▷ Comment résoudre les limites à l'infini (+25 exercices résolus)

Vous trouverez ici comment résoudre tous types de limites à l’infini : fonctions polynomiales, rationnelles, exponentielles, avec racines, indéterminations à l’infini… De plus, vous pourrez vous entraîner avec 25 exercices résolus pas à pas sur les limites lorsque x tend vers l’infini. .

Limite d’une fonction lorsque x tend vers l’infini

La limite d’une fonction lorsque x tend vers l’infini , qu’elle soit positive ou négative, peut être une valeur réelle, plus l’infini, moins l’infini ou inexistante. Pour résoudre les limites à l’infini, vous devez remplacer x par l’infini.

Comme vous pouvez le voir sur le premier graphique, la fonction représentée tend vers la valeur réelle k vers l’infini, car elle se rapproche de k à mesure que x grandit. La fonction en haut à droite tend vers l’infini lorsque x tend vers l’infini, car elle croît indéfiniment à mesure que x augmente en valeur. En revanche, le graphique en bas à gauche diminue sans s’arrêter et tend donc vers moins l’infini. Enfin, la dernière fonction est périodique et ne tend vers aucune valeur, il n’y a donc pas de limite à l’infini dans ce cas.

Comment résoudre les limites à l’infini

Pour résoudre une limite à l’infini dans les fonctions polynomiales, il faut remplacer x par l’infini uniquement dans le terme du plus haut degré de la fonction.

Par exemple, regardez le calcul suivant d’une limite à l’infini où l’on substitue uniquement l’infini dans le monôme du plus haut degré :

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty}(3x^2-4x+6) = 3(+\infty)^2 = \bm{+\infty}$

Comme vous pouvez le voir dans l’exemple, +∞ au carré donne +∞, puisqu’un très grand nombre (+∞) à la puissance 2 donnera toujours un très grand nombre (+∞).

Et la même chose se produit avec la multiplication : si vous multipliez un très grand nombre (+∞), vous obtiendrez toujours un très grand nombre (+∞). Par exemple:

$3\cdot (+\infty)= +\infty.$

Attention : pour calculer des limites à l’infini il est important de prendre en compte les éléments suivants :

→ Un nombre négatif élevé à un exposant pair est positif. Par conséquent, moins l’infini élevé à un exposant pair donne plus l’infini :

$(-\infty)^2 = +\infty$

→ Un nombre négatif élevé à un exposant impair est négatif. Par conséquent, moins l’infini élevé à un exposant impair est moins l’infini :

$(-\infty)^3 = -\infty$

→ Multiplier un nombre négatif change le signe de l’infini :

$-2(+\infty) = - \infty$

→ N’importe quel nombre divisé par

$\pm \infty$ donne 0 :

$\cfrac{5}{\infty} = 0$

Exemples de limites à l’infini

Pour que vous puissiez voir comment les limites à l’infini sont résolues dans les polynômes, vous avez ci-dessous plusieurs limites de ce type résolues :

$\begin{array}{l}\displaystyle \lim_{x \to +\infty} (x^3-x^2+4)= (+\infty) ^3 = \bm{+\infty}\\[4ex]\displaystyle\lim_{x \to +\infty} (-5x+2)= -5(+\infty)= \bm{-\infty}\\[4ex]\displaystyle \lim_{x \to -\infty} (x^2-7x+1) = (-\infty)^2 = \bm{+\infty}\\[4ex]\displaystyle \lim_{x \to -\infty} (x^3-x^2+4)= (-\infty) ^3 = \bm{-\infty}\\[4ex]\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \ \cfrac{1}{x}= \cfrac{1}{+\infty} = \bm{0}\end{array}$

Limites indéterminées à l’infini

Les limites à l’infini ne seront pas toujours aussi faciles à calculer, puisque parfois on obtiendra l’indétermination de l’infini entre l’infini ou l’indétermination de l’infini moins l’infini.

$\cfrac{\infty}{\infty}\qquad \qquad \infty-\infty$

Lorsque nous obtenons ce type d’indéterminations (ou formes indéterminées), nous ne pouvons pas connaître directement le résultat, mais nous devons plutôt effectuer une procédure préalable pour trouver la valeur limite. Nous allons ensuite voir comment se résolvent les limites indéterminées à l’infini.

Indétermination infinie entre l’infini

Pour trouver le résultat de l’indétermination infini divisé par l’infini il faut comparer le degré du numérateur et le degré du dénominateur de la fraction :

Si le degré du polynôme numérateur est inférieur au degré du polynôme dénominateur, l’indétermination infini sur l’infini est égale à zéro.
Si le degré du polynôme numérateur est équivalent au degré du polynôme dénominateur, l’indétermination infini sur l’infini est le quotient des coefficients principaux des deux polynômes.
Si le degré du polynôme numérateur est supérieur au degré du polynôme dénominateur, l’indétermination infinie entre l’infini donne plus ou moins l’infini (le signe dépend des termes principaux des deux polynômes).

