Matrice minore, assistente e assistente complementare

In questa sezione vedremo cosa sono e come calcolare una minore complementare, un’aggiunta e la matrice aggiunta . Inoltre troverai esempi, per comprendere perfettamente, ed esercizi risolti passo dopo passo, per esercitarti.

Cos’è il minore complementare?

Si chiama complemento minore di un elemento.

$a_{ij}$

al determinante ottenuto cancellando la riga

$i$

e la colonna

$j$

di una matrice.

Come si calcola il minore complementare di un elemento?

Vediamo come si calcola il minore complementare di un elemento utilizzando alcuni esempi:

Esempio 1:

Calcola il complemento minore di 1 della seguente matrice quadrata 3 × 3:

$\displaystyle A = \left( \begin{array}{ccc} 6 & 1 & 7 \\[1.1ex] 3 & 2 & 0 \\[1.1ex] 5 & 8 & 4 \end{array} \right)$

Il minore complementare di 1 è il determinante della matrice che rimane quando si elimina la riga e la colonna in cui si trova l’1. Cioè, rimuovendo la prima riga e la seconda colonna:

$\left( \begin{tabular}{ccc} \cellcolor[HTML]{F5B7B1}6 & \cellcolor[HTML]{F5B7B1}1 & \cellcolor[HTML]{F5B7B1}7 \\ & \cellcolor[HTML]{F5B7B1} & \\[-2ex] 3 & \cellcolor[HTML]{F5B7B1}2 & 0 \\ & \cellcolor[HTML]{F5B7B1} & \\[-2ex] 5 & \cellcolor[HTML]{F5B7B1}8 & 4 \end{tabular} \right)$

$\text{Menor complementario de 1} = \begin{vmatrix} 3 & 0 \\[1.1ex] 5 & 4 \end{vmatrix} = \bm{12}$

Esempio 2:

Questa volta calcoleremo il minore complementare di 0 della stessa matrice di prima:

$\displaystyle A = \left( \begin{array}{ccc} 6 & 1 & 7 \\[1.1ex] 3 & 2 & 0 \\[1.1ex] 5 & 8 & 4 \end{array} \right)$

Il minore complementare di 0 è il determinante della matrice rimuovendo la riga e la colonna dove lo 0 è:

$\left( \begin{tabular}{ccc} 6 & 1 & \cellcolor[HTML]{F5B7B1}7 \\ & & \cellcolor[HTML]{F5B7B1} \\[-2ex] \cellcolor[HTML]{F5B7B1} 3 & \cellcolor[HTML]{F5B7B1}2 & \cellcolor[HTML]{F5B7B1}0 \\ & &\cellcolor[HTML]{F5B7B1} \\[-2ex] 5 & 8 & \cellcolor[HTML]{F5B7B1}4 \end{tabular} \right)$

$\text{Menor complementario de 0} = \begin{vmatrix} 6 & 1 \\[1.1ex] 5 & 8 \end{vmatrix} = \bm{43}$

Esercizi risolti per minori complementari

Esercizio 1

Calcola il più piccolo complemento di 3 della seguente matrice 3×3:

$\displaystyle \begin{pmatrix} 5 & 1 & 2 \\[1.1ex] 3 & 4 & 7 \\[1.1ex] -1 & 6 & 7 \end{pmatrix}$

vedi soluzione

Il minore complementare di 3 è il determinante della matrice che rimane dopo aver rimosso la riga e la colonna dove il 3 è:

$\text{Menor complementario de 3} = \begin{vmatrix} 1 & 2 \\[1.1ex] 6 & 7 \end{vmatrix} = \bm{-5}$

Esercizio 2

Trova il minore complementare di 5 della seguente matrice di ordine 3:

$\displaystyle \begin{pmatrix} -2 & 4 & -2 \\[1.1ex] 1 & 3 & 4 \\[1.1ex] 5 & 8 & 1 \end{pmatrix}$

vedi soluzione

Il minore complementare di 5 è il determinante della matrice che otteniamo eliminando la riga e la colonna dove è il 5:

