Calcolare il rango di una matrice in base ai determinanti

In questa pagina vedrai cos’è e come calcolare l’ intervallo di una matrice in base ai determinanti. Inoltre troverai esempi ed esercizi risolti per imparare a trovare facilmente l’estensione di una matrice. Inoltre, vedrai anche le proprietà dell’intervallo di una matrice.

Qual è il rango di una matrice?

La definizione di intervallo di una matrice è:

Il rango di una matrice è l’ordine della sottomatrice quadrata più grande il cui determinante è diverso da 0.

In questa pagina impareremo l’intervallo di una matrice con il metodo dei determinanti, ma l’intervallo di una matrice può essere determinato anche con il metodo gaussiano, sebbene sia più lento e complicato.

Una volta che sappiamo qual è l’intervallo di una matrice, vedremo come trovarlo in base ai determinanti. Ma tieni presente che per risolvere l’estensione di una matrice, devi prima sapere come calcolare 3×3 determinanti .

Come conoscere l’estensione di una matrice? Esempio:

  • Calcola l’estensione della seguente matrice di dimensione 3×4:

\displaystyle A= \left( \begin{array}{cccc} 1 & 3 & 4 & -1 \\[1.1ex] 0 & 2 & 1 & -1 \\[1.1ex] 3 & -1 & 7 & 2 \end{array} \right)

Inizieremo sempre cercando di vedere se la matrice ha il rango massimo risolvendo il determinante più grande dell’ordine. E, se il determinante di questo ordine è uguale a 0, continueremo a testare i determinanti di ordine inferiore finché non ne troveremo uno diverso da 0.

In questo caso si tratta di una matrice di dimensione 3×4. Sarà quindi al massimo di rango 3 , poiché non possiamo creare alcun determinante di ordine 4. Quindi prendiamo una sottomatrice qualsiasi 3×3 e vediamo se il suo determinante è 0. Ad esempio, risolviamo il determinante delle prime 3 colonne con la regola di Sarrus:

\left( \begin{tabular}{cccc}\cellcolor[HTML]{ABEBC6}1 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}3 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}4 & -1 \\ \cellcolor[HTML]{ABEBC6} & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} &\cellcolor[HTML]{ABEBC6} & \\[-2ex] \cellcolor[HTML]{ABEBC6}0 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}2 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} 1 & -1 \\ \cellcolor[HTML]{ABEBC6} & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} &\cellcolor[HTML]{ABEBC6} & \\[-2ex]\cellcolor[HTML]{ABEBC6} 3 &\cellcolor[HTML]{ABEBC6} -1 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} 7 & 2 \end{tabular} \right)

\displaystyle \begin{vmatrix} 1 & 3 & 4 \\[1.1ex] 0 & 2 & 1 \\[1.1ex] 3 & -1 & 7 \end{vmatrix} = 14 + 9 + 0 - 24 + 1 - 0 = \bm{0}

Il determinante delle colonne 1, 2 e 3 è 0. Dobbiamo ora provare un altro determinante, ad esempio quello delle colonne 1, 2 e 4:

\left( \begin{tabular}{cccc}\cellcolor[HTML]{ABEBC6}1 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} 3 & 4 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}-1 \\ \cellcolor[HTML]{ABEBC6} & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} & & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} \\[-2ex] \cellcolor[HTML]{ABEBC6}0 &\cellcolor[HTML]{ABEBC6}2 & 1 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} -1 \\ \cellcolor[HTML]{ABEBC6} & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}& & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} \\[-2ex]\cellcolor[HTML]{ABEBC6} 3 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}-1 & 7 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}2 \end{tabular} \right)

\displaystyle \begin{vmatrix} 1 & 3 & -1 \\[1.1ex] 0 & 2 & -1 \\[1.1ex] 3 & -1 & 2 \end{vmatrix} = 4 -9 + 0 + 6-1 - 0 = \bm{0}

Ci ha dato anche 0. Continuiamo quindi a testare i determinanti di ordine 3 per vedere se ce ne sono altri oltre a 0. Testiamo ora il determinante formato dalle colonne 1, 3 e 4:

\left( \begin{tabular}{cccc}\cellcolor[HTML]{ABEBC6}1 & 3 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}4 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}-1 \\ \cellcolor[HTML]{ABEBC6} & &\cellcolor[HTML]{ABEBC6} & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} \\[-2ex] \cellcolor[HTML]{ABEBC6}0 &2 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} 1 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} -1 \\ \cellcolor[HTML]{ABEBC6} & &\cellcolor[HTML]{ABEBC6} & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} \\[-2ex]\cellcolor[HTML]{ABEBC6} 3 & -1 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} 7 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}2 \end{tabular} \right)