$\displaystyle \lim_{x \to \pm \infty}}\frac{a_nx^r+a_{n-1}x^{r-1}+a_{n-2}x^{r-2}+\dots}{b_nx^s+b_{n-1}x^{s-1}+b_{n-2}x^{s-2}+\dots}=\left\{ \begin{array}{lcl} 0 & \text{si} & r<s \\[3ex]="" \cfrac{a_n}{b_n}="" &="" \text{si}="" r="s" \\[5ex]="" \pm="" \infty="">s \end{array}\right.$

Par exemple, dans la limite suivante, le polynôme numérateur est du deuxième degré, tandis que le polynôme dénominateur est du troisième degré, donc la solution à la limite est 0.

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \cfrac{6x^2-5}{x^3+1} = \cfrac{6(+\infty)^2}{(+\infty)^3} = \cfrac{+\infty}{+\infty}= \bm{0}$

Regardez cet autre exemple, dans lequel les deux polynômes de la fonction rationnelle sont du second degré, il faut donc diviser les coefficients des termes de degré supérieur pour calculer la limite à l’infini.

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \cfrac{4x^2+1}{2x^2-5} = \cfrac{4(+\infty)^2}{2(+\infty)^2}= \cfrac{+\infty}{+\infty} =\cfrac{4}{2} = \bm{2}$

Enfin, à la limite suivante, la fonction du numérateur a un degré plus grand que celle du dénominateur, donc l’indétermination de l’infini sur l’infini donne l’infini. De plus, un infini positif est obtenu à partir du numérateur, mais un infini négatif à partir du dénominateur, donc le résultat de la limite est négatif (le positif entre le négatif est négatif).

$\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \cfrac{3x^2+2x-5}{7x+1} = \cfrac{3(-\infty)^2}{7(-\infty)}=\cfrac{3(+\infty)}{-\infty}}= \cfrac{+\infty}{-\infty}= \bm{-\infty}$

Indétermination infinie entre l’infini avec des racines

En revanche, le degré d’une fonction irrationnelle (fonction avec racines) est le quotient entre le degré du terme principal et l’indice du radical.

$\sqrt[\color{red}\bm{m}\color{black}]{a_nx^{\color{blue}\bm{n}\color{black}}+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\dots} \ \longrightarrow \ \text{grado}=\cfrac{\color{blue}\bm{n}\color{black}}{\color{red}\bm{m}\color{black}}$

Par conséquent, si la limite d’une fonction avec racines donne l’indétermination infinie entre l’infini , nous devons appliquer les mêmes règles expliquées ci-dessus concernant les degrés du numérateur et du dénominateur, mais en tenant compte du fait que le degré d’un polynôme avec racines est calculé différemment .

Regardez l’exemple suivant de la limite infinie d’une fonction avec des radicaux :

$\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{4x^2+11}{\sqrt{x^8-3x^2-5}}=\frac{4(+\infty)^2}{\sqrt{(+\infty)^8}}=\frac{+\infty}{+\infty}=\bm{0}$

Le degré du numérateur est 2 et le degré du dénominateur est 4 (8/2=4), donc la limite est 0 car le degré du numérateur est inférieur au degré du dénominateur.

Indétermination infinie entre l’infini avec des fonctions exponentielles

La croissance d’une fonction exponentielle est bien plus grande que la croissance d’une fonction polynomiale, il faut donc considérer que le degré d’une fonction exponentielle est supérieur au degré d’une fonction polynomiale.

$\text{exponencial}>\text{polinomio}$

Donc, si l’indétermination infini divisé par l’infini résulte d’une limite à fonctions exponentielles, il faut simplement appliquer les mêmes règles expliquant les degrés du numérateur et du dénominateur, mais en tenant compte du fait qu’une fonction exponentielle est d’ordre supérieur à un polynôme.

De plus, si nous avons des fonctions exponentielles au numérateur et au dénominateur de la division, la fonction exponentielle dont la base est la plus grande sera celle d’ordre le plus élevé.

$\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{7x^5+6x^3-4x}{4^x}=\frac{7(+\infty)^5}{4^{+\infty}}=\frac{+\infty}{+\infty}=\bm{0}$

Dans cet exemple, le dénominateur est formé d’une fonction exponentielle, il est donc d’ordre supérieur au numérateur. Par conséquent, la forme indéterminée infini entre l’infini donne 0.

Indétermination infinie moins infinie

La résolution de l’indétermination infini moins infini dépend du fait que la fonction a des fractions ou des racines. Voyons donc comment résoudre ce type d’indétermination pour ces deux cas différents.

Indétermination infini moins infini avec fractions

Lorsque l’ indétermination infini moins infini se produit dans une addition ou une soustraction de fractions algébriques , nous devons d’abord faire l’addition ou la soustraction des fractions, puis calculer la limite.

