Vettori paralleli - Mathority

In questa pagina troverai tutto sui vettori paralleli: cosa significano, quando due vettori sono paralleli, come trovare un vettore parallelo a un altro vettore, le proprietà di questo tipo di vettore,… Inoltre, potrai vedere diversi esempi ed esercizi risolti sui vettori paralleli.

Cosa sono i vettori paralleli?

I vettori paralleli sono vettori che hanno la stessa direzione. In altre parole, due vettori sono paralleli se sono contenuti in due rette parallele. Pertanto due vettori paralleli formano tra loro un angolo di 0 o 180 gradi.

Ad esempio, i seguenti tre vettori sono paralleli:

Inoltre il parallelismo di due vettori dipende solo dalla loro direzione. Cioè, due vettori saranno paralleli se coincidono nella direzione, sia che abbiano la stessa direzione o quella opposta. E la stessa cosa accade con il modulo (o grandezza), due vettori possono avere moduli diversi ed essere paralleli.

Quando invece due vettori hanno la stessa direzione ma opposta si dicono vettori antiparalleli .

Come fai a sapere se due vettori sono paralleli?

Due vettori sono paralleli quando sono proporzionali. Pertanto, per sapere se due vettori sono paralleli, dobbiamo determinare se le loro rispettive componenti sono proporzionali oppure no.

Vedremo come sapere se due vettori sono paralleli attraverso due diversi esercizi risolti, uno con vettori a 2 coordinate e l’altro con vettori a 3 coordinate.

Esempio di vettori paralleli al piano (in R2)

Determina se i due vettori seguenti sono paralleli:

$\vv{\text{u}}=(-2,4) \qquad\vv{\text{v}}=(1,-2)$

Per sapere se sono realmente vettori paralleli, dobbiamo vedere se le loro coordinate cartesiane sono proporzionali:

$\cfrac{-2}{1} = \cfrac{4}{-2} = -2$

Dividendo tra loro le componenti X e le componenti Y si ottiene lo stesso risultato (-2), quindi i due vettori sono proporzionali e quindi anche paralleli .

$\vv{\text{u}} \parallel \vv{\text{v}}$

Si noti che in matematica, quando due elementi geometrici sono paralleli, ciò è indicato da due barre verticali (II).

Esempio di vettori paralleli nello spazio (in R3)

Determina se la condizione di parallelismo è soddisfatta nei due vettori seguenti:

$\vv{\text{u}}=(1,3,-2) \qquad\vv{\text{v}}=(2,6,4)$

Per determinare se si tratta effettivamente di vettori paralleli, dobbiamo verificare se le coordinate dei vettori sono proporzionali:

$\cfrac{1}{2} = \cfrac{3}{6} = 0,5 \neq \cfrac{-2}{4} = -0,5$

Le componenti X e le componenti Y dei vettori sono proporzionali tra loro perché dividendole si ottiene lo stesso risultato, invece non sono proporzionali alla componente Z. Pertanto i vettori non sono proporzionali a tutti e quindi non sono paralleli .

$\vv{\text{u}} \ \cancel{\parallel} \ \vv{\text{v}}$

Come calcolare un vettore parallelo?

Per trovare un vettore parallelo a un altro vettore è sufficiente moltiplicarlo per uno scalare (un numero reale) diverso da zero (0). Esistono quindi infiniti vettori paralleli tra loro, poiché il vettore può essere moltiplicato per un numero infinito di numeri.

Ad esempio, calcoleremo diversi vettori paralleli del seguente vettore:

$\vv{\text{v}}=(2,4)$

Il risultato di tutti i seguenti prodotti sono vettori paralleli al vettore precedente:

$2\vv{\text{v}}=(4,8)$

$3\vv{\text{v}}=(6,12)$

$-1\vv{\text{v}}=(-2,-4)$

$\displaystyle \frac{1}{2}\vv{\text{v}}=(1,2)$

Proprietà dei vettori paralleli

I vettori paralleli hanno le seguenti caratteristiche:

Proprietà riflessiva : ogni vettore è parallelo a se stesso.

$\vv{\text{v}} \parallel \vv{\text{v}}$

Proprietà simmetrica : se un vettore è parallelo ad un altro, anche questo vettore è parallelo al primo. Questa proprietà è posseduta anche dai vettori perpendicolari .

$\vv{\text{u}} \parallel \vv{\text{v}} \ \longrightarrow \ \vv{\text{v}} \parallel \vv{\text{u}}$

Proprietà transitiva : se un vettore è parallelo ad un altro vettore, e questo secondo vettore è parallelo ad un terzo vettore, anche il primo vettore è parallelo al terzo vettore.

$\left. \begin{array}{c} \vv{\text{u}} \parallel \vv{\text{v}} \\[2ex] \vv{\text{v}} \parallel \vv{\text{w}} \end{array} \right\} \longrightarrow \ \vv{\text{u}} \parallel \vv{\text{w}}$

Il prodotto scalare di due vettori paralleli è uguale al prodotto dei loro moduli. Puoi verificare il motivo per cui sta accadendo questa cosa particolare nelle proprietà del prodotto scalare .

$\vv{\text{u}} \parallel \vv{\text{v}} \ \longrightarrow \ \vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}= \lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert$

Due vettori paralleli sono sempre linearmente dipendenti. Questo concetto è abbastanza importante, quindi se non lo conosci puoi fare riferimento a cosa sono due vettori linearmente dipendenti .

$\vv{\text{u}} \parallel \vv{\text{v}} \ \longrightarrow \ LD$