▷ Factorielle d'un nombre : qu'est-ce que c'est et comment le calculer ✅

Cette page explique ce qu’est la factorielle d’un nombre et comment elle est calculée. De plus, plusieurs exemples et un tableau avec les valeurs des factorielles les plus utilisées sont présentés. Il enseigne également comment calculer la factorielle d’un nombre avec la calculatrice. Et enfin, les applications et propriétés des factorielles sont illustrées.

Quelle est la factorielle d’un nombre ?

En mathématiques, la factorielle d’un nombre est égale au produit de tous les entiers positifs de 1 à ce nombre. De plus, la factorielle d’un nombre est représentée par un point d’exclamation (!) après le nombre.

Par exemple, pour déterminer la factorielle du nombre n , également appelée factorielle n , il faut multiplier le nombre n par tous les entiers qui le précèdent (en commençant par un) :

$n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots (n-2) \cdot (n-1) \cdot n$

Comment calculer la factorielle d’un nombre

Une fois que nous avons vu la signification de la factorielle d’un nombre, voyons avec un exemple comment déterminer n’importe quelle factorielle :

Calculez la factorielle de 4 :

Comme nous l’avons vu dans sa définition mathématique, la factorielle d’un nombre équivaut à la multiplication de tous les entiers positifs inférieurs ou égaux à celui-ci. Par conséquent, pour calculer la factorielle de 4, nous devons multiplier les nombres 1, 2, 3 et 4 :

$4! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 =24$

La factorielle de 4 donne donc 24.

Exemples de factorielles de nombres

Pour finir de comprendre la notion de factorielle d’un nombre, nous vous laissons en exemple le calcul de plusieurs factorielles de nombres différents :

Factorielle de 3 :

$3! = 1 \cdot 2 \cdot 3 =6$

Factoriel de 5 :

$5! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5=120$

Factoriel de 6 :

$6! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6=720$

Factorielle de 1 :

$1! = 1$

Logiquement, la factorielle du nombre 1 est égale à 1, puisqu’il suffit de multiplier 1.

Factoriel de 0 :

$0! = 1$

Oui, d’accord, étonnamment, la factorielle de 0 n’est pas égale à zéro, mais à 1. Cela peut vous paraître un peu étrange, car en théorie il faut multiplier 0 par 1. Cependant, il est adopté par convention que 0!=1 car à la propriété du produit vide . Nous vous laissons ce lien au cas où vous voudriez en savoir plus, même s’il n’est pas vraiment pertinent que vous en connaissiez la raison, l’important est que vous vous souveniez que la factorielle de 0 est égale à 1 .

Liste des résultats pour factorielles de nombres

Ci-dessous, nous avons résumé les factorielles des nombres les plus utilisés dans un tableau, afin que vous n’ayez pas à les calculer à la main.

Le numéro	Factorielle du nombre
0	1
1	1
2	2
3	6
4	24
5	120
6	720
7	5 040
8	40 320
9	362 880
dix	3 628 800
onze	39 916 800
12	479 001 600
13	6 227 020 800
14	87 178 291 200
quinze	1 307 674 368 000
16	20 922 789 888 000
17	355 687 428 096 000
18	6 402 373 705 728 000
19	121 645 100 408 832 000
vingt	2 432 902 008 176 640 000
cinquante	3 041 409 320 · 10 ⁶⁴
100	9 332 621 544 · 10 ¹⁵⁷
1 000	4 023 872 601 · 10 ^{2 567}
10 000	2 846 259 681 · 10 ^{35 659}
100 000	2 824 229 408 · 10 ^{45 6573}
1 000 000	8 263 931 688 · 10 ^{5 565 708}

Factorielle d’un nombre avec la calculatrice

Comme vous pouvez le voir dans les exemples précédents, les résultats des factorielles de deux nombres consécutifs augmentent de façon exponentielle, c’est pourquoi il est assez difficile de connaître la factorielle de grands nombres. Nous allons donc vous montrer comment trouver la factorielle d’un nombre avec la calculatrice.

Les calculatrices scientifiques ont une clé avec le symbole x ! ou n! qui est utilisé pour calculer la factorielle d’un entier. Ainsi, pour déterminer combien vaut une factorielle, vous devez effectuer la séquence suivante sur la calculatrice :

$n! \quad \color{red} \bm{\longrightarrow} \quad \color{black} n\rightarrow \boxed{x!} \rightarrow \boxed{=}$

Normalement, les calculatrices CASIO ont la clé factorielle x ! ou n! au-dessus du bouton x ^-1 .

A titre d’exemple, nous allons résoudre une factorielle avec la calculatrice afin que vous puissiez vérifier que vous savez comment le faire. Par exemple, nous allons faire la factorielle de 9 :

$9! \quad \color{red} \bm{\longrightarrow} \quad \color{black} 9\rightarrow \boxed{x!} \rightarrow \boxed{=} \rightarrow 362880$

Pour trouver la factorielle de 9 il faut d’abord saisir le chiffre 9, puis appuyer sur la touche

$\boxed{x!}$ et enfin, appuyez sur le bouton égal. Dans ce cas, la calculatrice devrait nous montrer le résultat de 362 880.