$\text{Menor complementario de 5} = \begin{vmatrix} 4 & -2 \\[1.1ex] 3 & 4 \end{vmatrix} = \bm{22}$

Esercizio 3

Calcola il complemento minore di 6 della seguente matrice 4×4:

$\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 & 4 \\[1.1ex] 2 & 6 & -1 & 8 \\[1.1ex] 3 & 9 & -1 & 4 \\[1.1ex] 5 & 4 & 1 & 3 \end{pmatrix}$

vedi soluzione

Il minore complementare di 6 è il determinante della matrice che rimane dopo aver rimosso la riga e la colonna dove si trova il 6:

$\text{Menor complementario de 6} = \begin{vmatrix} 1 & 3 & 4 \\[1.1ex] 3 & -1 & 4 \\[1.1ex] 5& 1 & 3 \end{vmatrix}$

Risolviamo il determinante con la regola di Sarrus:

$\displaystyle \begin{vmatrix} 1 & 3 & 4 \\[1.1ex] 3 & -1 & 4 \\[1.1ex] 5 & 1 & 3 \end{vmatrix}=-3+60+12+20-4-27 = \bm{58}$

Qual è l’aggiunto di un elemento di un array?

Il deputato di

$a_{ij}$

, ovvero l’elemento pubblicitario

$i$

e la colonna

$j$

, si ottiene con la seguente formula:

$\text{Adjunto de } a_{ij} = (-1)^{i+j} \bm{\cdot} \text{Menor complementario de } a_{ij}$

Come ottenere l’aggiunto di un elemento di un array?

Vediamo come si calcola l’aggiunto di un elemento attraverso diversi esempi:

Esempio 1:

Calcola l’ aggiunto di 4 della seguente matrice di ordine 3:

$\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\[1.1ex] 4 & 5 & 6 \\[1.1ex] 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}$

$\text{Adjunto de } 4 = (-1)^{i+j} \bm{\cdot} \text{Menor complementario de } 4$

Il 4 è nella riga 2 e nella colonna 1 , quindi in questo caso

$i = 2$

$j = 1 :$

$\text{Adjunto de } 4 = \displaystyle (-1)^{2+1} \bm{\cdot} \text{Menor complementario de } 4$

E, come abbiamo visto in precedenza, il complemento minore di 4 è il determinante della matrice, eliminando la riga e la colonna dove si trova il 4. Perciò:

$\text{Adjunto de} 4 = \displaystyle(-1)^{2+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 2 & 3 \\[1.1ex] 8 & 9 \end{vmatrix}$

Ora risolviamo il determinante e troviamo l’aggiunto di 4:

$\text{Adjunto de } 4 = (-1)^{3} \bm{\cdot} (-5) = -1 \cdot (-6) = \bm{6}$

Ricorda che un numero negativo elevato a un esponente pari è positivo. Pertanto, se -1 viene elevato a un numero pari, diventerà positivo.

$\bm{\longrightarrow}(-1)^2=\bm{+1}$

D’altra parte, se un numero negativo viene elevato a un esponente dispari, è negativo. Pertanto, se -1 viene elevato a un numero dispari, sarà sempre negativo.

