L’insieme intero è una raccolta di tutti i numeri positivi e negativi. In questo articolo parleremo delle proprietà di questi numeri, di come sono rappresentati sulla linea numerica, di quali operazioni puoi eseguire con essi e molto altro ancora.
Cosa sono i numeri interi?
Gli interi sono tutti numeri naturali e negativi , non decimali. Pertanto, in matematica, l’insieme dei numeri interi è l’insieme di tutti i numeri naturali più l’insieme dei numeri negativi e il numero zero . Questo insieme è, a sua volta, una sottocategoria dell’insieme dei numeri razionali .
Gli interi sono i numeri naturali più i numeri negativi. Pertanto, i numeri interi includono il seguente intervallo: {-∞, …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …, ∞}. Pertanto, è di vitale importanza avere una buona conoscenza dell’insieme dei numeri naturali e dei loro inversi (i negativi) , per poter comprendere gli interi.
Sottoinsiemi di numeri Z
Da quanto spiegato finora possiamo dedurre che esistono due tipi di interi : gli interi positivi (naturali) e gli interi negativi (negativi). Questi due insiemi di numeri sono chiamati sottoinsiemi di numeri interi.
Possiamo però elevare anche altri sottoinsiemi, come i numeri pari e dispari, i numeri primi e i numeri compositi. Perché la teoria degli insiemi applicata all’aritmetica ci permette di raggruppare i numeri in base a qualsiasi proprietà matematica che li descriva.
Esempi di numeri interi
Per chiarire un po’ cosa è un intero, ecco alcuni esempi in ordine:
-8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.
Come puoi vedere, questi sono i primi otto numeri positivi (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8), zero e i reciproci dei numeri naturali precedenti. Ovviamente questi diciassette esempi sono solo una parte del tutto. Ma da questo piccolo gruppo di valori è possibile concettualizzare qualsiasi numero intero.
Caratteristiche dell’insieme degli interi
Questo set digitale ha una serie di caratteristiche:
- È infinito, poiché è composto da due insiemi numerici infiniti (i numeri naturali e quelli negativi).
- Tutti i valori in questo set sono firmati: positivo (+) o negativo (-), tranne zero.
- Hanno un certo ordine: i numeri negativi sono inferiori a zero e i numeri positivi sono maggiori di zero: Negativi < 0 < Positivi.
- Tutti gli interi sono razionali, ma non sono frazionari.
- Per ogni intero positivo esiste un intero negativo uguale, ma di segno opposto.
Rappresentazione degli interi
Nella sezione precedente abbiamo commentato l’ordine degli interi. Ma, per vederlo ancora più chiaramente, ti mostreremo rappresentato sulla linea dei numeri .
Come puoi vedere, questa linea numerica è la combinazione delle linee numeriche dei numeri naturali e dei numeri negativi. In breve, i numeri negativi con il valore assoluto maggiore sono quelli che vanno più a sinistra (i più piccoli). Mentre i numeri positivi con valore assoluto maggiore sono quelli che vanno più a destra (più grandi).
Proprietà degli interi
Prima di imparare a fare operazioni con gli interi, è molto importante conoscere una serie di proprietà . In questo modo possiamo operare facilmente e senza commettere errori.
Vi mostriamo questi immobili in questo elenco:
- Commutativo: oltre ad aggiungere e moltiplicare due valori interi, l’ordine dei fattori non ha importanza. Quindi, per tutti gli interi a e b:
un + b = b + un
ab = ba
- Associativo: oltre ad aggiungere e moltiplicare tre o più valori interi, l’ordine dei fattori non ha importanza. Pertanto, per tutti gli interi a, b e c.
a + (b + c) = (a + b) + c
a · (b · c) = (a · b) · c
- Distributivo: moltiplicare un numero per una somma equivale a prendere un divisore comune:
a(b + c) = ab + ac
- Elemento neutro: sono due numeri che partecipando ad un’operazione con numeri interi non modificano il valore iniziale. Per la moltiplicazione è 1 e per l’addizione è 0.
un 1 = uno
a + 0 = a
- Valore assoluto: qualsiasi intero negativo ha un intero positivo identico, ma senza segno. Ciò vale anche per gli interi positivi, ma il valore assoluto di un positivo è esso stesso positivo.
|-a| = a
|a| = a
Se vuoi saperne di più su queste proprietà, ti consigliamo di dare un’occhiata al nostro articolo sulleproprietà matematiche delle operazioni .
Operazioni con numeri interi
Ora conosci le caratteristiche dell’insieme Z (intero), qual è il suo ordine e le proprietà di questo insieme per la risoluzione delle operazioni. Pertanto, possiamo già parlare delle operazioni stesse.
- Somma di numeri interi: se sommiamo due numeri interi dello stesso segno, aggiungiamo semplicemente i loro valori assoluti e aggiungiamo il segno davanti. Tuttavia, se aggiungiamo un positivo e un negativo, dobbiamo sottrarre i loro valori assoluti e scrivere il segno dell’intero con il valore assoluto più grande:
4 + 5 = 9
(-4) + (-5) = -9
4 + (-5) = -1
- Sottrazione di numeri interi: quando si sottraggono due numeri interi, è necessario applicare la legge dei segni . Poiché ci consente di semplificare le sottrazioni che hanno più di un segno di seguito. E così li convertiamo in somme, che sappiamo già come risolvere (spiegato nella sezione precedente). La tabella seguente spiega la legge dei segni:
(+) · (+) = (+)
(+) · (-) = (-)
(-) · (+) = (-)
(-) · (-) = (+)
Successivamente, presentiamo tutti i casi che possiamo trovare:
4 – 5 = 4 + (-5) = -1
5 – 4 = 5 + (-4) = 1
(-4) – 5 = (-4) + (-5) = -9
4 – (-5) = 4 + 5 = 9
(-4) – (-5) = (-4) + 5 = 1
(-5) – (-4) = (-5) + 4 = -1
- Moltiplicazione di numeri interi: per risolvere le moltiplicazioni di numeri interi, moltiplica semplicemente i valori assoluti. E poi aggiungi il segno corrispondente, usando la legge dei segni, spiegata sopra. Ora vi mostriamo i quattro casi di moltiplicazione esistenti:
4 5 = 20
(-4)5 = -20
4 · (-5) = -20
(-4) · (-5) = 20
- La divisione dei numeri interi: infine abbiamo le divisioni, per risolverle dobbiamo fare il quoziente dei valori assoluti e aggiungere il segno, in base alla legge dei segni. Successivamente, ti mostriamo i quattro casi che puoi trovare:
20 ÷ 5 = 4
(-20) ÷ 5 = -4
20 ÷ (-5) = -4
(-20) ÷ (-5) = 4
Come viene utilizzato l’insieme dei numeri interi nella vita quotidiana?
L’insieme dei numeri interi viene utilizzato nella vita di tutti i giorni in diversi modi. Ad esempio, quando si tenta di misurare qualcosa , vengono solitamente utilizzati i numeri interi, in particolare quelli positivi.
Vengono utilizzati anche per eseguire calcoli matematici di base , come addizioni, sottrazioni, moltiplicazioni e divisioni. Questo vale per tutte le azioni quotidiane che compiamo, come: acquistare, calcolare la valuta, misurare la distanza di un viaggio, tenere traccia del tempo…
Altri modi per utilizzare i numeri interi nella vita quotidiana includono ordinare oggetti (ad esempio, posizionare i libri su uno scaffale in ordine alfabetico) e tracciare posizioni (ad esempio, trovare un edificio su una mappa). In conclusione, quasi tutto ciò che fai è circondato da valori interi.