Calculer le rang d'une matrice par déterminants

Sur cette page, vous verrez ce que c’est et comment calculer la plage d’une matrice par déterminants. De plus, vous trouverez des exemples et des exercices résolus pour apprendre à trouver facilement l’étendue d’une matrice. De plus, vous verrez également les propriétés de la plage d’une matrice.

Quel est le rang d’une matrice ?

La définition de plage d’une matrice est la suivante :

Le rang d’une matrice est l’ordre de la plus grande sous-matrice carrée dont le déterminant est différent de 0.

Sur cette page, nous allons apprendre à connaître la plage d’une matrice par la méthode des déterminants, mais la plage d’une matrice peut également être déterminée par la méthode de Gauss, bien qu’elle soit plus lente et plus compliquée.

Une fois que nous savons quelle est la plage d’une matrice, nous allons voir comment trouver la plage d’une matrice par déterminants. Mais gardez à l’esprit que pour résoudre l’étendue d’une matrice, vous devez d’abord savoir calculer les déterminants 3×3 .

Comment connaître l’étendue d’une matrice ? Exemple:

Calculez l’étendue de la matrice suivante de dimension 3×4 :

$\displaystyle A= \left( \begin{array}{cccc} 1 & 3 & 4 & -1 \\[1.1ex] 0 & 2 & 1 & -1 \\[1.1ex] 3 & -1 & 7 & 2 \end{array} \right)$

On commencera toujours par chercher à voir si la matrice est de rang maximum en résolvant pour le plus grand déterminant d’ordre. Et, si le déterminant de cet ordre est égal à 0, nous continuerons à tester les déterminants d’ordre inférieur jusqu’à ce que nous en trouvions un différent de 0.

Dans ce cas, il s’agit d’une matrice de dimension 3×4. Elle sera donc au plus de rang 3 , puisqu’on ne peut faire aucun déterminant d’ordre 4. Donc on prend n’importe quelle sous-matrice 3×3 et on regarde si son déterminant est 0. Par exemple, on résout le déterminant des 3 premières colonnes avec la règle de Sarrus :

$\left( \begin{tabular}{cccc}\cellcolor[HTML]{ABEBC6}1 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}3 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}4 & -1 \\ \cellcolor[HTML]{ABEBC6} & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} &\cellcolor[HTML]{ABEBC6} & \\[-2ex] \cellcolor[HTML]{ABEBC6}0 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}2 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} 1 & -1 \\ \cellcolor[HTML]{ABEBC6} & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} &\cellcolor[HTML]{ABEBC6} & \\[-2ex]\cellcolor[HTML]{ABEBC6} 3 &\cellcolor[HTML]{ABEBC6} -1 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} 7 & 2 \end{tabular} \right)$

$\displaystyle \begin{vmatrix} 1 & 3 & 4 \\[1.1ex] 0 & 2 & 1 \\[1.1ex] 3 & -1 & 7 \end{vmatrix} = 14 + 9 + 0 - 24 + 1 - 0 = \bm{0}$

Le déterminant des colonnes 1, 2 et 3 est 0. Il faut donc maintenant essayer un autre déterminant, par exemple celui des colonnes 1, 2 et 4 :

$\left( \begin{tabular}{cccc}\cellcolor[HTML]{ABEBC6}1 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} 3 & 4 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}-1 \\ \cellcolor[HTML]{ABEBC6} & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} & & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} \\[-2ex] \cellcolor[HTML]{ABEBC6}0 &\cellcolor[HTML]{ABEBC6}2 & 1 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} -1 \\ \cellcolor[HTML]{ABEBC6} & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}& & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} \\[-2ex]\cellcolor[HTML]{ABEBC6} 3 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}-1 & 7 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}2 \end{tabular} \right)$

$\displaystyle \begin{vmatrix} 1 & 3 & -1 \\[1.1ex] 0 & 2 & -1 \\[1.1ex] 3 & -1 & 2 \end{vmatrix} = 4 -9 + 0 + 6-1 - 0 = \bm{0}$

