Degré d'un polynôme

Sur cette page, nous expliquons ce qu’est le degré d’un polynôme (degré absolu et degré relatif) et comment savoir ce qu’est le degré d’un polynôme. Vous pourrez également voir plusieurs exemples de la façon dont le degré d’un polynôme est déterminé et, en plus, vous trouverez comment les polynômes sont classés en fonction de leur degré.

Quel est le degré d’un polynôme ?

La définition du degré d’un polynôme est la suivante :

En mathématiques, le degré d’un polynôme est le plus grand exposant auquel la variable du polynôme est élevée.

Par exemple, le polynôme suivant est de degré 5 car la valeur maximale des exposants de ses termes est 5 :

$P(x) = x^5+2x^4+6x^2-3$

Bien que cela semble être un concept très simple, savoir identifier le degré d’un polynôme est essentiel pour pouvoir additionner et soustraire correctement des polynômes. Découvrez pourquoi c’est si important dans les exemples d’addition de polynômes et exemples de soustraction de polynômes , où, en plus, vous pourrez pratiquer avec des exercices résolus ces deux types d’opérations avec des polynômes.

Exemples de degrés de polynômes

Une fois que l’on sait identifier le degré d’un polynôme, voyons d’autres exemples pour finir de comprendre sa signification :

Exemple de polynôme de degré zéro :

$P(x) = 4$

Exemple de polynôme du premier degré :

$P(x) = 3x+2$

Exemple de polynôme du second degré :

$P(x) = x^2+7x-4$

Exemple de polynôme du troisième degré :

$P(x) = 2x^3+5x^2-9$

Exemple de polynôme du quatrième degré :

$P(x) = 6x^4+3x^2-7x+1$

Comment connaître le degré d’un polynôme à deux ou plusieurs variables ?

Nous venons de voir comment se détermine le degré d’un polynôme univariable, c’est-à-dire à une seule variable. Mais quel est le degré d’un polynôme multivariable ?

En algèbre, il existe deux types de degrés de polynôme lorsqu’il a plus d’une variable :

Degré absolu : le degré absolu correspond au degré maximum des monômes qui forment le polynôme
Degré relatif : le degré relatif par rapport à une certaine variable correspond au plus grand exposant de ladite variable.

Évidemment, pour déterminer le degré absolu d’un polynôme, vous devez savoir comment le degré d’un monôme à 2 variables ou plus est calculé, donc si vous ne vous souvenez pas comment cela a été fait, nous vous recommandons de jeter un œil à notre page sur les parties d’un monôme . Sur cette page, vous trouverez une explication de toutes les parties d’un monôme et, plus précisément, comment déterminer le degré d’un monôme multivariable .

A titre d’exemple, nous allons trouver les degrés absolus et relatifs du polynôme à 3 variables suivant :

$P(x,y,z) = 3x^5y^4 + 6x^3y^2z - 2y^6z^2$

En ce qui concerne le degré absolu du polynôme, son premier monôme est de degré 9, le deuxième terme du polynôme est de degré 6 et, enfin, le troisième élément du polynôme est de degré 8. Par conséquent, le degré absolu du polynôme de le problème est 9, puisque c’est le degré maximum de ses monômes.

$\text{Grado absoluto de } P(x,y,z) = 9$

D’autre part, le degré relatif se réfère à chaque variable individuellement et consiste en l’exposant maximum de ladite variable. Ainsi le degré maximum de la variable x est 5, le degré relatif de la variable y est 6, et enfin le degré par rapport à la lettre z est 2.

$\text{Grado relativo de } x = 5$

$\text{Grado relativo de } y = 6$

$\text{Grado relativo de } z = 2$

Types de polynômes selon le degré de leurs monômes

Certains polynômes particuliers peuvent être classés selon le degré de leurs termes :

Polynôme ordonné : Un polynôme est ordonné si ses monômes s’écrivent du degré le plus élevé au degré le plus bas.

$P(x) = x^4 + 4x^3+6x^2 +3$

Le polynôme précédent est ordonné puisque ses monômes sont ordonnés par leur degré dans l’ordre décroissant.

Polynôme complet : ce polynôme qui a tous les termes de tous les degrés depuis le monôme de plus haut degré jusqu’au terme indépendant.

$P(x) = x^5 + 3x^4-5x^3+2x^2 +x+9$

Logiquement, le nombre de termes de tout polynôme complet est égal au degré du polynôme plus 1.

Polynôme incomplet : Polynôme dans lequel il manque un terme d’un certain degré entre le monôme de plus haut degré et le terme indépendant.

$P(x) = x^5+4x^3-7x+3$

Polynôme homogène : Un polynôme est homogène lorsque tous ses éléments ont le même degré. Par exemple, le polynôme suivant est homogène car tous ses monômes sont de degré 7.

$P(x,y) = 6x^3y^4+2x^5y^2 -4x^6y$

Polynôme hétérogène : un polynôme est hétérogène si au moins un de ses termes est d’un degré différent de n’importe lequel des autres termes composant le polynôme.

$P(x,y) = 4x^3+11x^5-6y^5$

Le polynôme de l’exercice précédent a deux monômes de même degré (11x ⁵ et -6y ⁵ ), mais puisque 4x ³ a un degré différent, c’est un polynôme hétérogène.