Voyons comment calculer l’indétermination infini moins l’infini dans une fonction avec des fractions en résolvant un exemple étape par étape :

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \left( \frac{x^2}{x-1} - \frac{x}{3}\right)$

Nous essayons d’abord de calculer la limite :

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty}\left( \frac{x^2}{x-1} - \frac{x}{3}\right) = \frac{(+\infty)^2}{(+\infty)-1} - \frac{+\infty}{3} = \bm{+\infty - \infty}$

Mais on obtient l’indétermination ∞-∞.

Il faut donc d’abord faire la soustraction des fractions. Pour ce faire, on réduit les fractions à un dénominateur commun, c’est-à-dire qu’on multiplie le numérateur et le dénominateur d’une fraction par le dénominateur de l’autre :

$\begin{array}{l}\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left( \frac{x^2}{x-1}-\frac{x}{3}\right)=\\[5ex]\displaystyle =\lim_{x \to +\infty}\left(\frac{x^2 \cdot 3}{(x-1)\cdot 3}- \frac{x\cdot (x-1)}{3\cdot (x-1)} \right)=\\[5ex]\displaystyle = \lim_{x \to +\infty} \left( \frac{3x^2 }{3(x-1)}- \frac{x^2-x}{3(x-1)}\right)\end{array}$

Et maintenant que les deux fractions ont le même dénominateur, on peut les réunir en une seule fraction :

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{3x^2 -(x^2-x)}{3(x-1)}$

On opère sur le numérateur et le dénominateur :

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{3x^2 -x^2+x}{3x-3} = \lim_{x \to +\infty} \frac{2x^2+x}{3x-3}$

Et enfin on calcule à nouveau la limite :

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty}\frac{2x^2+x}{3x-3}=\frac{+\infty}{+\infty}=\bm{+\infty}$

Dans ce cas l’indétermination infinie entre l’infini donne +∞ car le degré du numérateur est supérieur au degré du dénominateur.

Indétermination infini moins infini avec racines

Lorsque l’ indétermination infini moins infini se produit dans une addition ou une soustraction radicale , nous devons d’abord multiplier et diviser la fonction par l’expression radicale conjuguée, puis résoudre la limite.

Voyons comment résoudre l’indétermination infini moins l’infini dans une fonction irrationnelle en suivant un exemple étape par étape :

$\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\left(x-\sqrt{x^2-5}\right)$

Nous essayons d’abord de résoudre la limite de la fonction avec des radicaux :

$\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\left(x-\sqrt{x^2-5}\right)=+\infty-\sqrt{(+\infty)^2}=\bm{+\infty-\infty}$

Cependant, nous obtenons la forme indéterminée ∞-∞. Donc pour savoir à quel point l’indétermination est l’infini moins l’infini il faut appliquer la procédure expliquée.

Puisque la fonction a des radicaux, nous multiplions et divisons la fonction entière par l’expression irrationnelle conjuguée :

$\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\left(x-\sqrt{x^2-5}\right)= \lim_{x \to +\infty}\frac{\left(x-\sqrt{x^2-5}\right)\cdot\left(x+\sqrt{x^2-5}\right)}{x+\sqrt{x^2-5}}$

L’expression algébrique du numérateur correspond à l’identité notable du produit d’une somme et d’une différence, on peut donc simplifier l’expression :

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \cfrac{\left(x-\sqrt{x^2-5}\right) \cdot \left(x + \sqrt{x^2-5}\right)}{ x + \sqrt{x^2-5}}= \lim_{x \to +\infty} \cfrac{x^2- \left( \sqrt{x^2-5}\right)^2}{ x + \sqrt{x^2-5}}$

Maintenant, nous simplifions la racine de la limite, puisqu’elle est au carré :

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty}\frac{x^2-(x^2-5)}{x+\sqrt{x^2-5}}$

On opère sur le numérateur de la fraction :

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2- x^2+5}{x+\sqrt{x^2-5}}$

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{5}{x+\sqrt{x^2-5}}$

Et enfin, on refait le calcul de limite :

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{5}{x+\sqrt{x^2-5}}=\frac{5}{+\infty+\sqrt{(+\infty)^2}}=\frac{5}{+\infty}=\bm{0}$

Le résultat de la limite est donc 0, car tout nombre divisé par l’infini est égal à zéro.

Exercices résolus sur les limites à l’infini

Exercice 1

Trouvez les limites suivantes de la fonction graphique :

$\displaystyle\lim_{x\to -\infty}f(x)$

$\displaystyle\lim_{x\to +\infty}f(x)$

$\displaystyle\lim_{x\to -1^-}f(x)$

$\displaystyle\lim_{x\to -1^+}f(x)$

$\displaystyle\lim_{x\to 1^-}f(x)$

$\displaystyle\lim_{x\to 1^+}f(x)$

limites à l'infini à partir de la représentation d'une fonction

Voir la solution

La limite de la fonction lorsque x tend vers moins l’infini et plus l’infini donne 1 :

$\displaystyle\lim_{x\to -\infty}f(x)=1$

$\displaystyle\lim_{x\to +\infty}f(x)=1$

Les limites latérales de la fonction à gauche et à droite au point x=-1 sont respectivement plus l’infini et moins l’infini :

