Линейная и квадратичная интерполяция

На этой странице вы узнаете, что значит интерполировать функцию. В частности, объясняются линейная интерполяция и квадратичная интерполяция. Кроме того, вы сможете увидеть несколько примеров, чтобы не сомневаться в том, как интерполируется функция.

Что такое интерполяция функции?

Определение интерполяции следующее:

В математике интерполяция — это процедура, используемая для аппроксимации значения, которое функция принимает в точке интервала, конечные точки которого известны.

В чем разница между интерполяцией и экстраполяцией?

Интерполяция и экстраполяция имеют очень схожие значения, поскольку обе они включают оценку значения функции в точке по двум известным точкам.

Однако интерполяция заключается в аппроксимации точки, расположенной в интервале, образованном этими двумя известными точками. Вместо этого экстраполяция означает оценку значения функции в точке за пределами интервала, из которого состоят эти две известные точки.

интерполяция и экстраполяция или интерполяция и экстраполяция

Как вы можете видеть на графике выше, известные точки — это (2,3) и (6,5). В этом случае мы хотим интерполировать до x=4, потому что оно находится между известными точками, и, с другой стороны, мы хотим экстраполировать до x=8, потому что оно находится за пределами известного интервала.

Очевидно, что интерполированное значение гораздо более надежно, чем экстраполированное значение, поскольку при экстраполяции мы предполагаем, что функция будет следовать по аналогичному пути. Однако возможно, что наклон функции изменится за пределами известного интервала и оценка окажется ошибочной.

Линейная интерполяция

Линейная интерполяция является частным случаем интерполяции полиномом Ньютона. В этом случае используется полином первой степени, то есть линейная или аффинная функция, чтобы угадать значение функции в точке.

Учитывая два известных момента,

$P_1(x_1,y_1)$

$P_2(x_2,y_2)$

, формула для выполнения линейной интерполяции:

$y=\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\cdot(x-x_1) + y_1$

Золото

$x$

$y$

– координаты интерполируемой точки.

Мы можем убедиться, что эта формула соответствует уравнению наклона точки линии.

Пример линейной интерполяции

Далее мы рассмотрим задачу в качестве примера, чтобы завершить понимание концепции линейной интерполяции:

На заводе 2 изделия производятся за 4 часа, а 10 изделий — за 8 часов. Если количество произведенных изделий линейно зависит от отработанного времени, сколько изделий будет произведено за 5 часов?

Во-первых, нам нужно определить линейную функцию, которая связывает отработанное время с произведенными изделиями. В этом случае X будет отработанными часами, а Y — произведенными изделиями. Потому что в зависимости от отработанных часов будет производиться больше или меньше изделий, или, другими словами, производство зависит от часов, а не наоборот.

Из утверждения мы знаем, что функция проходит через точки (4,2) и (8,10). Поэтому достаточно применить формулу для интерполяции в точке

$x=5:$

$y=\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\cdot(x-x_1) + y_1$

Подставляем значения точек в уравнение:

$y=\cfrac{10-2}{8-4}\cdot(5-4) + 2$

И делаем операции:

$y=\cfrac{8}{4}\cdot1 + 2 = 2\cdot 1 +2 = 4$

$\bm{y=4}$

Таким образом, за 5 часов будет произведено 4 предмета .

квадратичная интерполяция

Квадратичная интерполяция предполагает интерполяцию полиномом второй степени вместо полинома первой степени. Поэтому в этом случае используется квадратичная или параболическая функция.

$y = ax^2+bx+c$

В общем, интерполяция второго порядка более точна, чем интерполяция первого порядка, поскольку она имеет более высокую степень. Напротив, для выполнения интерполяции необходима еще одна точка.

