Différence (ou soustraction) de cubes

Sur cette page, nous expliquons comment factoriser une différence de cubes (formule). De plus, vous pourrez voir plusieurs exemples et même vous entraîner avec des exercices résolus étape par étape.

Quelle est la différence des cubes?

En mathématiques, la différence (ou soustraction) de cubes est un binôme (polynôme à seulement deux monômes) formé d’un terme positif et d’un terme négatif dont les racines cubiques sont exactes. Autrement dit, l’expression algébrique d’une différence de cubes est a ³ -b ³ .

De même, la différence de cubes parfaits correspond à un produit remarquable. Au cas où vous ne sauriez pas ce qu’ils sont, nous vous laissons cette page où il est expliqué quels sont les produits notables , comment ils sont calculés et à quoi ils servent.

Différence de formule de cubes

Etant donné la définition de la différence ou soustraction de cubes, nous allons voir quelle est la formule de ce type d’égalité remarquable :

Par conséquent, la soustraction de deux termes au cube est égale à la différence de ces deux termes multipliée par le carré du premier terme, plus le produit des deux quantités, plus le carré du second terme.

Ainsi, lorsque nous appliquons la formule de la différence des cubes, nous factorisons en réalité un polynôme de degré 3 , car nous transformons un polynôme en un produit de deux facteurs. Cliquez sur le lien ci-dessus pour en savoir plus sur la factorisation des polynômes.

Exemples de différences de cube

Pour finir de comprendre le concept de différence de cubes parfaits, nous allons voir plusieurs exemples de factorisation de la soustraction de cubes à l’aide de sa formule :

Exemple 1

• Factorisez la différence de cubes suivante à l’aide de la formule :

En effet, c’est une différence de cubes car la racine cubique du monôme

est exact (ne donne pas de nombre décimal) et le nombre 8 aussi :

Nous pouvons donc utiliser la formule de la différence des cubes parfaits pour transformer l’expression cubique en un produit d’un binôme par un trinôme :

Et maintenant nous n’avons plus qu’à faire la multiplication et la puissance :

A partir de l’expression obtenue, on peut facilement déterminer que

est une racine du polynôme. Il est important de bien comprendre ce concept, donc si vous n’êtes pas tout à fait clair à ce sujet, je vous recommande de voir comment prendre la racine d’un polynôme .

Exemple 2

• Factoriser le binôme négatif suivant en utilisant la formule de soustraction des cubes parfaits.

Le binôme de ce problème est aussi une différence de cubes, puisque la racine cubique du monôme

dès le terme indépendant 1 sont exactes :

On peut donc appliquer la formule de soustraction de cubes parfaits pour simplifier l’expression polynomiale :

Et, enfin, nous n’avons qu’à calculer les opérations résultantes :

Bien qu’ils semblent des concepts similaires, la différence de cubes ne doit pas être confondue avec un binôme cubique, car ce dernier est une identité différente (et plus importante). Nous vous laissons ce lien afin que vous puissiez voir quelle est la formule binomiale au cube et quelles sont les différences entre ces deux identités notables.

Problèmes résolus de différence de cubes

Afin que vous compreniez parfaitement comment résoudre une différence de cubes, nous avons préparé plusieurs exercices résolus étape par étape. N’oubliez pas que vous pouvez nous poser toutes vos questions dans la section des commentaires (ci-dessous).⬇⬇

Exercice 1

Factorisez la différence suivante de cubes en utilisant sa formule :

L’expression correspond à une différence de cubes car les racines cubiques des deux éléments du polynôme sont exactes :

Par conséquent, nous pouvons utiliser la formule de la différence des cubes parfaits pour factoriser l’expression cubique dans une multiplication d’un binôme par un trinôme :

Avec lequel on résout toutes les opérations et on trouve ainsi le polynôme factorisé :

Exercice 2

Exprimez chaque produit sous la forme d’une différence de cubes :

Les expressions des 3 exercices respectent la formule de la différence (ou soustraction) de cubes parfaits, il suffit donc de résoudre les multiplications de polynômes :

👉👉👉 Enfin, vous pourriez aussi être intéressé de savoir comment se calcule une soustraction de carrés . C’est une autre identité notable similaire à celle que nous venons d’étudier (mais elle est beaucoup plus utilisée). Découvrez quelles sont les différences entre ces deux identités remarquables en cliquant sur le lien.