Polynôme homogène

Cette page explique ce que sont les polynômes homogènes. Vous verrez également des exemples de polynômes homogènes et les propriétés de ce type de polynôme. Et, en plus, vous trouverez la différence entre les polynômes homogènes et les polynômes hétérogènes.

Qu’est-ce qu’un polynôme homogène ?

La définition d’un polynôme homogène est la suivante :

En mathématiques, un polynôme homogène est un polynôme dont tous les termes sont de même degré.

Un exemple de polynôme homogène serait :

$P(x,y,z)=x^3+5x^2y-4xyz$

Dans ce cas, il s’agit d’un polynôme homogène de degré 3, puisque tous les monômes qui font partie du polynôme sont de troisième degré.

Si vous avez des doutes sur la façon dont est calculé le degré d’un terme d’un polynôme homogène, vous pouvez consulter notre page sur quelles sont les parties d’un monôme , où vous trouverez non seulement comment trouver le degré d’un monôme, mais aussi le explication de toutes les parties d’un monôme et comment les identifier. De plus, vous pourrez voir des exemples et vous entraîner avec des exercices résolus étape par étape.

Exemples de polynômes homogènes

Une fois que nous avons vu ce que cela signifie pour un polynôme d’être homogène, voyons quelques exemples de polynômes homogènes pour finir de comprendre le concept :

Exemple de polynôme homogène de degré 5 :

$P(x,y)=x^5+3x^2y^3-6x^4y+10xy^4$

Exemple de polynôme homogène de degré 7 :

$P(x,y,z)=x^3y^4+2x^5y^2+4x^2y^2z^3-x^2y^4z$

Exemple de polynôme homogène de degré 13 :

$P(a,b,c)=7a^6b^4c^3+2a^8b^3c^2+5a^4b^8c$

Polynôme homogène et polynôme hétérogène

Il convient de noter qu’un autre polynôme très similaire au polynôme homogène est le polynôme hétérogène, bien qu’il existe une différence fondamentale entre eux :

Un polynôme hétérogène est un polynôme dont tous les termes n’ont pas le même degré.

Par conséquent, uniquement lorsqu’un monôme du polynôme a un degré différent du reste des éléments, ledit polynôme sera hétérogène.

Par exemple, le polynôme suivant est hétérogène :

$P(x,y)=x^4+2x^3y+8x^2$

Bien que deux des termes du polynôme soient de degré 4 (x ⁴ , 2x ³ y), il s’agit en fait d’un polynôme hétérogène car il a un autre terme de degré différent (8x ² est de degré 2).

Comme vous pouvez le voir, les polynômes homogènes et hétérogènes sont très similaires les uns aux autres et se confondent facilement, nous devons donc faire attention.

Propriétés des polynômes homogènes

Les polynômes homogènes ont les caractéristiques suivantes

Le nombre de monômes homogènes différents de degré M dans un polynôme de N variables peut être calculé à l’aide de la formule suivante :

$\cfrac{(M+N-1)!}{M!(N-1)!}$

Peut-être que le signe « ! » vous semble étrange qu’il soit utilisé en algèbre. Eh bien, vous devez savoir qu’il est utilisé pour indiquer une opération mathématique spéciale, appelée factorielle d’un nombre . Vous pouvez voir en quoi consiste cette opération et à quoi elle sert dans le lien précédent.

L’expression de la série de Taylor qui correspond à un polynôme homogène étendu au point x est la suivante :

$P(x+y)= \sum_{j=0}^n {n \choose j} \check{P} (\underbrace{x,x,\dots ,x}_{j} & \underbrace{y,y,\dots ,y}_{n-j})$

Cependant, pour pouvoir appliquer (et comprendre) cette propriété, vous devez savoir comment l’expression est calculée

$\begin{pmatrix} n \\ j \end{pmatrix} ,$ appelé nombre combinatoire. Par conséquent, si vous ne comprenez pas la propriété précédente, je vous recommande de voir quelle est la formule du nombre combinatoire .

Qu’est-ce qu’un polynôme homogène ?

Exemples de polynômes homogènes

Polynôme homogène et polynôme hétérogène

Propriétés des polynômes homogènes

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