\displaystyle \begin{vmatrix} 1 & 4 & -1 \\[1.1ex] 0 & 1 & -1 \\[1.1ex] 3 & 7 & 2 \end{vmatrix} = 2 -12+0 +3 +7- 0 = \bm{0}

Tra i determinanti di ordine 3 provare semplicemente il determinante composto dalle colonne 2, 3 e 4:

\left( \begin{tabular}{cccc}1 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}3 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}4 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}-1 \\ & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} &\cellcolor[HTML]{ABEBC6} & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} \\[-2ex] 0 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}2 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} 1 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} -1 \\ & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} &\cellcolor[HTML]{ABEBC6} & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} \\[-2ex] 3 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} -1 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} 7 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}2 \end{tabular} \right)

\displaystyle \begin{vmatrix} 3 & 4 & -1 \\[1.1ex] 2 & 1 & -1 \\[1.1ex] -1 & 7 & 2 \end{vmatrix} = 6+4-14-1+21-16 = \bm{0}

Abbiamo già provato tutti i possibili determinanti 3×3 della matrice A, e poiché nessuno di questi è diverso da 0, la matrice non è di rango 3 . Pertanto, al massimo sarà il rango 2.

\displaystyle rg(A) < 3

Vedremo ora se la matrice è di rango 2. Per fare ciò, dobbiamo trovare una sottomatrice quadrata di ordine 2 il cui determinante sia diverso da 0. Proveremo la sottomatrice 2×2 nell’angolo in alto a sinistra:

\left( \begin{tabular}{cccc}\cellcolor[HTML]{ABEBC6}1 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}3 & 4 & -1 \\ \cellcolor[HTML]{ABEBC6} & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} & & \\[-2ex] \cellcolor[HTML]{ABEBC6}0 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}2 & 1 & -1 & & & \\[-2ex] 3 & -1 & 7 & 2 \end{tabular} \right)

\displaystyle \begin{vmatrix} 1 & 3 \\[1.1ex] 0 & 2 \end{vmatrix} = 2-0 = 2 \bm{ \neq 0}

Abbiamo trovato un determinante di ordine 2 diverso da 0 all’interno della matrice. Di conseguenza la matrice è di rango 2:

\displaystyle \bm{rg(A)=2}

Risolti i problemi relativi all’ambito della matrice

Esercizio 1

Determinare il rango della seguente matrice 2×2:

\displaystyle A=\begin{pmatrix} 3 & 1 \\[1.1ex] 5 & 6 \end{pmatrix}

Per prima cosa calcoliamo il determinante dell’intera matrice:

\displaystyle \begin{vmatrix} A \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 3 & 1 \\[1.1ex] 5 & 6 \end{vmatrix} = 18-5 = 13 \bm{\neq 0}

Abbiamo trovato un determinante di ordine 2 diverso da 0. Pertanto la matrice è di rango 2.

\displaystyle \bm{rg(A)=2}

Esercizio 2

Trova l’estensione della seguente matrice di dimensione 2×2:

\displaystyle A=\begin{pmatrix} 2 & 3 \\[1.1ex] 4 & 6 \end{pmatrix}

Innanzitutto, risolviamo il determinante dell’intera matrice:

\displaystyle \begin{vmatrix} A \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 2 & 3 \\[1.1ex] 4 & 6 \end{vmatrix} = 12-12 \bm{=0}

L’unico determinante 2×2 possibile dà 0, quindi la matrice non è di rango 2.

Ma all’interno della matrice ci sono determinanti 1×1 diversi da 0, ad esempio:

\displaystyle \begin{vmatrix} 2 \end{vmatrix} = 2 \bm{\neq 0}

La matrice è quindi di rango 1.

\displaystyle \bm{rg(A)=1}

Esercizio 3

Qual è l’estensione della seguente matrice quadrata 3×3?

\displaystyle A=\begin{pmatrix} 1 & -3 & 2 \\[1.1ex] 2 & 1 & 4 \\[1.1ex] 1 & 4 & 2 \end{pmatrix}

Innanzitutto si calcola il determinante dell’intera matrice con la regola di Sarrus:

\displaystyle \begin{vmatrix} A \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 1 & -3 & 2 \\[1.1ex] 2 & 1 & 4 \\[1.1ex] 1 & 4 & 2 \end{vmatrix} = 2-12+16-2-16+12 \bm{=0}

L’unico determinante 3×3 possibile dà 0, quindi la matrice non è di rango 3.