$\bm{\longrightarrow}(-1)^3=\bm{-1}$

Esempio 2:

Troveremo il sostituto di 5 della stessa matrice di prima:

$\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\[1.1ex] 4 & 5 & 6 \\[1.1ex] 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}$

$\text{Adjunto de } 5 = (-1)^{i+j} \bm{\cdot} \text{Menor complementario de } 5$

$\text{Adjunto de} 5 = \displaystyle(-1)^{2+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 1 & 3 \\[1.1ex] 7 & 9 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-12) = \bm{-12}$

Esempio 3:

Facciamo il vice di 3 della stessa matrice:

$\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\[1.1ex] 4 & 5 & 6 \\[1.1ex] 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}$

$\text{Adjunto de } 3 = (-1)^{i+j} \bm{\cdot} \text{Menor complementario de } 3$

$\text{Adjunto de} 3 \displaystyle = (-1)^{1+3} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 4 & 5 \\[1.1ex] 7 & 8 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-3) = \bm{-3}$

L’aggiunto di un elemento viene utilizzato per calcolare i determinanti, come vedremo in seguito, e per calcolare la matrice aggiunta, che è ciò che vedremo ora.

Esercizi risolti per gli assistenti

Esercizio 1

Calcola l’aggiunto di 2 della seguente matrice 3×3:

$\displaystyle \begin{pmatrix} 2 & 3 & 1 \\[1.1ex] -1 & -3 & 5 \\[1.1ex] 5 & 3 & 1 \end{pmatrix}$

vedi soluzione

Per ottenere il risultato dell’aggiunto di 2 basta applicare la formula per l’aggiunto di un elemento:

$\text{Adjunto de 2} = (-1)^{i+j} \bm{\cdot} \text{Menor complementario de 2}$

$\text{Adjunto de 2} \displaystyle = (-1)^{1+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} -3 & 5 \\[1.1ex] 3 & 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-18) = \bm{-18}$

Esercizio 2

Trova l’aggiunto di 4 della seguente matrice di ordine 3:

$\displaystyle \begin{pmatrix} 3 & 1 & -1 \\[1.1ex] 2 & 9 & 4 \\[1.1ex] 6 & 5 & -3 \end{pmatrix}$

vedi soluzione

Per ottenere il deputato di 4 dobbiamo utilizzare la formula per il deputato di un elemento:

$\text{Adjunto de 4} = (-1)^{i+j} \bm{\cdot} \text{Menor complementario de 4}$

$\text{Adjunto de 4} \displaystyle = (-1)^{2+3} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 3 & 1 \\[1.1ex] 6 & 5 \end{vmatrix} = -1 \cdot 9 = \bm{-9}$

Esercizio 3

Trova il deputato di 7 della seguente matrice 4×4:

$\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 2 & 5 & -2 \\[1.1ex] 3 & 1 & -3 & 3 \\[1.1ex] 2 & -1 & 4 & 0 \\[1.1ex] 2 & 7 & 9 & -4 \end{pmatrix}$

vedi soluzione

Per fare l’aggiunta di 7 applichiamo la formula per l’aggiunta di un elemento:

$\text{Adjunto de 7}=(-1)^{4+2} \bm{\cdot} \text{Menor complementario de 7}$

$\text{Adjunto de 7} \displaystyle = (-1)^{4+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 1 & 5 & -2 \\[1.1ex] 3 & -3 & 3 \\[1.1ex] 2 & 4 & 0\end{vmatrix}$

Applichiamo la regola di Sarrus per risolvere il determinante del terzo ordine:

$\displaystyle = (-1)^{6} \bm{\cdot} \bigl[0+30-24-12-12-0\bigr]$

$\displaystyle = 1 \bm{\cdot} \bigl[-18 \bigr] = \bm{-18}$

Cos’è la matrice allegata?

L’ array allegato è un array in cui tutti i suoi elementi sono stati sostituiti dai loro sostituti.

Come calcolare la matrice aggiunta?

Per calcolare la matrice dei sostituti , dobbiamo sostituire tutti gli elementi della matrice con i loro sostituti.