$\displaystyle\lim_{x\to -1^-}f(x)=+\infty$

$\displaystyle\lim_{x\to -1^+}f(x)=-\infty$

Enfin, les limites latérales de la fonction lorsque x tend vers 1 valent moins l’infini et plus l’infini :

$\displaystyle\lim_{x\to 1^-}f(x)=-\infty$

$\displaystyle\lim_{x\to 1^+}f(x)=+\infty$

Exercice 2

Résolvez la limite lorsque x tend vers plus l’infini de la fonction suivante :

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} (x^2+4x+1)$

Voir la solution

Pour résoudre la limite à l’infini, nous devons remplacer x par l’infini dans le terme du plus haut degré du polynôme :

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} (x^2+4x+1) = (+\infty)^2= \bm{+\infty}$

Exercice 3

Calculez la limite à l’infini de la fonction polynomiale suivante :

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} (-3x^2+8x+5)$

Voir la solution

Pour résoudre la limite à l’infini, nous remplaçons x par l’infini dans le terme du plus haut degré du polynôme et effectuons les calculs :

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} (-3x^2+8x+5) = -3(+\infty)^2= -3\cdot (+\infty) = \bm{-\infty}$

Exercice 4

Résolvez la limite au moins infinie de la fonction polynomiale suivante :

$\displaystyle \lim_{x \to -\infty} (6x^2-3x-4)$

Voir la solution

Pour calculer la limite à l’infini, nous remplaçons x par moins l’infini dans le terme du plus haut degré du polynôme et évaluons la fonction :

$\displaystyle \lim_{x \to -\infty} (6x^2-3x-4) = 6(-\infty)^2= 6\cdot (+\infty) = \bm{+\infty}$

Puisque moins l’infini est au carré, le signe de l’infini devient positif.

Exercice 5

Trouver la limite à l’infini de la fonction rationnelle suivante :

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty}\frac{7}{2x-5}$

Voir la solution

Pour déterminer la limite à l’infini, nous remplaçons x par plus l’infini au terme du plus haut degré du numérateur et du dénominateur de la fraction :

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty}\frac{7}{2x-5} = \cfrac{7}{2\cdot(+\infty)}=\frac{7}{+\infty}=\bm{0}$

N’oubliez pas que tout nombre divisé par plus ou moins l’infini est égal à 0.

Exercice 6

Résolvez la limite suivante à l’infini :

$\displaystyle \lim_{x \to -\infty} (-x^3+x^2+5x)$

Voir la solution

Pour calculer la limite lorsque x tend vers ±∞ d’une fonction il suffit de regarder le monôme du plus haut degré de la fonction :

$\displaystyle \lim_{x \to -\infty} (-x^3+x^2+5x) = -(-\infty)^3= -(-\infty)= \bm{+\infty}$

Exercice 7

Calculez la limite de la fonction suivante lorsque x s’approche de moins l’infini :

$\displaystyle \lim_{x \to -\infty} (-4x^2+4)$

Voir la solution

Dans ce cas, il suffit de substituer l’infini au terme quadratique :

$\displaystyle \lim_{x \to -\infty} (-4x^2+4) = -4(-\infty)^2= -4\cdot (+\infty) = \bm{-\infty}$

Exercice 8

Trouvez la limite de la fonction exponentielle suivante lorsque x s’approche de plus l’infini :

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} 2^x$

Voir la solution

Bien qu’il s’agisse d’une fonction exponentielle, le processus pour résoudre la limite est le même : remplacer x par l’infini.

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} 2^x = 2^{+\infty}=\bm{+\infty}$

Exercice 9

Résolvez la limite infinie de la fonction exponentielle suivante :

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} 5^{-x}$

Voir la solution

Pour résoudre cette limite il faut utiliser les propriétés des fractions :

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} 5^{-x} = 5^{-(+\infty)}=5^{-\infty}= \cfrac{1}{5^{+\infty}}= \cfrac{1}{\infty} =\bm{0}$

Exercice 10

Résolvez la limite suivante à l’infini :

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \cfrac{-4x^2+3}{3x+1}$

Voir la solution

La limite donne l’indétermination moins l’infini entre plus l’infini. Le degré du numérateur est supérieur au degré du dénominateur, donc la limite indéterminée est égale à plus l’infini. Cependant, puisque la division est moins l’infini par l’infini positif, le résultat est moins l’infini.