Ma all’interno della matrice ci sono determinanti di ordine 2 diversi da 0, ad esempio:

\displaystyle \begin{vmatrix} 1 & -3 \\[1.1ex] 2 & 1 \end{vmatrix} = 1 +6 = 7 \bm{\neq 0}

Pertanto la matrice è di rango 2 .

\displaystyle \bm{rg(A)=2}

Esercizio 4

Calcolare il rango della seguente matrice di ordine 3:

\displaystyle A=\begin{pmatrix} 3 & -1 & 1 \\[1.1ex] 4 & -2 & 3 \\[1.1ex] 2 & 5 & 2 \end{pmatrix}

Innanzitutto il determinante dell’intera matrice si risolve con la regola di Sarrus:

\displaystyle \begin{vmatrix} A \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 3 & -1 & 1 \\[1.1ex] 4 & -2 & 3 \\[1.1ex] 2 & 5 & 2 \end{vmatrix} = -12-6+20+4-45+8 = -31\bm{ \neq0}

Il determinante dell’intera matrice vale qualcosa di diverso da 0. Pertanto, la matrice ha rango massimo, cioè rango 3.

\displaystyle \bm{rg(A)=3}

Esercizio 5

Qual è il rango della seguente matrice di ordine 3?

\displaystyle A=\begin{pmatrix} 2 & 5 & -1 \\[1.1ex] 3 & -2 & -4 \\[1.1ex] 5 & 3 & -5 \end{pmatrix}

Innanzitutto si calcola il determinante dell’intera matrice con la regola di Sarrus:

\displaystyle \begin{vmatrix} A \end{vmatrix}= \begin{vmatrix}2 & 5 & -1 \\[1.1ex] 3 & -2 & -4 \\[1.1ex] 5 & 3 & -5 \end{vmatrix} =20-100-9-10+24+75 \bm{= 0}

L’unico determinante 3×3 possibile dà 0, quindi la matrice non è di rango 3.

Ma all’interno della matrice ci sono determinanti 2×2 diversi da 0, come ad esempio:

\displaystyle \begin{vmatrix} 2 & 5 \\[1.1ex] 3 & -2 \end{vmatrix} = -4-15 = -19\bm{\neq 0}

La matrice è quindi di rango 2 .

\displaystyle \bm{rg(A)=2}

Esercizio 6

Trova l’estensione della seguente matrice 3×4:

\displaystyle A=\begin{pmatrix} 3 & 2 & -4 & 1 \\[1.1ex] 2 & -2 & -3 & 5 \\[1.1ex] 5 & 0 & -7 & 3 \end{pmatrix}

La matrice non può essere di rango 4, perché non possiamo creare determinanti 4×4. Vediamo quindi se è di rango 3 calcolando i determinanti 3×3:

\displaystyle \begin{vmatrix} A \end{vmatrix}= \begin{vmatrix}3 & 2 & -4 \\[1.1ex] 2 & -2 & -3 \\[1.1ex] 5 & 0 & -7 \end{vmatrix} =42-30+0-40-0+28 \bm{= 0}

Il determinante delle prime 3 colonne dà 0. Tuttavia, il determinante delle ultime 3 colonne dà qualcosa di diverso da 0:

\displaystyle \begin{vmatrix} 2 & -4 & 1 \\[1.1ex] -2 & -3 & 5 \\[1.1ex] 0 & -7 & 3 \end{vmatrix} = -18+0+14-0+70-24 = 42 \bm{\neq 0}

Quindi, poiché al suo interno è presente una sottomatrice di ordine 3 il cui determinante è diverso da 0, la matrice è di rango 3 .

\displaystyle \bm{rg(A)=3}

Esercizio 7

Calcola l’intervallo della seguente matrice 4×3:

\displaystyle A=\begin{pmatrix} 1 & -3 & -2 \\[1.1ex] 3 & 4 & -5 \\[1.1ex] 5 & -2 & -9 \\[1.1ex] -2 & -7 & 3\end{pmatrix}

La matrice non può essere di rango 4, poiché non è possibile risolvere alcun determinante 4×4. Vediamo quindi se è di rango 3 eseguendo tutte le possibili determinanti 3×3:

\displaystyle \begin{vmatrix} 1 & -3 & -2 \\[1.1ex] 3 & 4 & -5 \\[1.1ex] 5 & -2 & -9\end{vmatrix} \bm{= 0} \qquad \begin{vmatrix} 1 & -3 & -2 \\[1.1ex] 5 & -2 & -9 \\[1.1ex] -2 & -7 & 3\end{vmatrix} \bm{= 0}

\displaystyle \begin{vmatrix} 1 & -3 & -2 \\[1.1ex] 3 & 4 & -5 \\[1.1ex] -2 & -7 & 3\end{vmatrix} \bm{= 0} \qquad \begin{vmatrix} 3 & 4 & -5 \\[1.1ex] 5 & -2 & -9 \\[1.1ex] -2 & -7 & 3\end{vmatrix} \bm{= 0}

Poiché tutti i possibili determinanti 3×3 danno 0, anche la matrice non è di rango 3. Proviamo ora i determinanti 2×2:

\displaystyle \begin{vmatrix} 1 & -3 \\[1.1ex] 3 & 4 \end{vmatrix} =13 \bm{\neq 0}

Poiché all’interno della matrice A esiste una sottomatrice di ordine 2 il cui determinante è diverso da 0, la matrice è di rango 2 .

