La teoria degli insiemi è uno dei quattro elementi della logica matematica . Questa teoria analizza il raggruppamento di elementi studiandone le qualità e i legami tra gli oggetti che compongono l’insieme.
Quando parliamo di insiemi, in questa teoria ci riferiamo a gruppi astratti di strutture che hanno una caratteristica simile. In questa teoria, operazioni come intersezione, complemento, differenza e unione vengono eseguite con gli oggetti che creano l’insieme in quanto tale.
Più semplicemente, la teoria degli insiemi è una branca della matematica basata sugli insiemi. Pertanto, valuta tutte le proprietà di ciascun elemento, nonché le connessioni che si verificano tra di loro.
Come abbiamo spiegato ben prima, gli insiemi non sono altro che gruppi di oggetti. Cioè, possono essere simboli, parole, numeri, figure geometriche, lettere, tra gli altri.
Che tipi di set esistono?
A seconda del numero di oggetti contenuti in un insieme, questi vengono classificati in modi diversi. Questi sono:
- Insiemi finiti : sono tutti quelli che hanno un numero comune di elementi. Ad esempio, tutti i giorni della settimana, tutte le vocali, tra gli altri.
- Insiemi infiniti : contengono un numero infinito di oggetti. Ad esempio, i numeri reali.
- Insieme universale : riunisce tutti gli oggetti presi in considerazione in un caso particolare. Ad esempio, se desideri utilizzare il set di numeri di un dado, il set universale è U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
- Insieme vuoto : è l’insieme che non ha elementi. Ad esempio, tutti i mesi dell’anno che hanno 27 giorni.
Quali sono i metodi per definire un insieme?
Per definire un insieme , stabiliamo innanzitutto un aspetto comune degli elementi del gruppo. Ad esempio, un primo insieme contenente numeri interi positivi, anche numeri inferiori a 20. Sarebbe simile a questo:
A= {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18}.
Da qui, è possibile utilizzare due metodi per definire un insieme. Il primo di questi è noto come metodo di numerazione o estensione . E il secondo è chiamato metodo di descrizione . Nella prima vengono specificatamente elencati gli elementi dell’insieme, mentre nella seconda si basa la proprietà che gli elementi devono soddisfare.
Il primo sistema è molto utile per descrivere insiemi che contengono pochi elementi , ecco alcuni esempi:
Lancia i dadi comuni M= {1, 2, 3, 4, 5, 6} (Finito).
Vocali dell’alfabeto G= {a, e, i, o, u} (Finito).
Mentre il secondo metodo è più pratico per definire insiemi con un numero elevato di elementi , ovvero insiemi infiniti. Successivamente, ti mostriamo alcuni esempi:
Tutti i numeri naturali inferiori a 32 S = {x ∈ ℕ | x < 32} (finito).
Tutti i numeri naturali N = {x ∈ ℕ} (Infinito).
Cos’è un insieme di numeri?
Fondamentalmente, la categorizzazione in cui rientrano i numeri è nota come insiemi di numeri . Ciò in relazione alle caratteristiche di ciascuno di essi. Cioè se ad esempio un numero ha cifre decimali oppure se ha il segno negativo.
Gli insiemi di numeri sono tutti i numeri di cui abbiamo bisogno per eseguire diverse operazioni matematiche. Ciò vale sia nella vita di tutti i giorni che in scenari più complessi come quelli scientifici o ingegneristici.
Questi insiemi provengono da creazioni della mente umana. Sono quindi costituiti in astratto. In altre parole, i set digitali non esistono materialmente . I set di numeri vengono quindi divisi in diversi tipi di numeri.