Il nous a également donné 0. Nous continuons donc à tester les déterminants d’ordre 3 pour voir s’il y en a d’autre que 0. Nous testons maintenant le déterminant formé par les colonnes 1, 3 et 4 :

$\left( \begin{tabular}{cccc}\cellcolor[HTML]{ABEBC6}1 & 3 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}4 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}-1 \\ \cellcolor[HTML]{ABEBC6} & &\cellcolor[HTML]{ABEBC6} & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} \\[-2ex] \cellcolor[HTML]{ABEBC6}0 &2 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} 1 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} -1 \\ \cellcolor[HTML]{ABEBC6} & &\cellcolor[HTML]{ABEBC6} & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} \\[-2ex]\cellcolor[HTML]{ABEBC6} 3 & -1 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} 7 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}2 \end{tabular} \right)$

$\displaystyle \begin{vmatrix} 1 & 4 & -1 \\[1.1ex] 0 & 1 & -1 \\[1.1ex] 3 & 7 & 2 \end{vmatrix} = 2 -12+0 +3 +7- 0 = \bm{0}$

Des déterminants d’ordre 3, il suffit d’essayer le déterminant composé des colonnes 2, 3 et 4 :

$\left( \begin{tabular}{cccc}1 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}3 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}4 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}-1 \\ & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} &\cellcolor[HTML]{ABEBC6} & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} \\[-2ex] 0 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}2 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} 1 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} -1 \\ & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} &\cellcolor[HTML]{ABEBC6} & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} \\[-2ex] 3 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} -1 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} 7 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}2 \end{tabular} \right)$

$\displaystyle \begin{vmatrix} 3 & 4 & -1 \\[1.1ex] 2 & 1 & -1 \\[1.1ex] -1 & 7 & 2 \end{vmatrix} = 6+4-14-1+21-16 = \bm{0}$

Nous avons déjà essayé tous les déterminants 3×3 possibles de la matrice A, et comme aucun de ceux-ci n’est différent de 0, la matrice n’est pas de rang 3 . Par conséquent, au plus, il sera rang 2.

$\displaystyle rg(A) < 3$

On va maintenant voir si la matrice est de rang 2. Pour cela, il faut trouver une sous-matrice carrée d’ordre 2 dont le déterminant est différent de 0. On va essayer la sous-matrice 2×2 dans le coin supérieur gauche :

$\left( \begin{tabular}{cccc}\cellcolor[HTML]{ABEBC6}1 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}3 & 4 & -1 \\ \cellcolor[HTML]{ABEBC6} & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} & & \\[-2ex] \cellcolor[HTML]{ABEBC6}0 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}2 & 1 & -1 & & & \\[-2ex] 3 & -1 & 7 & 2 \end{tabular} \right)$

$\displaystyle \begin{vmatrix} 1 & 3 \\[1.1ex] 0 & 2 \end{vmatrix} = 2-0 = 2 \bm{ \neq 0}$

Nous avons trouvé un déterminant d’ordre 2 différent de 0 au sein de la matrice. Par conséquent, la matrice est de rang 2 :

$\displaystyle \bm{rg(A)=2}$

Problèmes résolus de portée d’une matrice

Exercice 1

Déterminez le rang de la matrice de dimension 2×2 suivante :

$\displaystyle A=\begin{pmatrix} 3 & 1 \\[1.1ex] 5 & 6 \end{pmatrix}$

voir solution

Nous calculons d’abord le déterminant de la matrice entière :

$\displaystyle \begin{vmatrix} A \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 3 & 1 \\[1.1ex] 5 & 6 \end{vmatrix} = 18-5 = 13 \bm{\neq 0}$

Nous avons trouvé un déterminant d’ordre 2 différent de 0. Par conséquent, la matrice est de rang 2.

