Numeri immaginari

Sicuramente hai sentito parlare dell’insieme dei numeri immaginari o dell’unità immaginaria. È un concetto matematico che nasce dall’esigenza matematica di esprimere numeri che non appartengono ai numeri reali .

Cosa sono i numeri immaginari?

I numeri immaginari sono quelli che, al quadrato, danno un numero negativo . Si tratta quindi di valori equivalenti alla radice quadrata di un numero negativo. Ad esempio, l’unità immaginaria (il numero i) è uguale alla radice quadrata di -1.

Questi numeri non appartengono ai numeri reali, perché nell’insieme reale le radici negative non possono essere risolte. È qui che risiede l’importanza dell’ambientazione immaginaria. Questo insieme è stato inventato per poter trattare le radici negative e per poter risolvere tutte quelle equazioni e problemi quadratici che “non hanno soluzione”, perché ci danno una radice negativa.

Per evitare confusione, è importante distinguere tra numeri immaginari e numeri complessi . I complessi sono numeri composti da un numero reale e da un numero immaginario . Pertanto, gli immaginari sono una sottocategoria di complessi, che non hanno una parte reale. Nella tabella seguente potrete apprezzare meglio le differenze.

Per finire di situare questo set digitale, possiamo visualizzare nell’immagine seguente una struttura di tutti i set. Come possiamo vedere, i numeri complessi comprendono tutte le tipologie di numeri , questi a loro volta possono essere suddivisi in numeri reali e numeri immaginari puri (che sono quelli di cui ci occupiamo in questo articolo).

Esempi di numeri immaginari

Dall’unità immaginaria (i), possiamo dedurre altri numeri immaginari. Devi solo applicare la seguente formula:

m = ri

Dove m è un numero immaginario, r è un numero reale e i è l’unità immaginaria. Nell’immagine seguente puoi vedere come otteniamo immaginari diversi dalle radici negative.

Infatti possiamo estrapolarlo alla seguente espressione:

Proprietà dei numeri immaginari

I numeri immaginari hanno una serie di proprietà molto interessanti . Di alcuni abbiamo già parlato all’inizio di questo articolo e di altri no:

• Gli immaginari non appartengono all’insieme delle realtà, perché sono numeri che fisicamente non esistono e non possono essere rappresentati nella nostra realtà.
• Questi sono valori equivalenti a radici negative.
• Possono essere rappresentati graficamente sulla linea immaginaria.
• Le potenze immaginarie (questo è un concetto che spiegheremo nella prossima sezione) sono di grande aiuto per semplificare i calcoli numerici che coinvolgono valori immaginari.
• La formula di Eulero è un’espressione che permette di mettere in relazione i numeri immaginari con i numeri reali.

Operazioni con numeri immaginari

Ora che conosci tutte le caratteristiche importanti dei numeri immaginari, è tempo di imparare a risolvere le operazioni con essi. Per operare con valori immaginari , devi seguire gli stessi passi che segui per operare con valori reali, tranne che devi tenere conto di un concetto: i poteri immaginari.

poteri immaginativi

I numeri immaginari hanno una proprietà molto interessante che si verifica quando moltiplichi l’unità immaginaria per se stessa. Cioè, questo accade quando crei poteri di unità immaginaria . Se annotiamo le potenze, come nell’elenco seguente, si può scoprire uno schema:

io ⁰ = 1

^Io1 = Io

io ² = io · io = ( √ -1) · ( √ -1) = -1

^io3 = ^io2 io = (-1) io = -i

io ⁴ = io ² io ² = (-1) (-1) = 1

Conoscere questo concetto ci renderà molto più semplice risolvere operazioni con numeri immaginari, perché potremo semplificare le operazioni difficili e renderle un po’ più facili. Inoltre, l’aspetto positivo di questi poteri è che si ripetono all’infinito. Possiamo vederlo, se aggiungiamo qualche altro potere:

Io ⁵ = Io

^io6 = -1

^io7 = -io

^io8 = 1

eccetera.

E questo accade anche con i poteri negativi.

Operazioni aritmetiche con numeri immaginari

Successivamente, ti forniremo un esempio di ciascuna operazione aritmetica di base, in modo che tu possa vedere risolti i calcoli dei numeri immaginari.

• Somma di numeri immaginari: è esattamente come sommare numeri reali, solo che non dimenticare di aggiungere la i.

4i + 3i = 7i

• Sottrazione di numeri immaginari: Anche le sottrazioni vengono risolte allo stesso modo dell’insieme reale.

4i – 3i = I

• Moltiplicazione di numeri immaginari: in questo caso dobbiamo tenere presente le potenze immaginarie di cui abbiamo parlato prima.

3i 4i = 12 i ² = 12 (-1) = -12

• Divisione di numeri immaginari: in questo tipo di divisione bisogna anche stare attenti, nel caso in cui incontriamo un potere immaginario, che ci permetta di semplificare l’operazione.

12i÷4i = 3

Equazioni con numeri immaginari

Come abbiamo detto prima, quando risolviamo equazioni nell’insieme reale, a volte otteniamo radici negative e, quindi, le equazioni “non hanno soluzione” . Ma ora che conosciamo gli immaginari, possiamo risolvere queste equazioni. Vediamo un esempio:

A cosa servono i numeri immaginari?

I numeri immaginari nascono dall’esigenza di poter esprimere valori che esulano dall’insieme reale. Ecco perché, a prima vista, potrebbe sembrare che non abbiano molte applicazioni utili . Ma la verità è che è esattamente il contrario. Perché quando li combiniamo con quelli reali, otteniamo i numeri complessi.

E questi hanno molte applicazioni. Servono per studiare la corrente alternata (perché ha valori negativi), il suo utilizzo è molto diffuso anche nel campo delle onde (che ha applicazioni in fisica, elettronica delle telecomunicazioni e meccanica quantistica). Tra molti altri usi.

Inoltre, capita spesso che quando risolviun’equazione quadratica , il valore ti dà una radice negativa e non puoi operare… Con gli immaginari puoi risolverli . Quindi, in conclusione, possiamo dire che si tratta di un insieme che ci permette di ampliare la nostra conoscenza più astratta.