\displaystyle \bm{rg(A)=2}

Esercizio 8

Trova l’intervallo della seguente matrice 4 × 4:

\displaystyle A=\begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 & -1 \\[1.1ex] 3 & 1 & 1 & -1 \\[1.1ex] 4 & -2 & -1 & 3 \\[1.1ex] -1 & 3 & 2 & -4\end{pmatrix}

Dobbiamo risolvere il determinante dell’intera matrice per vedere se è di rango 4.

E per risolvere il determinante 4×4, devi prima eseguire operazioni con le righe per trasformare tutti gli elementi di una colonna tranne uno in zero:

\begin{vmatrix} 2 & 0 & 1 & -1 \\[1.1ex] 3 & 1 & 1 & -1 \\[1.1ex] 4 & -2 & -1 & 3 \\[1.1ex] -1 & 3 & 2 & -4 \end{vmatrix} \begin{matrix} \\[1.1ex] \\[1.1ex]\xrightarrow{f_3 + 2f_2} \\[1.1ex] \xrightarrow{f_4 - 3f_2} \end{matrix} \begin{vmatrix} 2 & 0 & 1 & -1 \\[1.1ex] 3 & 1 & 1 & -1 \\[1.1ex] 10 & 0 & 1 & 1 \\[1.1ex] -10 & 0 & -1 & -1 \end{vmatrix}

Calcoliamo ora il determinante per deputati:

\begin{vmatrix} 2 & 0 & 1 & -1 \\[1.1ex] 3 & 1 & 1 & -1 \\[1.1ex] 10 & 0 & 1 & 1 \\[1.1ex] -10 & 0 & -1 & -1 \end{vmatrix} \displaystyle = 0\bm{\cdot} \text{Adj(0)} +1\bm{\cdot} \text{Adj(1)} +0\bm{\cdot} \text{Adj(0)} + 0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}

Semplifichiamo i termini:

=\cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}}+1\bm{\cdot} \text{Adj(1)} +\cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}} + \cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}}

= \text{Adj(1)}

Calcoliamo l’aggiunto di 1:

\displaystyle = (-1)^{2+2} \begin{vmatrix}2 & 1 & -1 \\[1.1ex] 10 & 1 & 1 \\[1.1ex] -10 & -1 & -1\end{vmatrix}

E, infine, calcoliamo il determinante 3×3 con la regola di Sarrus e la calcolatrice:

\displaystyle = (-1)^{4} \cdot \bigl[-2-10+10-10+2+10 \bigr]

\displaystyle = 1 \cdot \bigl[0 \bigr]

\displaystyle = \bm{0}

Il determinante 4×4 dell’intera matrice dà 0, quindi la matrice A non sarà di rango 4. Quindi ora vediamo se ha un determinante 3×3 diverso da 0 al suo interno:

\displaystyle \begin{vmatrix} 2 & 0 & 1 \\[1.1ex] 3 & 1 & 1 \\[1.1ex] 4 & -2 & -1 \end{vmatrix} = -2+0-6-4+4-0=8 \bm{\neq 0}

La matrice A è quindi di rango 3:

\displaystyle \bm{rg(A)=3}

Proprietà dell’intervallo della matrice

  • L’intervallo non viene modificato se eliminiamo una riga riempita con zeri, una colonna o una riga riempita con 0.
  • L’intervallo di una matrice non cambia se cambiamo l’ordine di due righe parallele, siano esse righe o colonne.
  • Il rango di una matrice è uguale a quello della sua trasposta.
  • Se moltiplichi una riga o una colonna per un numero diverso da 0, il rango della matrice non cambia.
  • La gamma di una tonalità non cambia quando eliminiamo una linea (riga o colonna) che è una combinazione lineare di altre linee ad essa parallele.
  • L’intervallo di una matrice non cambia se aggiungiamo altre righe parallele a una qualsiasi delle righe (righe o colonne) moltiplicate per un numero qualsiasi. Questo è il motivo per cui il rango di una matrice può essere calcolato anche con il metodo gaussiano.

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