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \cfrac{-4x^2+3}{3x+1} = \cfrac{-4(+\infty)^2}{3(+\infty)} =\cfrac{-4(+\infty)}{+\infty}= \cfrac{-\infty}{+\infty}= \bm{-\infty}$

Exercice 11

Corrige la limite indéterminée suivante :

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \cfrac{5x+8}{-5x+2}$

Voir la solution

Dans ce problème, la forme indéterminée infini sur l’infini est obtenue à partir du quotient de deux polynômes de même degré, donc le résultat de la limite indéterminée est la division de leurs coefficients principaux :

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \cfrac{5x+8}{-5x+2} = \cfrac{5(+\infty)}{-5(+\infty)} = \cfrac{+\infty}{-\infty}=\cfrac{5}{-5}= \bm{-1}$

Exercice 12

Calculez la limite suivante au moins à l’infini :

$\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \cfrac{x^2+3x+5}{x^4-x-6}$

Voir la solution

Le degré d’expression algébrique du numérateur est inférieur au degré d’expression du dénominateur, donc l’indétermination +∞/+∞ donne 0 :

$\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \cfrac{x^2+3x+5}{x^4-x-6} = \cfrac{(-\infty)^2}{(-\infty)^4} = \cfrac{+\infty}{+\infty}= \bm{0}$

Exercice 13

Résolvez la limite indéterminée suivante d’une fonction avec racines :

$\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{\sqrt[3]{x^7-4x^3}}{x^2+5x}$

Voir la solution

L’expression du numérateur est sous un radical, son degré est donc 7/3. En revanche, le polynôme dénominateur est quadratique. Et puisque 7/3>2, la limite donne plus d’infini :

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty}\frac{\sqrt[3]{x^7-4x^3}}{x^2+5x}=\frac{\sqrt[3]{(+\infty)^7}}{(+\infty)^2}=\frac{+\infty}{+\infty}=\bm{+\infty}$

Exercice 14

Déterminez la limite infinie de la fonction suivante avec des fractions :

$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \cfrac{-2x^2}{5-4x}$

Voir la solution

Dans cet exercice on obtient l’indétermination moins l’infini divisé par moins l’infini avec le degré du numérateur supérieur au degré du dénominateur, donc :

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \cfrac{-2x^2}{5-4x} = \cfrac{-2(+\infty)^2}{-4(+\infty)} = \cfrac{-2(+\infty)}{-\infty}= \cfrac{-\infty}{-\infty} =\bm{+\infty}$

Exercice 15

Trouver la limite au moins infinie de la fonction suivante :

$\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \cfrac{9x}{4-x^2}$

Voir la solution

Le polynôme dénominateur est quadratique, tandis que le polynôme numérateur est linéaire. Par conséquent, l’indétermination infini divisée par l’infini donne 0.

$\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \cfrac{9x}{4-x^2} = \cfrac{9(-\infty)}{-(-\infty)^2} = \cfrac{-\infty}{-(+\infty)}=\cfrac{-\infty}{-\infty}= \bm{0}$

Exercice 16

Résolvez la limite au moins infinie de la fonction suivante :

$\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \cfrac{-2x^3-3x}{-3x^2+4x-1}$

Voir la solution

Le numérateur est d’un degré supérieur au dénominateur, donc le résultat de la forme indéterminée ∞/∞ sera infini. De plus, le signe de l’infini sera négatif car positif entre négatif se traduit par négatif :

$\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \cfrac{-2x^3-3x}{-3x^2+4x-1} = \cfrac{-2(-\infty)^3}{-3(-\infty)^2} =\cfrac{-2(-\infty)}{-3(+\infty)}= \cfrac{+\infty}{-\infty}= \bm{-\infty}$

Exercice 17

Résolvez la limite suivante à l’infini :

$\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\cfrac{2^x-4}{-2x^6+x^4}$

Voir la solution

La fonction exponentielle est d’ordre supérieur à la fonction polynomiale, donc la limite donnera l’infini. Cependant, en divisant le positif par le négatif, le signe infini sera négatif :

$\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\frac{2^x-4}{-2x^6+x^4}=\frac{2^{+\infty}}{-2(+\infty)^6}=\frac{+\infty}{-\infty}=\bm{-\infty}$

Exercice 18

Calculez la limite infinie de la fonction suivante avec une racine carrée :

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \cfrac{\sqrt{4x^2+1}}{-2x}$

Voir la solution

Le numérateur est constitué d’une racine carrée, son degré est donc 2/2=1. Alors, le degré du numérateur est égal à celui du dénominateur, donc l’indétermination infinie entre l’infini se résout comme suit :

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \cfrac{\sqrt{4x^2+1}}{-2x}= \cfrac{\sqrt{4(+\infty)^2}}{-2(\infty)}= \cfrac{+\infty}{-\infty} = \cfrac{\sqrt{4}}{-2}=\cfrac{2}{-2}=\bm{-1}$

Exercice 19

Résolvez la limite infinie de la fonction suivante avec deux radicaux :

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \cfrac{\sqrt[3]{6x^7+2x^3}}{\sqrt{x^5-3x^4+2x}}$

Voir la solution

Le degré du numérateur est 7/3=2,33 et le degré du dénominateur est 5/2=2,5. Par conséquent, puisque le degré du numérateur est inférieur au degré du dénominateur, la limite infinie indéterminée entre l’infini est 0 :