$\displaystyle \bm{rg(A)=2}$

Exercice 2

Trouvez l’étendue de la matrice suivante de dimension 2 × 2 :

$\displaystyle A=\begin{pmatrix} 2 & 3 \\[1.1ex] 4 & 6 \end{pmatrix}$

voir solution

Premièrement, nous résolvons le déterminant de la matrice entière :

$\displaystyle \begin{vmatrix} A \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 2 & 3 \\[1.1ex] 4 & 6 \end{vmatrix} = 12-12 \bm{=0}$

Le seul déterminant 2×2 possible donne 0, donc la matrice n’est pas de rang 2.

Mais à l’intérieur de la matrice, il y a des déterminants 1×1 autres que 0, par exemple :

$\displaystyle \begin{vmatrix} 2 \end{vmatrix} = 2 \bm{\neq 0}$

La matrice est donc de rang 1.

$\displaystyle \bm{rg(A)=1}$

Exercice 3

Quelle est l’étendue de la matrice carrée 3×3 suivante ?

$\displaystyle A=\begin{pmatrix} 1 & -3 & 2 \\[1.1ex] 2 & 1 & 4 \\[1.1ex] 1 & 4 & 2 \end{pmatrix}$

voir solution

Tout d’abord, le déterminant de la matrice entière est calculé avec la règle de Sarrus :

$\displaystyle \begin{vmatrix} A \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 1 & -3 & 2 \\[1.1ex] 2 & 1 & 4 \\[1.1ex] 1 & 4 & 2 \end{vmatrix} = 2-12+16-2-16+12 \bm{=0}$

Le seul déterminant 3×3 possible donne 0, donc la matrice n’est pas de rang 3.

Mais au sein de la matrice il y a des déterminants d’ordre 2 autres que 0, par exemple :

$\displaystyle \begin{vmatrix} 1 & -3 \\[1.1ex] 2 & 1 \end{vmatrix} = 1 +6 = 7 \bm{\neq 0}$

Par conséquent, la matrice est de rang 2 .

$\displaystyle \bm{rg(A)=2}$

Exercice 4

Calculer le rang de la matrice suivante d’ordre 3 :

$\displaystyle A=\begin{pmatrix} 3 & -1 & 1 \\[1.1ex] 4 & -2 & 3 \\[1.1ex] 2 & 5 & 2 \end{pmatrix}$

voir solution

Tout d’abord, le déterminant de la matrice entière est résolu avec la règle de Sarrus :

$\displaystyle \begin{vmatrix} A \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 3 & -1 & 1 \\[1.1ex] 4 & -2 & 3 \\[1.1ex] 2 & 5 & 2 \end{vmatrix} = -12-6+20+4-45+8 = -31\bm{ \neq0}$

Le déterminant de la matrice entière est évalué à autre chose que 0. Par conséquent, la matrice est de rang maximum, c’est-à-dire de rang 3.

$\displaystyle \bm{rg(A)=3}$

Exercice 5

Quel est le rang de la matrice suivante d’ordre 3 ?

$\displaystyle A=\begin{pmatrix} 2 & 5 & -1 \\[1.1ex] 3 & -2 & -4 \\[1.1ex] 5 & 3 & -5 \end{pmatrix}$

voir solution

Tout d’abord, le déterminant de la matrice entière est calculé avec la règle de Sarrus :

$\displaystyle \begin{vmatrix} A \end{vmatrix}= \begin{vmatrix}2 & 5 & -1 \\[1.1ex] 3 & -2 & -4 \\[1.1ex] 5 & 3 & -5 \end{vmatrix} =20-100-9-10+24+75 \bm{= 0}$

Le seul déterminant 3×3 possible donne 0, donc la matrice n’est pas de rang 3.

Mais à l’intérieur de la matrice, il y a 2 × 2 déterminants autres que 0, tels que :

$\displaystyle \begin{vmatrix} 2 & 5 \\[1.1ex] 3 & -2 \end{vmatrix} = -4-15 = -19\bm{\neq 0}$

La matrice est donc de rang 2 .

