Sur cette page, vous apprendrez ce qu’est le déterminant d’une matrice carrée 3×3. Vous allez voir comment résoudre les déterminants d’ordre 3 à l’aide de la règle de Sarrus. Et, en plus, vous avez des exemples et des exercices résolus étape par étape, afin que vous puissiez le pratiquer et le comprendre parfaitement.
Quel est le déterminant d’une matrice 3×3 ?
Un déterminant d’ordre 3 est une matrice de dimension 3×3 représentée par une barre verticale de chaque côté de la matrice. Par exemple, si nous avons la matrice suivante :
![\displaystyle A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 4 \\[1.1ex] 3 & -1 & 5 \\[1.1ex] 1 & 6 & -2 \end{pmatrix}](https://mathority.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7b5e89b706893e88dd15882e3685afb1_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Le déterminant de la matrice A est représenté comme suit :
![\displaystyle \lvert A \rvert = \begin{vmatrix} 2 & 0 & 4 \\[1.1ex] 3 & -1 & 5 \\[1.1ex] 1 & 6 & -2 \end{vmatrix}](https://mathority.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-41db04327de87a80f1e0e4dd6dcb220a_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Comme vous l’avez vu, écrire le déterminant d’une matrice carrée d’ordre 3 est facile. Voyons maintenant comment le résoudre :
Comment calculer un déterminant d’ordre 3 ?
Pour faire les déterminants des matrices 3×3 il faut appliquer la règle de Sarrus :
Règle de Sarrus
La règle de Sarrus dit que pour calculer un déterminant d’ordre 3, nous devons ajouter le produit des éléments de la diagonale principale et le produit de ses diagonales parallèles avec leurs sommets opposés correspondants, puis soustraire le produit des éléments de la diagonale mineure et le produit de leurs diagonales parallèles avec leurs sommets opposés correspondants.
Écrit comme ça, ça peut être un peu difficile à comprendre, mais regardez comment se fait le calcul des déterminants 3×3 avec le schéma suivant et les exemples :
Exemples de déterminants 3×3 :
![\begin{aligned} \begin{vmatrix} 2 & 1 & 3 \\[1.1ex] -1 & 1 & 0 \\[1.1ex] -2 & 4 & 1 \end{vmatrix} & = 2 \cdot 1 \cdot 1 + 1 \cdot 0 \cdot (-2) + (-1) \cdot 4 \cdot 3 - (-2) \cdot 1 \cdot 3 - 4 \cdot 0 \cdot 2- (-1) \cdot 1 \cdot 1 \\ & = 2 + 0 -12 +6 - 0 +1 \\[2ex] & = \bm{-3} \end{aligned}](https://mathority.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-98e60cf465cd0eb7662d47770cd38231_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\begin{aligned} \begin{vmatrix} 1 & 0 & 2 \\[1.1ex] 3 & 2 & 1 \\[1.1ex] 4 & -3 & -1 \end{vmatrix} & = 1\cdot 2 \cdot (-1) + 0 \cdot 1 \cdot 4 +3 \cdot (-3) \cdot 2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 - (-3) \cdot 1 \cdot 1- 3 \cdot 0 \cdot (-1) \\ & = -2 +0 -18 - 16 +3- 0 \\[2ex] & = \bm{-33} \end{aligned}](https://mathority.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-41a53c1fd6eae1b51a280a6ce1e2ab91_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Problèmes résolus de déterminants de matrices 3 × 3
Exercice 1
Résolvez le déterminant 3×3 suivant :
Pour résoudre le déterminant d’une matrice 3×3 nous devons appliquer la règle de Sarrus :
