Sur cette page, nous expliquons ce que sont les polynômes opposés. De plus, nous montrons plusieurs exemples de ce type de polynômes afin que vous sachiez clairement quand deux polynômes sont opposés. Enfin, vous verrez également comment déterminer l’opposé d’un polynôme.
Quel est le polynôme opposé ?
La définition du polynôme opposé est la suivante :
En mathématiques, deux polynômes sont opposés si les coefficients des termes de degré égal sont opposés, c’est-à-dire qu’ils sont de même valeur mais de signes opposés.
De sorte que deux polynômes sont opposés lorsqu’ils ne diffèrent que par les signes de leurs monômes, qui sont opposés l’un à l’autre.
Par exemple, les 2 polynômes suivants sont opposés :
Le polynôme P(x) et le polynôme Q(x) sont opposés car les coefficients des termes de même degré sont égaux mais ont changé de signe.
Si vous êtes arrivé jusqu’ici, je suppose que vous savez déjà quels sont les coefficients d’un polynôme, mais ce que très peu de gens savent, c’est quel est le coefficient principal d’un polynôme (et c’est une caractéristique importante des polynômes). Je vous laisse ce lien au cas où vous ne sauriez toujours pas ce que c’est.
Exemples de polynômes opposés
Une fois que nous connaissons la signification du polynôme opposé, nous allons voir plusieurs exemples de ce type de polynôme pour finir de comprendre le concept.
- Exemple de polynômes opposés de degré 5 :
- Exemple de polynômes opposés de degré 6 :
- Exemple de polynômes opposés de degré 9 :
D’autre part, on peut en déduire que l’une des propriétés des polynômes opposés est que leurs valeurs numériques pour une même valeur sont égales mais ont leur signe changé. Cette propriété est importante que vous la compreniez bien, alors je vous laisse le lien suivant où la valeur numérique est expliquée au cas où vous ne sauriez pas ce que c’est.
Comment trouver l’opposé d’un polynôme
Enfin, nous allons expliquer comment obtenir l’opposé d’un polynôme. Pour ce faire, nous allons résoudre un exercice pas à pas :
- Quel est l’opposé du polynôme suivant ?
Pour calculer l’opposé d’un polynôme, il suffit de changer les signes positifs en signes négatifs et vice versa. Donc:
Notez que cela revient à multiplier le polynôme entier par -1 :
![\begin{aligned} -1\cdot P(x) & = -1\cdot \left( 5x^4+6x^3-4x^2+8x-2 \right) \\[2ex] &= -5x^4-6x^3+4x^2-8x+2 \end{aligned}](https://mathority.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c62cb55d16a25d30ac2c8b35596865d7_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Une fois que vous savez ce que signifie un polynôme opposé, vous voudrez peut-être savoir comment faire des opérations avec eux. Eh bien, l’une des opérations les plus particulières des polynômes (et aussi la plus utile) est le facteur commun . En cliquant sur ce lien vous pourrez voir comment extraire un facteur commun d’un polynôme et, en plus, vous pourrez vous entraîner avec des exercices résolus.