Vediamo come è realizzata la matrice unita attraverso un esempio:

Esempio:

Calcola la matrice aggiunta della seguente matrice quadrata di dimensione 2×2:

$\displaystyle A = \begin{pmatrix} 4 & -1 \\[1.1ex] 3 & 2 \end{pmatrix}$

Per calcolare la matrice aggiunta, dobbiamo calcolare l’aggiunto di ciascun elemento della matrice . Pertanto, risolveremo prima gli aggiunti di tutti gli elementi con la formula:

$\text{Adjunto de } a_{ij} = (-1)^{i+j} \bm{\cdot} \text{Menor complementario de } a_{ij}$

$\text{Adjunto de } 4 =\displaystyle (-1)^{1+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 2 \end{vmatrix} = 1 \cdot 2 = \bm{2}$

$\text{Adjunto de -1} =\displaystyle (-1)^{1+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 3 \end{vmatrix} = -1 \cdot 3 = \bm{-3}$

$\text{Adjunto de } 3 =\displaystyle (-1)^{2+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} -1 \end{vmatrix} = -1 \cdot (-1) = \bm{1}$

$\text{Adjunto de } 2 =\displaystyle (-1)^{2+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 4 \end{vmatrix} = 1 \cdot 4 = \bm{4}$

Ora dobbiamo solo sostituire ogni elemento dell’array

$A$

dal suo sostituto per trovare la matrice dei sostituti di

$\bm{A} :$

$\text{Adj} (A) = \begin{pmatrix} \bm{2} & \bm{-3} \\[1.1ex] \bm{1} & \bm{4} \end{pmatrix}$

E così si ritrova il deputato di una matrice. Ma probabilmente ti starai chiedendo a cosa servono tutti questi calcoli? Bene, una delle utilità dell’unione di matrici è calcolare l’ inverso di una matrice . Infatti, il metodo più comune per trovare la matrice inversa è il metodo della matrice aggiunta.

Risolti problemi con matrici aggiunte

Esercizio 1

Calcola la matrice aggiunta della seguente matrice quadrata 2×2:

$\displaystyle \begin{pmatrix} 2 & 3 \\[1.1ex] -4 & 1 \end{pmatrix}$

vedi soluzione

Per calcolare la matrice aggiunta, dobbiamo calcolare l’aggiunto di ciascun elemento della matrice. Pertanto, risolveremo prima gli aggiunti di tutti gli elementi con la formula:

$\text{Adjunto de 2} =\displaystyle (-1)^{1+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot 1 = \bm{1}$

$\text{Adjunto de 3} =\displaystyle (-1)^{1+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} -4 \end{vmatrix} = -1 \cdot (-4) = \bm{4}$

$\text{Adjunto de -4} =\displaystyle (-1)^{2+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 3 \end{vmatrix} = -1 \cdot 3 = \bm{-3}$

$\text{Adjunto de 1} =\displaystyle (-1)^{2+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 2 \end{vmatrix} = 1 \cdot 2 = \bm{2}$

Ora dobbiamo solo sostituire ogni elemento dell’array

$A$

dal suo sostituto per trovare la matrice dei sostituti di

$A :$

$\text{Adj} (A) = \begin{pmatrix} \bm{1} & \bm{4} \\[1.1ex] \bm{-3} & \bm{2} \end{pmatrix}$

Esercizio 2

Trova la matrice aggiunta della seguente matrice del secondo ordine:

$\displaystyle \begin{pmatrix} 6 & -2 \\[1.1ex] 3 & -7 \end{pmatrix}$

vedi soluzione

Per calcolare la matrice aggiunta, dobbiamo calcolare l’aggiunto di ciascun elemento della matrice. Pertanto, risolveremo prima gli aggiunti di tutti gli elementi con la formula:

$\text{Adjunto de 6} =\displaystyle (-1)^{1+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} -7 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-7) = \bm{-7}$

$\text{Adjunto de -2} =\displaystyle (-1)^{1+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 3 \end{vmatrix} = -1 \cdot 3 = \bm{-3}$

$\text{Adjunto de 3} =\displaystyle (-1)^{2+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} -2 \end{vmatrix} = -1 \cdot (-2) = \bm{2}$