- Numeri naturali : sono quelli che tutti usiamo per contare. Si estendono all’infinito e occupano piccole frazioni di unità. Formalmente l’insieme dei numeri naturali si esprime con la lettera N e come segue: ℕ = {1, 2, 3 …} = ℕ \ {0}
- Interi : questi numeri comprendono i numeri naturali. Inoltre, tutti i numeri che occupano frazioni caute, ma che hanno davanti un segno negativo. Allo stesso modo viene aggiunto anche lo zero. Possono essere espressi come segue: ℤ = {…, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, …}. In questo insieme, ciascuno dei numeri ha il suo equivalente con il segno opposto. In altre parole, l’opposto di 8 è – 8.
- Numeri razionali : i numeri razionali comprendono i numeri espressi come quoziente di due numeri interi e di tutti i numeri interi. Ciò significa che possono avere un numero decimale senza alcun problema. Questo insieme potrebbe essere espresso come segue: ℚ = ℤ/ℤ.
- Numeri irrazionali : questi numeri non sono espressi come quoziente di due numeri interi. Inoltre, non sono specificati in una sezione periodica continua, anche se si estendono all’infinito. È necessario chiarire che i numeri irrazionali e razionali fanno parte di insiemi diversi. Non hanno quindi caratteristiche comuni. Un esempio di numero irrazionale è: √123. 11.0905365064.
- Numeri reali : questi numeri includono numeri razionali e irrazionali. Ciò significa che questo gruppo include numeri da meno infinito a infinito.
- Numeri immaginari : questi numeri si ottengono moltiplicando l’unità immaginaria per qualsiasi numero reale. L’unità immaginaria si traduce nella radice quadrata di – 1. Questi numeri non hanno alcuna relazione con i numeri reali. Sono espressi come segue: p= r * s. In questo caso: p è un numero immaginario, r è un numero reale e s è l’unità immaginaria.
- Numeri complessi – I numeri complessi hanno una parte immaginaria e una parte reale. La sua struttura è espressa come segue: v + ri. In questo caso: v è un numero reale, r è la parte immaginaria, i è l’unità immaginaria
Cos’è l’unione degli insiemi?
Possiamo considerare che l’ unione di insiemi non è altro che un’operazione binaria che si effettua sull’insieme di tutti gli insiemi interni di una U. Intendere per operazione binaria ciò che dipende dall’operatore e da due argomenti perché ci sia un particolare calcolo.
In questo senso, ogni coppia di insiemi A e B facenti parte di U è associata ad un altro insieme (AUB) di U. Pertanto, se A e B sono due insiemi distinti, l’unione degli insiemi è espressa come segue: A={ Luis, Carlos}, B={Carla, Luisa, Paola}; AUB={Luis, Carlos, Carla, Luisa, Paola}.
Cos’è l’intersezione degli insiemi?
L’intersezione degli insiemi è un’operazione che deriva in un altro insieme con oggetti ripetuti o frequenti rispetto agli insiemi originali. Nel caso in cui si verifichi un’intersezione di insiemi vuoti, essa è definita disgiunta. In questo caso si esprime come segue: S ∩ D = Ø.
Il simbolo ∩ in questa operazione risponde all’intersezione. Per capire meglio, guardiamo il seguente esempio:
M= {Verde, Nero, Bianco, Viola}.
J = {Nero, Verde, Rosa, Blu}.
In questo caso: M ∩ J = {verde, nero} perché sono gli oggetti che si ripetono nei due insiemi iniziali.
Qual è la differenza complessiva?
La differenza insiemistica è la terza operazione che fa parte della teoria degli insiemi. Si definisce come l’operazione che permette di ottenere un nuovo insieme dagli oggetti di A che non sono contenuti in B. Ad esempio:
A = {4, 6, 8, 10, 12, 14}.
B = {2, 4, 6, 8}.
Quindi la differenza di insieme si ottiene dagli elementi che fanno parte dell’insieme A, ma non dell’insieme B. Ciò risulta in {10, 12, 14}.
Qual è il complemento di un insieme?