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \cfrac{\sqrt[3]{6x^7+2x^3}}{\sqrt{x^5-3x^4+2x}}=\cfrac{\sqrt[3]{6(+\infty)^7}}{\sqrt{(+\infty)^5}}=\cfrac{+\infty}{+\infty}=\bm{0}$

Exercice 20

Calculez la limite suivante :

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \cfrac{\sqrt[5]{x^7-2x^5-1}}{4^{x-2}+3x}$

Voir la solution

Quel que soit le degré du numérateur, puisque nous avons une fonction exponentielle au dénominateur, le résultat de la forme indéterminée infinie sur l’infini est 0 :

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \cfrac{\sqrt[5]{x^7-2x^5-1}}{4^{x-2}+3x}=\cfrac{\sqrt[5]{(+\infty)^7}}{4^{+\infty-2}}=\cfrac{+\infty}{+\infty}=\bm{0}$

Exercice 21

Déterminer la limite infinie de la fonction rationnelle suivante :

$\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\left(\frac{x^3+1}{x-1}-\frac{x}{4} \right)$

Voir la solution

Tout d’abord, nous essayons de calculer la limite en substituant l’infini dans la fonction :

$\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\left(\frac{x^3+1}{x-1}-\frac{x}{4}\right)=\frac{(+\infty)^3+1}{+\infty-1}-\frac{+\infty}{4} = \bm{+\infty -\infty}$

Mais on retrouve l’indétermination ∞ – ∞. Par conséquent, nous réduisons les fractions à un dénominateur commun :

$\begin{array}{l}\displaystyle\lim\limits_{x \to +\infty} \left(\frac{x^3+1}{x-1}-\frac{x}{4} \right)=\\[5ex]\displaystyle = \lim_{x\to +\infty}\left(\frac{(x^3+1)\cdot4}{(x-1)\cdot4}-\frac{x\cdot(x-1)}{4\cdot (x-1)}\right)=\\[5ex]\displaystyle =\lim_{x\to +\infty}\left(\frac{4x^3+4}{4x-4}-\frac{x^2-x}{4x-4}\right)\end{array}$

Et comme les deux fractions ont désormais le même dénominateur, on peut les réunir en une seule fraction :

$\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\left(\frac{4x^3+4}{4x-4}-\frac{x^2-x}{4x-4}\right)=\lim_{x\to +\infty}\frac{4x^3+4-(x^2-x)}{4x-4}$

On fait la parenthèse du numérateur :

$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{4x^3+4-x^2+x}{4x-4}$

Et enfin, on détermine la limite :

$\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\frac{4x^3+4-x^2+x}{4x-4}=\frac{4(+\infty)^3}{4(+\infty)}=\frac{+\infty}{+\infty} = \bm{+\infty}$

Dans ce cas l’indétermination ∞/∞ donne +∞ car le degré du numérateur est supérieur au degré du dénominateur.

Exercice 22

Résolvez la limite de la fonction fractionnaire suivante lorsque x tend vers 0 :

$\displaystyle\lim_{x\to 0}\left(\frac{-3x-2}{x^4}-\frac{5}{x^2}\right)$

Voir la solution

Nous essayons d’abord de calculer la limite comme d’habitude :

$\displaystyle\lim_{x \to 0}\left(\frac{-3x-2}{x^4}-\frac{5}{x^2}\right)=\frac{-3\cdot0-2}{0^4}-\frac{5}{0^2}=\frac{-2}{0}-\frac{5}{0}=\bm{\infty-\infty}$

Mais on obtient la forme indéterminée ∞-∞. Il faut donc réduire les fractions de la fonction à un dénominateur commun.

Dans ce cas, x ⁴ est un multiple de x ² , donc simplement en multipliant le numérateur et le dénominateur de la deuxième fraction par x ² nous nous assurerons que les deux fractions ont le même dénominateur :

$\begin{array}{l}\displaystyle\lim_{x \to 0}\left(\frac{-3x-2}{x^4}-\frac{5}{x^2}\right)=\\[5ex]\displaystyle =\lim_{x \to 0}\left(\frac{-3x-2}{x^4}-\frac{5\cdot x^2}{x^2\cdot x^2} \right)=\\[5ex]\displaystyle =\lim_{x\to 0}\left(\frac{-3x-2}{x^4}-\frac{5x^2}{x^4}\right)\end{array}$

Nous pouvons maintenant soustraire les deux fractions :

$\displaystyle\lim_{x \to 0}\left(\frac{-3x-2}{x^4}-\frac{5x^2}{x^4}\right)=\lim_{x\to 0}\frac{-3x-2-5x^2 }{x^4}$

Nous essayons à nouveau de résoudre la limite :

$\displaystyle \lim_{x \to 0} \cfrac{-3x-2-5x^2 }{x^4} =\cfrac{-3\cdot 0-2-5\cdot 0^2}{0^4}=\frac{-2}{0}$

Mais on se retrouve avec l’indétermination d’une constante partant de zéro. Il faut donc calculer les limites latérales de la fonction.