$\text{Adjunto de -7} =\displaystyle (-1)^{2+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 6 \end{vmatrix} = 1 \cdot 6 = \bm{6}$

Ora dobbiamo solo sostituire ogni elemento dell’array

$A$

dal suo sostituto per trovare la matrice dei sostituti di

$A :$

$\text{Adj} (A) = \begin{pmatrix} \bm{-7} & \bm{-3} \\[1.1ex] \bm{2} & \bm{6} \end{pmatrix}$

Esercizio 3

Calcola la matrice aggiunta della seguente matrice 3×3:

$\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 3 & -1 \\[1.1ex] 2 & 4 & 0 \\[1.1ex] 5 & 0 & -2 \end{pmatrix}$

vedi soluzione

Per calcolare la matrice aggiunta, dobbiamo calcolare l’aggiunto di ciascun elemento della matrice. Pertanto, risolveremo prima gli aggiunti di tutti gli elementi con la formula:

$\text{Adjunto de 1} = \displaystyle (-1)^{1+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 4 & 0 \\[1.1ex] 0 & -2\end{vmatrix} = 1 \cdot (-8) = \bm{-8}$

$\text{Adjunto de 3} = \displaystyle (-1)^{1+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 2 & 0 \\[1.1ex] 5 & -2\end{vmatrix} = -1 \cdot (-4) = \bm{4}$

$\text{Adjunto de -1} = \displaystyle (-1)^{1+3} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 2 & 4 \\[1.1ex] 5 & 0\end{vmatrix} = 1 \cdot (-20) = \bm{-20}$

$\text{Adjunto de 2} = \displaystyle (-1)^{2+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 3 & -1 \\[1.1ex] 0 & -2\end{vmatrix} = -1 \cdot (-6) = \bm{6}$

$\text{Adjunto de 4} = \displaystyle (-1)^{2+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 1 & -1 \\[1.1ex] 5 & -2\end{vmatrix} = 1 \cdot 3 = \bm{3}$

$\text{Adjunto de 0} = \displaystyle (-1)^{2+3} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 1 & 3 \\[1.1ex] 5 & 0 \end{vmatrix} = -1 \cdot (-15) = \bm{15}$

$\text{Adjunto de 5} = \displaystyle (-1)^{3+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 3 & -1 \\[1.1ex] 4 & 0 \end{vmatrix} = 1 \cdot 4 = \bm{4}$

$\text{Adjunto de 0} = \displaystyle (-1)^{3+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 1 & -1 \\[1.1ex] 2 & 0\end{vmatrix} = -1 \cdot 2 = \bm{-2}$

$\text{Adjunto de -2} = \displaystyle (-1)^{3+3} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 1 & 3 \\[1.1ex] 2 & 4 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-2) = \bm{-2}$

Ora dobbiamo solo sostituire ogni elemento dell’array

$A$

dal suo sostituto per trovare la matrice dei sostituti di

$A :$

$\text{Adj} (A) = \begin{pmatrix} \bm{-8} & \bm{4} & \bm{-20} \\[1.1ex] \bm{6} & \bm{3} & \bm{15} \\[1.1ex] \bm{4} & \bm{-2} & \bm{-2} \end{pmatrix}$

Cos’è il minore complementare?

Come si calcola il minore complementare di un elemento?

Esempio 1:

Esempio 2:

Esercizi risolti per minori complementari

Esercizio 1

Esercizio 2

Esercizio 3

Qual è l’aggiunto di un elemento di un array?

Come ottenere l’aggiunto di un elemento di un array?

Esempio 1:

Esempio 2:

Esempio 3:

Esercizi risolti per gli assistenti

Esercizio 1

Esercizio 2

Esercizio 3

Cos’è la matrice allegata?

Come calcolare la matrice aggiunta?

Esempio:

Risolti problemi con matrici aggiunte

Esercizio 1

Esercizio 2

Esercizio 3

Lascia un commento Annulla risposta