Il complemento di un insieme è definito come tutti gli oggetti di U che non fanno parte dell’insieme. In altre parole, è un insieme che ha elementi che non costituiscono l’insieme originale. Per comprendere meglio questo concetto è fondamentale conoscere gli oggetti che vengono utilizzati, o al contrario la tipologia di set universale.
In altre parole, se ad esempio parliamo di numeri primi , l’insieme complementare è quello dei numeri non primi. Allo stesso tempo, l’insieme dei numeri primi è il complemento dei numeri non primi.
Qual è la differenza simmetrica tra gli insiemi?
La differenza simmetrica degli insiemi è un insieme i cui oggetti fanno parte di un insieme iniziale, senza avere nulla a che fare con gli altri due insiemi contemporaneamente. Se esempiamo questa operazione dalla teoria degli insiemi, abbiamo quanto segue:
{1, 2, 3} e {2, 3, 4, 6, 9, 8} = la differenza simmetrica sarebbe {1, 4, 6, 9, 8}.
Cos’è il diagramma di Venn?
I grafici che fanno parte del diagramma di Venn sono tutti quelli espressi da una linea continua chiusa. Cioè, ovali, triangoli, cerchi, tra gli altri. In generale, l’insieme universale è espresso come un rettangolo. Il resto dei set sono espressi geometricamente con cerchi o ovali.
È importante tenere presente che questo diagramma non comporta alcuna prova matematica. Tuttavia è utile avere intuito la connessione tra un certo insieme e un altro.
Dove si applica la teoria degli insiemi?
Gli ambiti di applicazione della teoria degli insiemi sono numerosi. Viene utilizzato principalmente nella formulazione di basi logiche geometriche. Tuttavia, ha altre applicazioni come la topologia . In generale, questa teoria è rilevante nella scienza, nella matematica, nella fisica, nella biologia, nella chimica e persino nell’ingegneria.
Per comprendere meglio la logica matematica è fondamentale conoscere bene questo elemento, la teoria degli insiemi è uno dei più importanti. Inoltre non ha applicazione solo in matematica, come abbiamo spiegato ben prima.
Come si parla di teoria degli insiemi nel linguaggio quotidiano?
La teoria degli insiemi è una parte fondamentale della matematica. Ma questo riguarda anche ambiti più quotidiani che operativi. In altre parole, non sono sempre insiemi numerici. Nel linguaggio tradizionale, riferirsi ad un insieme è un po’ più complesso.
Il motivo è che se vogliamo costituire un gruppo dei pittori più significativi, ad esempio, le percezioni saranno varie. Pertanto, il consenso è praticamente impossibile . Insomma, non è così semplice stabilire chi fa o meno parte del gruppo in base alle sue qualità.
Alcuni di questi insiemi particolari sono quelli definiti come insiemi vuoti o privi di elementi. Inoltre, potremmo avere a che fare con insiemi di un singolo elemento o unità.
Qual è la storia della teoria degli insiemi?
La teoria degli insiemi nasce grazie alle ricerche del tedesco Georg Cantor . Questo personaggio era un famoso matematico. Infatti, fino ad oggi è conosciuto come il padre di questa teoria. Tra le indagini più rilevanti dei ricercatori ci sono gli insiemi numerici e infiniti.
La prima ricerca di Cantor relativa alla teoria degli insiemi risale al 1874. Inoltre, è importante ricordare che il suo lavoro rimase legato alle ricerche di Richard Dedekind , un importante matematico dell’epoca. Anche questi ultimi ebbero un ruolo fondamentale nello studio dei numeri naturali.
Quanto è importante la teoria degli insiemi?
Lo studio di questa teoria è essenziale per l’ analisi della probabilità , della matematica in tutto ciò che la riguarda e della statistica. Ognuna delle operazioni che fanno parte di questa teoria serve per effettuare esperimenti al fine di ottenere un risultato specifico.
Le risposte hanno sempre a che fare con le circostanze in cui viene condotto l’esperimento. Per questo motivo i set giocano un ruolo fondamentale in questo tipo di ricerca .