Somme de cubes - Mathority

Sur cette page, vous trouverez la formule de la somme des cubes et l’explication de la façon dont les sommes des cubes sont factorisées. De plus, vous pourrez voir plusieurs exemples et exercices résolus de sommes de cubes.

Quelle est la somme des cubes ?

La somme des cubes est un binôme (polynôme avec seulement deux monômes) dont les deux termes sont positifs et, de plus, leurs racines cubiques sont exactes. Par conséquent, l’expression algébrique d’une somme de cubes est a ³ +b ³ .

De plus, la somme de cubes parfaits correspond à un produit remarquable (ou identité remarquable), ce qui signifie qu’il existe une formule pour le résoudre directement sans faire beaucoup de calculs. Ensuite, nous verrons comment cela se fait.

Formule somme des cubes

Une fois que nous avons vu la définition mathématique de la somme des cubes, voyons maintenant quelle est la formule de la somme des cubes :

Ainsi, la somme de deux termes au cube est égale à la somme de ces deux termes multipliée par le carré du premier terme, moins le produit des deux quantités, plus le carré du second terme.

Par conséquent, lorsque nous appliquons la formule de la somme de cubes parfaits, nous factorisons en fait un polynôme, puisque nous convertissons l’expression d’un polynôme en un produit de deux facteurs. Si vous ne savez toujours pas ce que signifie factoriser un polynôme, nous vous recommandons de voir comment factoriser des polynômes avant de continuer.

Exemples de factorisations de sommes de cubes

Pour finir de comprendre le concept de somme de cubes parfaits, nous allons voir plusieurs exemples de factorisation des sommes de cubes à l’aide de la formule :

Exemple 1

Factoriser la somme de cubes suivante à l’aide de la formule :

$x^3+8$

En effet, c’est une somme de cubes car la racine cubique du monôme

$x^3$ est exact (ne donne pas de nombre décimal) et le nombre 8 aussi :

$\sqrt[3]{x^3} = x$

$\sqrt[3]{8} = 2$

$x^3+8=x^3+2^3$

Par conséquent, nous pouvons appliquer la formule de la somme des cubes pour transformer l’expression cubique en un produit d’un binôme et d’un trinôme :

$a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$

$x^3 +2^3 = (x+2)(x^2-x \cdot 2 + 2^2)$

Et, enfin, nous n’avons qu’à résoudre la multiplication et la puissance :

$x^3 +2^3 = (x+2)(x^2-2x + 4)$

Si l’on regarde bien l’expression obtenue, grâce à la formule de la somme des cubes on peut facilement trouver la racine d’un polynôme . Dans ce cas, l’une des racines du polynôme serait

$x=-2.$ Cependant, pour trouver toutes les racines (ou zéros) d’un polynôme, il faut suivre une procédure plus compliquée, découvrez comment faire sur la page liée.

Exemple 2

Factoriser le binôme suivant en appliquant la formule de la somme des cubes parfaits.

$8x^3+1$

Le polynôme dans cet exemple consiste également en une somme de cubes car à la fois la racine cubique du monôme

$8x^3$ dès le terme indépendant 1 sont exactes :

$\sqrt[3]{8x^3} = 2x$

$\sqrt[3]{1} = 1$

$8x^3+1 =(2x)^3+1^3$

Nous pouvons donc utiliser la formule de la somme des cubes parfaits pour simplifier l’expression :

$a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$

$(2x)^3+1^3 = (2x+1)\bigl((2x)^2-2x \cdot 1 + 1^2\bigr)$

Enfin, il suffit de calculer les opérations résultantes :

$(2x)^3+1^3 = (2x+1)(4x^2-2x + 1\bigr)$

Maintenant que vous avez vu comment résoudre une somme de cubes, vous voudrez peut-être savoir comment factoriser une différence de cubes . Parce que bien que la formule de la différence de cubes soit similaire, elle a un petit changement qui nous permet de faire la distinction entre une somme et une différence de cubes. Nous vous laissons ce lien afin que vous puissiez voir en quoi consiste ce changement significatif et comment une soustraction de cubes est calculée.

Problèmes résolus de sommes de cubes

Exercice 1

Factoriser l’addition de cubes suivante avec la formule :

$x^6+27x^3$

voir solution

L’expression correspond à une somme de cubes car les racines cubiques des deux éléments du polynôme sont exactes :

$\sqrt[3]{x^6} = x^2$

$\sqrt[3]{27x^3} = 3x$

$x^6+27x^3=\bigl(x^2\bigr)^3+(3x)^3$

Par conséquent, nous pouvons utiliser la formule de la somme des cubes parfaits pour factoriser l’expression cubique en un produit d’un binôme et d’un trinôme :

$a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$

$\bigl(x^2\bigr)^3+(3x)^3 = \left(x^2+3x\right)\left( \left(x^2\right)^2-x^2 \cdot 3x + (3x)^2\right)$

Avec lequel on résout toutes les opérations pour trouver le polynôme factorisé :

$\bigl(x^2\bigr)^3+(3x)^3 = \left(x^2+3x\right)\left( x^4-3x^3 + 9x^2\right)$

Exercice 2

Exprimez chaque produit sous la forme d’une somme de cubes :

$\text{A)} \ (x+5)(x^2-5x+25)$

$\text{B)} \ (2x+7)(4x^2-14x+49)$

$\text{C)} \ (8x+y^2)(64x^2-8xy^2+y^4)$

voir solution

Les expressions des 3 exercices respectent la formule de la somme des cubes, il suffit donc de résoudre les multiplications de polynômes :

$\text{A)} \ \begin{array}{l}(x+5)(x^2-5x+25) = \\[2ex] = x^3-5x^2+25x+5x^2-25x+125 = \\[2ex] = x^3 +125\end{array}$

$\text{B)} \ \begin{array}{l}(2x+7)(4x^2-14x+49) = \\[2ex] = 8x^3-28x^2+98x+28x^2-98x+343 = \\[2ex] = 8x^3+343\end{array}$

$\text{C)} \ \begin{array}{l}(8x+y^2)(64x^2-8xy^2+y^4) = \\[2ex] =512x^3-64x^2y^2+8xy^4+64x^2y^2-8xy^4+y^6= \\[2ex] = 512x^3+y^6\end{array}$

Si vous êtes plus intéressé par les identités notables, sachez qu’il y en a une que beaucoup de gens oublient (et elle est beaucoup utilisée). Mais il est important de se souvenir de la formule de cette identité remarquable, appelée le trinôme au carré . C’est pourquoi nous vous laissons ce lien où vous pouvez voir ce que c’est et comment cette formule est appliquée.

Quelle est la somme des cubes ?

Formule somme des cubes

Exemples de factorisations de sommes de cubes

Exemple 1

Exemple 2

Problèmes résolus de sommes de cubes

Exercice 1

Exercice 2

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