Applications du nombre factoriel

La fonction factorielle d’un nombre peut sembler une opération très simple et absurde, mais en algèbre avancée, elle est assez utilisée. Nous allons ensuite voir les principales utilisations de la factorielle.

Tout d’abord, la factorielle est une opération essentielle pour calculer un nombre combinatoire , une opération plus que particulière. Si vous ne savez pas ce qu’est le nombre combinatoire, vous pouvez voir en quoi il consiste et comment il est calculé dans ce lien, où vous trouverez des exemples, des exercices résolus et quelles sont ses propriétés. De plus, vous pourrez voir à quoi il sert puisqu’il a de nombreuses applications réelles.

La factorielle est également utilisée en mathématiques pour déterminer le polynôme de Taylor d’une fonction.

De même, la factorielle est utilisée pour résoudre certains problèmes combinatoires, notamment pour calculer des combinaisons et des permutations. En ce sens, les factorielles sont également souvent utilisées pour calculer des probabilités grâce à la combinatoire.

Une permutation de n éléments correspond à chacun des différents arrangements pouvant être réalisés avec ces éléments. Ainsi, pour calculer une permutation, la factorielle est utilisée. Par exemple, si dans un problème vous souhaitez trouver le nombre de possibilités dans lesquelles 7 objets peuvent être disposés, vous devez calculer la factorielle de 7.

Regardons maintenant un exercice résolu :

Nous avons 5 paires de chaussures différentes, de combien de façons pouvons-nous les disposer ?

Dans cet exercice, nous devons découvrir toutes les manières possibles de combiner ces 5 paires de chaussures en tenant compte de l’ordre dans lequel nous les mettons. Donc pour résoudre le problème il suffit de calculer la factorielle de 5 :

$5! = 1\cdot 2 \cdot 3\cdot 4\cdot 5 =120$

Bref, les 5 paires de chaussures peuvent être placées de 120 manières différentes.

Propriétés du nombre factoriel

Le nombre factoriel répond aux caractéristiques suivantes :

Étant deux entiers positifs n et m tels que n est supérieur à m , alors, évidemment, la valeur de la factorielle de n est supérieure à la valeur de la factorielle de m .

$n>m \quad \longrightarrow \quad n! > m!$

La factorielle d’un nombre peut être décomposée factoriellement de sorte que l’un des facteurs soit la factorielle d’un nombre plus petit.

$n>m \quad \longrightarrow \quad n!= n\cdot (n-1) \cdots (m+1)\cdot m!$

Par exemple, 6 est supérieur à 4, donc l’expression de la factorielle de 6 peut être simplifiée comme suit :

$6! = 6 \cdot 5 \cdot 4!$

L’expression algébrique suivante est valable pour la factorielle de n’importe quel nombre, à l’exception de la factorielle de 1 :

$\displaystyle n!< \left( \frac{n+1}{2} \right)^n$

Factorielle d’un nombre négatif ou décimal

Nous venons de voir comment trouver la valeur de la factorielle d’un nombre entier positif, mais… peut-on calculer la factorielle d’un nombre négatif ou d’un nombre décimal ? La réponse est oui, mais des connaissances avancées en mathématiques sont requises.

La factorielle d’un nombre négatif et d’un nombre décimal est calculée grâce à une fonction spéciale appelée « fonction Gamma » d’Euler, qui est définie par l’intégrale suivante :

$\displaystyle \Gamma(z)=\int_0^\infty t^{z-1} e^{-t}\, \mathrm{d}t$

Ainsi, tout type de factorielle peut être résolu avec la fonction Gamma car l’équation suivante est toujours vraie :

$n! = \Gamma(n+1)$

Donc pour trouver la factorielle de 0,5, par exemple, il faut trouver la valeur de

$\Gamma(1,5)$ car:

$0,5! = \Gamma(0,5+1) =\Gamma(1,5)$

Et la solution de l’intégrale correspondra à la factorielle de 0,5.

Évidemment, résoudre l’intégrale de la fonction Gamma n’est pas chose aisée et nous ne l’enseignerons pas dans cet article, car de nombreuses notions mathématiques seraient à expliquer au préalable. Mais nous voulions que vous sachiez qu’il existe la possibilité de calculer la factorielle d’un nombre négatif ou d’un nombre décimal.

En fait, à titre d’exemple, nous avons calculé quelques valeurs de factorielles et décimales négatives :

$\underline{\bm{n}}$	$\underline{\bm{n!}}$
$\displaystyle \left(\frac{1}{2}\right)!$	$\displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{\pi}$
$\displaystyle \left(-\frac{1}{2}\right)!$	$\displaystyle \sqrt{\pi}$
$\displaystyle \left(\frac{3}{2}\right)!$	$\displaystyle \frac{3}{4}\sqrt{\pi}$
$\displaystyle \left(\frac{5}{2}\right)!$	$\displaystyle \frac{15}{8}\sqrt{\pi}$