$\displaystyle \bm{rg(A)=2}$

Exercice 6

Trouvez l’étendue de la matrice 3×4 suivante :

$\displaystyle A=\begin{pmatrix} 3 & 2 & -4 & 1 \\[1.1ex] 2 & -2 & -3 & 5 \\[1.1ex] 5 & 0 & -7 & 3 \end{pmatrix}$

voir solution

La matrice ne peut pas être de rang 4, car on ne peut pas faire de déterminants 4×4. Voyons donc s’il est de rang 3 en calculant 3×3 déterminants :

$\displaystyle \begin{vmatrix} A \end{vmatrix}= \begin{vmatrix}3 & 2 & -4 \\[1.1ex] 2 & -2 & -3 \\[1.1ex] 5 & 0 & -7 \end{vmatrix} =42-30+0-40-0+28 \bm{= 0}$

Le déterminant des 3 premières colonnes donne 0. Or, le déterminant des 3 dernières colonnes donne autre chose que 0 :

$\displaystyle \begin{vmatrix} 2 & -4 & 1 \\[1.1ex] -2 & -3 & 5 \\[1.1ex] 0 & -7 & 3 \end{vmatrix} = -18+0+14-0+70-24 = 42 \bm{\neq 0}$

Donc, puisqu’à l’intérieur il y a une sous-matrice d’ordre 3 dont le déterminant est différent de 0, la matrice est de rang 3 .

$\displaystyle \bm{rg(A)=3}$

Exercice 7

Calculez la plage de la matrice 4×3 suivante :

$\displaystyle A=\begin{pmatrix} 1 & -3 & -2 \\[1.1ex] 3 & 4 & -5 \\[1.1ex] 5 & -2 & -9 \\[1.1ex] -2 & -7 & 3\end{pmatrix}$

voir solution

La matrice ne peut pas être de rang 4, puisque nous ne pouvons résoudre aucun déterminant 4×4. Voyons donc s’il est de rang 3 en faisant tous les déterminants 3×3 possibles :

$\displaystyle \begin{vmatrix} 1 & -3 & -2 \\[1.1ex] 3 & 4 & -5 \\[1.1ex] 5 & -2 & -9\end{vmatrix} \bm{= 0} \qquad \begin{vmatrix} 1 & -3 & -2 \\[1.1ex] 5 & -2 & -9 \\[1.1ex] -2 & -7 & 3\end{vmatrix} \bm{= 0}$

$\displaystyle \begin{vmatrix} 1 & -3 & -2 \\[1.1ex] 3 & 4 & -5 \\[1.1ex] -2 & -7 & 3\end{vmatrix} \bm{= 0} \qquad \begin{vmatrix} 3 & 4 & -5 \\[1.1ex] 5 & -2 & -9 \\[1.1ex] -2 & -7 & 3\end{vmatrix} \bm{= 0}$

Comme tous les déterminants 3×3 possibles donnent 0, la matrice n’est pas non plus de rang 3. On essaie maintenant les déterminants 2×2 :

$\displaystyle \begin{vmatrix} 1 & -3 \\[1.1ex] 3 & 4 \end{vmatrix} =13 \bm{\neq 0}$

Puisqu’au sein de la matrice A il existe une sous-matrice d’ordre 2 dont le déterminant est différent de 0, la matrice est de rang 2 .

$\displaystyle \bm{rg(A)=2}$

Exercice 8

Trouvez la plage de la matrice 4 × 4 suivante :

$\displaystyle A=\begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 & -1 \\[1.1ex] 3 & 1 & 1 & -1 \\[1.1ex] 4 & -2 & -1 & 3 \\[1.1ex] -1 & 3 & 2 & -4\end{pmatrix}$

voir solution

Il faut résoudre le déterminant de toute la matrice pour voir s’il est de rang 4.

