomplet est un polynôme qui n’a PAS tous les monômes de tous les degrés, mais auquel il manque un terme.
Par exemple, le polynôme suivant est incomplet car il n’a pas de monôme de degré 3 ni de terme indépendant :
On pourrait donc dire qu’un polynôme incomplet est précisément l’opposé d’un polynôme complet.
Savoir faire la distinction entre un polynôme complet et un polynôme incomplet est très important pour effectuer certaines opérations. Par exemple, la procédure de la règle de Ruffini change selon que le polynôme est complet ou incomplet. Vous pouvez voir en quoi consiste la méthode Ruffini et comment elle est appliquée sur notre page Ruffini (exercices) .