![\displaystyle\begin{aligned} \begin{vmatrix} 2 & 1 & 0 \\[1.1ex] 3 & 1 & -1 \\[1.1ex] 2 & 0 & 4 \end{vmatrix} & = 2 \cdot 1 \cdot 4 + 1 \cdot (-1) \cdot 2 + 3 \cdot 0 \cdot 0 - 2 \cdot 1 \cdot 0 - 0 \cdot (-1) \cdot 2- 3 \cdot 1 \cdot 4 \\ & = 8 -2 +0 -0- 0-12 \\[2ex] & = \bm{-6} \end{aligned}](https://mathority.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8f288312b72f3bbabc35ee64bf580d8c_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Exercice 2
Calculer le déterminant d’ordre 3 suivant :
Pour calculer le déterminant d’une matrice du troisième ordre, nous devons utiliser la règle de Sarrus :
![\displaystyle\begin{aligned} \begin{vmatrix} 1 & -2 & 1 \\[1.1ex] 4 & 2 & 1 \\[1.1ex] 3 & -1 & 2 \end{vmatrix} & = 1 \cdot 2 \cdot 2 + (-2) \cdot 1 \cdot 3 + 4 \cdot (-1) \cdot 1 - 3 \cdot 2 \cdot 1 - (-1) \cdot 1 \cdot 1 - 4 \cdot (-2) \cdot 2 \\ & = 4 -6 -4 -6+1+16 \\[2ex] & = \bm{5} \end{aligned}](https://mathority.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-64078968233ec50d2e793309d55e55fc_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Exercice 3
Trouver la solution du déterminant de la matrice de dimension 3×3 suivante :
Pour faire un déterminant d’une matrice 3×3, nous devons utiliser la règle de Sarrus :
![\displaystyle\begin{aligned} \begin{vmatrix}1 & 3 & -2 \\[1.1ex] 2 & -3 & 4 \\[1.1ex] -1 & 2 & 5 \end{vmatrix} & = \\ & = 1 \cdot (-3) \cdot 5 + 3 \cdot 4 \cdot (-1) + 2 \cdot 2 \cdot (-2) \ - \\[1.1ex] & \phantom{=} - (-1) \cdot (-3) \cdot (-2) - 2 \cdot 4 \cdot 1 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \\[2.5ex] & = -15 -12 -8 +6-8-30 \\[2.5ex] & = \bm{-67} \end{aligned}](https://mathority.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-fd4494ae66a604834b8f9f47fcbbe41d_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Exercice 4
Trouver la solution du déterminant de la matrice d’ordre 3 suivante :
Pour trouver la solution d’un déterminant d’une matrice 3×3 nous devons appliquer la formule de Sarrus :
![\displaystyle\begin{aligned} \begin{vmatrix} 3 & 1 & -1 \\[1.1ex] 6 & 1 & -2 \\[1.1ex] 4 & -3 & 2 \end{vmatrix} & = \\ & = 3 \cdot 1 \cdot 2 + 1 \cdot (-2) \cdot 4 + 6 \cdot (-3) \cdot (-1) \ - \\[1.1ex] & \phantom{=} - 4 \cdot 1 \cdot (-1) - (-3) \cdot (-2) \cdot 3 - 6 \cdot 1 \cdot 2 \\[2.5ex] & =6 -8 +18 +4-18-12 \\[2.5ex] & = \bm{-10} \end{aligned}](https://mathority.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8e811024d460a60a1df59983b1f700e8_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Exercice 5
trouver la valeur de
qui annule le déterminant de troisième ordre suivant :
On calcule d’abord, avec la règle de Sarrus, la valeur du déterminant en fonction de
![\displaystyle\begin{aligned}\begin{vmatrix} 4 & 6 & -5 \\[1.1ex] -2 & 4 & 2 \\[1.1ex] -1 & 2 & a \end{vmatrix} & = \\ & = 4 \cdot 4 \cdot a + 6 \cdot 2 \cdot (-1) + (-2) \cdot 2 \cdot (-5) \ - \\[1.1ex] & \phantom{=}- (-1) \cdot 4 \cdot (-5) - 2 \cdot 2 \cdot 4 - (-2) \cdot 6 \cdot a \\[2.5ex] & = 16a -12 + 20 - 20 - 16 +12a \\[2.5ex] & = 28a -28 \end{aligned}](https://mathority.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-07e67cfc5e45c0a11c35d643cd4c1c78_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Pour que le déterminant disparaisse, le résultat doit être 0. Par conséquent, nous fixons le résultat égal à 0 et résolvons l’équation :