Et pour résoudre le déterminant 4×4, il faut d’abord faire des opérations avec les lignes pour transformer tous les éléments d’une colonne sauf un en zéro :

$\begin{vmatrix} 2 & 0 & 1 & -1 \\[1.1ex] 3 & 1 & 1 & -1 \\[1.1ex] 4 & -2 & -1 & 3 \\[1.1ex] -1 & 3 & 2 & -4 \end{vmatrix} \begin{matrix} \\[1.1ex] \\[1.1ex]\xrightarrow{f_3 + 2f_2} \\[1.1ex] \xrightarrow{f_4 - 3f_2} \end{matrix} \begin{vmatrix} 2 & 0 & 1 & -1 \\[1.1ex] 3 & 1 & 1 & -1 \\[1.1ex] 10 & 0 & 1 & 1 \\[1.1ex] -10 & 0 & -1 & -1 \end{vmatrix}$

On calcule maintenant le déterminant par adjoints :

$\begin{vmatrix} 2 & 0 & 1 & -1 \\[1.1ex] 3 & 1 & 1 & -1 \\[1.1ex] 10 & 0 & 1 & 1 \\[1.1ex] -10 & 0 & -1 & -1 \end{vmatrix} \displaystyle = 0\bm{\cdot} \text{Adj(0)} +1\bm{\cdot} \text{Adj(1)} +0\bm{\cdot} \text{Adj(0)} + 0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}$

Nous simplifions les termes :

$=\cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}}+1\bm{\cdot} \text{Adj(1)} +\cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}} + \cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}}$

$= \text{Adj(1)}$

On calcule l’adjoint de 1 :

$\displaystyle = (-1)^{2+2} \begin{vmatrix}2 & 1 & -1 \\[1.1ex] 10 & 1 & 1 \\[1.1ex] -10 & -1 & -1\end{vmatrix}$

Et, enfin, on calcule le déterminant 3×3 avec la règle de Sarrus et la calculatrice :

$\displaystyle = (-1)^{4} \cdot \bigl[-2-10+10-10+2+10 \bigr]$

$\displaystyle = 1 \cdot \bigl[0 \bigr]$

$\displaystyle = \bm{0}$

Le déterminant 4×4 de toute la matrice donne 0, donc la matrice A ne sera pas de rang 4. Alors maintenant, regardons si elle a un déterminant 3×3 différent de 0 à l’intérieur :

$\displaystyle \begin{vmatrix} 2 & 0 & 1 \\[1.1ex] 3 & 1 & 1 \\[1.1ex] 4 & -2 & -1 \end{vmatrix} = -2+0-6-4+4-0=8 \bm{\neq 0}$

La matrice A est donc de rang 3 :

$\displaystyle \bm{rg(A)=3}$

Propriétés de la plage matricielle

La plage n’est pas modifiée si on supprime une ligne remplie de zéros, soit une colonne, soit une ligne remplie de 0.

La plage d’une matrice ne change pas si nous changeons l’ordre de deux lignes parallèles, qu’elles soient des lignes ou des colonnes.

Le rang d’une matrice est le même que celui de sa transposée.

Si on multiplie une ligne ou une colonne par un nombre autre que 0, le rang de la matrice ne change pas.

La plage d’une teinte ne change pas lorsque nous éliminons une ligne (ligne ou colonne) qui est une combinaison linéaire d’autres lignes parallèles à celle-ci.

La plage d’une matrice ne change pas si nous ajoutons d’autres lignes parallèles à l’une des lignes (lignes ou colonnes) multipliées par n’importe quel nombre. C’est pourquoi le rang d’une matrice peut également être calculé par la méthode gaussienne.

Calculer le rang d’une matrice par déterminants

Quel est le rang d’une matrice ?

Comment connaître l’étendue d’une matrice ? Exemple:

Problèmes résolus de portée d’une matrice

Exercice 1

Exercice 2

Exercice 3

Exercice 4

Exercice 5

Exercice 6

Exercice 7

Exercice 8

Propriétés de la plage matricielle

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