$\displaystyle\lim_{x \to 0^{-}} \frac{-3x-2-5x^2}{x^4}=\frac{-2}{+0}=-\infty$

$\displaystyle\lim_{x \to 0^{+}}\frac{-3x-2-5x^2}{x^4}=\frac{-2}{+0}=-\infty$

En conclusion, puisque les deux limites latérales de la fonction au point x=0 donnent -∞, la solution de la limite est -∞ :

$\displaystyle \lim_{x \to 0^-}f(x)=\lim_{x \to 0^+}f(x)=-\infty\ \longrightarrow \ \lim_{x \to 0}f(x)= \bm{-\infty}$

Exercice 23

Résolvez la limite infinie de la fonction suivante avec des racines :

$\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\left(4x^2-\sqrt{x^4+1}\right)$

Voir la solution

En essayant de résoudre la limite, nous obtenons l’indétermination infini moins l’infini :

$\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\left(4x^2-\sqrt{x^4+1}\right)=4(+\infty)^2-\sqrt{(+\infty)^4}=\bm{+\infty -\infty}$

Par conséquent, puisqu’il y a des radicaux dans la fonction, il faut la multiplier et la diviser par l’expression radicale conjuguée :

$\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\left(4x^2-\sqrt{x^4+1} \right)=\lim_{x \to +\infty}\frac{\left(4x^2-\sqrt{x^4+1}\right)\cdot\left(4x^2+\sqrt{x^4+1}\right)}{4x^2+\sqrt{x^4+1}}$

Au numérateur nous avons le produit notable d’une somme et d’une différence, qui est égal à la différence des carrés. Pourtant:

$\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{\left(4x^2\right)^2-\left(\sqrt{x^4+1}\right)^2}{4x^2+\sqrt{x^4+1}}$

On simplifie le radical au carré :

$\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{\bigl(4x^2\bigr)^2-(x^4+1)}{4x^2+\sqrt{x^4+1}}$

On opère sur le numérateur :

$\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{16x^4-x^4-1}{4x^2+\sqrt{x^4+1}}$

$\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{15x^4-1}{4x^2+\sqrt{x^4+1}}$

Et finalement on trouve la limite :

$\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{15x^4-1}{4x^2+\sqrt{x^4+1}}=\frac{15(+\infty)^4}{4(+\infty)^2+\sqrt{(+\infty)^4}}=\frac{+\infty}{+\infty}= \bm{+\infty}$

Dans ce cas l’indétermination infini divisé par l’infini est plus infinie car le degré du numérateur est supérieur au degré du dénominateur (rappelons que la racine carrée réduit le degré de deux :

$\sqrt{x^4} = x^{4/2} = x^2$ ).

Exercice 24

Résolvez la limite lorsque x tend vers l’infini de la fonction irrationnelle suivante :

$\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\left(2x-1-\sqrt{4x^2+1}\right)$

Voir la solution

Tout d’abord, nous essayons de calculer la limite comme d’habitude :

$\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\left(2x-1-\sqrt{4x^2+1}\right)=2(+\infty)-\sqrt{4(+\infty)^2}=\bm{+\infty -\infty}$

Mais il en résulte l’indétermination de la différence des infinis. Par conséquent, puisque la fonction a des racines, il faut multiplier et diviser l’expression par le radical conjugué :

$\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{\left(2x-1-\sqrt{4x^2+1}\right)\cdot\left(2x-1+\sqrt{4x^2+1}\right)}{2x-1 +\sqrt{4x^2+1}}$

On regroupe l’égalité notable du numérateur de la fraction :

$\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{\left(2x-1\right)^2-\left(\sqrt{4x^2+1}\right)^2}{2x-1+\sqrt{4x^2+1}}$

On résout la racine carrée :

$\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{\left(2x-1\right)^2-\left(4x^2+1\right)}{2x-1+\sqrt{4x^2+1}}$

On résout l’identité notable du carré d’une différence :

$\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{4x^2+1-4x-\left(4x^2+1\right)}{2x-1+\sqrt{4x^2+1}}$

On opère sur le numérateur :

$\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{4x^2+1-4x-4x^2-1}{2x-1+\sqrt{4x^2+1}}$

$\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\frac{-4x}{2x-1+\sqrt{4x^2+1}}$

Et enfin, on calcule la valeur de la limite à l’infini :

$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \cfrac{-4x }{2x-1 +\sqrt{4x^2+1} } = \cfrac{-4(+\infty) }{2(+\infty)+\sqrt{4(+\infty)^2} } = \cfrac{-\infty}{+\infty} =$

Même s’il y a un x au carré au dénominateur, son degré est en réalité 1 car il est à l’intérieur d’une racine :

$\sqrt{4x^2} =\sqrt{4}\cdot \sqrt{x^2} = \sqrt{4}\cdot x^{2/2} =\sqrt{4} x^1=\sqrt{4}x .$

Par conséquent, le résultat de l’indétermination -∞/+∞ est la division des coefficients des x du plus haut degré, puisque le degré du numérateur est le même que le degré du dénominateur.