Математик Лагранж разработал формулу для нахождения интерполяционной функции порядка n. Для случая второго порядка интерполяционный полином Лагранжа имеет следующий вид:

$y=\cfrac{(x-x_1)(x-x_2)}{(x_0-x_1)(x-x_2)}\cdot y_0+ \cfrac{(x-x_0)(x-x_2)}{(x_1-x_0)(x_0-x_2)}\cdot y_1+ \cfrac{(x-x_0)(x-x_1)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)}\cdot y_2$

где известные точки

$P_1(x_1,y_1)$

$P_2(x_2,y_2)$

$P_3(x_3,y_3)$

Они используются для нахождения значения функции по оси абсцисс.

$x.$

Однако на практике метод интерполяции Лагранжа обычно не используется, а вычисляется квадратичная функция по 3 наблюдаемым точкам, а затем оценивается точка, подлежащая интерполяции в функции. Вот решенное упражнение, чтобы увидеть, как это делается:

Пример квадратичной интерполяции

Определите квадратичную функцию, проходящую через точки (0,1), (1,0) и (3,4), затем интерполируйте значение
$x=-1.$

Поскольку квадратичные функции являются полиномами второго порядка, интерполяционная функция будет следующей:

$y = ax^2+bx+c$

Поэтому необходимо рассчитать коэффициенты

$a$

$b$

$c$

. Для этого подставим в функцию координаты известных точек:

$\left.\begin{array}{l} 1 = a\cdot 0^2+b\cdot 0+c \\[2ex] 0 = a\cdot 1^2+b\cdot 1+c \\[2ex] 4 = a\cdot 3^2+b\cdot 3+c \end{array} \right\} \longrightarrow \left.\begin{array}{l} 1 = c \\[2ex] 0 = a+b+c \\[2ex] 4 = 9a+3b+c \end{array} \right\}$

Теперь решаем систему уравнений:

$\left.\begin{array}{l} 1 = c \\[2ex] 0 = a+b+c \\[2ex] 4 = 9a+3b+c \end{array} \right\} \begin{array}{l} \\[2ex] \xrightarrow{c \ = \ 1} \\[2ex] & \end{array} \left.\begin{array}{l} c=1 \\[2ex] 0 = a+b+1 \\[2ex] 4 = 9a+3b+1 \end{array}\right\}$

Мы уже знаем цену

$c$

, поэтому мы можем решить систему методом подстановки: стираем неизвестное

$a$

из второго уравнения и подставим выражение, найденное в последнем уравнении:

$\left.\begin{array}{l} a=-b-1 \\[2ex] 4 = 9a+3b+1 \end{array}\right\}\longrightarrow \left.\begin{array}{l} a=-b-1 \\[2ex] 4 = 9(-b-1)+3b+1 \end{array}\right\}$

мы находим неизвестное

$b$

из последнего уравнения:

$4 = -9b-9+3b+1$

$12 =-6b$

$b=\cfrac{12}{-6} = -2$

и найдите значение

$a$

со вторым уравнением системы:

$a=-(-2)-1 = 1$

Таким образом, квадратичная функция имеет следующий вид:

$\bm{y = x^2-2x+1}$

Наконец, мы интерполируем абсциссу

$x=-1$

чтобы вычислить значение функции в этой точке:

$y=(-1)^2-2\cdot(-1)+1=1+2+1=\bm{4}$

Приложения интерполяции

Хотя это может показаться не так, интерполяция очень полезна в математике и статистике. Например, его используют, чтобы попытаться предсказать значение функции: на основе серии собранных данных рассчитывается линия регрессии, и с ее помощью вы можете получить приблизительное представление о том, сколько будет стоить функция в каждой точке.

Интерполяцию функции можно выполнить вручную, как мы видели, или с помощью компьютерных программ, таких как Excel или MATLAB. Очевидно, что гораздо удобнее и быстрее сделать это с помощью компьютера.

С другой стороны, интерполяция также используется для упрощения расчетов. Существуют некоторые программы, которым необходимо выполнять сложные вычисления с очень длинными функциями, поэтому иногда для упрощения операций выполняется линейная интерполяция этих функций.