$\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{-4x}{2x-1+\sqrt{4x^2+1} }=\frac{-\infty}{+\infty}=\frac{-4}{2+\sqrt{4}}=\frac{-4}{2+2}=\frac{-4}{4}=\bm{-1}$

Notez que puisqu’il y a deux termes du premier degré au dénominateur

$\bigl(2x$ et $\sqrt{4x^2}\bigr)$ , pour résoudre l’indétermination -∞/+∞ il faut prendre tous les coefficients des termes du premier degré, c’est-à-dire les $2$ de $2x$ et le $\sqrt{4}$ de $\sqrt{4x^2}.$

Exercice 25

Calculez la limite lorsque x s’approche de 1 de la fonction suivante avec des fractions :

$\displaystyle\lim_{x\to 1}\left(\frac{1}{1-x}-\frac{3}{1-x^3}\right)$

Voir la solution

En essayant de faire la limite on obtient la limite indéterminée de l’infini moins l’infini :

$\displaystyle\lim_{x\to 1}\left(\frac{1}{1-x}-\frac{3}{1-x^3}\right)=\frac{1}{1-1}--\frac{3}{1-1^3}=\frac{1}{0}-\frac{3}{0}=\bm{\infty-\infty}$

Il faut donc réduire les fractions à un dénominateur commun, ou en d’autres termes, il faut multiplier le numérateur et le dénominateur d’une fraction par le dénominateur de l’autre :

$\begin{array}{l}\displaystyle\lim_{x \to 1}\left(\frac{1}{1-x}-\frac{3}{1-x^3} \right)=\\[5ex]\displaystyle =\lim_{x\to 1}\left( \frac{1\cdot(1-x^3)}{(1-x)\cdot(1-x^3)}-\frac{3\cdot(1-x)}{(1-x^3)\cdot(1-x)}\right)=\\[5ex]\displaystyle =\lim_{x \to 1}\left(\frac{1-x^3}{1-x-x^3+x^4}-\frac{3-3x}{1-x-x^3+x^4}\right)\end{array}$

Et comme maintenant les deux fractions ont le même dénominateur, on peut les mettre ensemble :

$\displaystyle\lim_{x \to 1}\left(\frac{1-x^3}{1-x-x^3+x^4}-\frac{3-3x}{1-x-x^3+x^4}\right)=\lim_{x\to 1}\frac{1-x^3-(3-3x)}{1-x-x^3+x^4}$

Nous opérons :

$\displaystyle\lim_{x \to 1} \cfrac{1-x^3-3+3x}{1-x-x^3+x^4}$

$\displaystyle\lim_{x \to 1} \cfrac{-x^3+3x-2}{x^4-x^3-x+1}$

Et nous essayons à nouveau de résoudre la limite :

$\displaystyle\lim_{x \to 1}\frac{-x^3+3x-2}{x^4-x^3-x+1}=\frac{-1^3+3\cdot1-2}{1^4-1^3-1+1}=\mathbf{\frac{0}{0}}$

Mais on retrouve l’indétermination zéro divisé par zéro. Il faut donc factoriser les polynômes du numérateur et du dénominateur :

$\displaystyle\lim_{x \to 1}\frac{-x^3+3x-2}{x^4-x^3-x+1}=\lim_{x \to 1}\frac{-(x-1)^2(x+2)}{(x-1)^2(x^2+x+1)}$

Maintenant, nous simplifions la fraction en supprimant le facteur qui est répété au numérateur et au dénominateur :

$\displaystyle\lim_{x \to 1}\frac{-\cancel{(x-1)^2}(x+2)}{\cancel{(x-1)^2}(x^2+x+1)}=\lim_{x \to 1}\frac{-(x+2)}{x^2+x+1}$

Et enfin, nous résolvons la limite :

$\displaystyle\lim_{x \to 1}\frac{-(x+2)}{x^2+x+1}=\frac{-(1+2)}{1^2+1+1}=\frac{-3}{3}=\bm{-1}$

Des limites à l’infini

Limite d’une fonction lorsque x tend vers l’infini

Comment résoudre les limites à l’infini

Exemples de limites à l’infini

Limites indéterminées à l’infini

Indétermination infinie entre l’infini

Indétermination infinie entre l’infini avec des racines

Indétermination infinie entre l’infini avec des fonctions exponentielles

Indétermination infinie moins infinie

Indétermination infini moins infini avec fractions

Indétermination infini moins infini avec racines

Exercices résolus sur les limites à l’infini

Exercice 1

Exercice 2

Exercice 3

Exercice 4

Exercice 5

Exercice 6

Exercice 7

Exercice 8

Exercice 9

Exercice 10

Exercice 11

Exercice 12

Exercice 13

Exercice 14

Exercice 15

Exercice 16

Exercice 17

Exercice 18

Exercice 19

Exercice 20

Exercice 21

Exercice 22

Exercice 23

Exercice 24

Exercice 25

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