Vettori complanari (o complanari)

In questa pagina imparerai cosa sono i vettori complanari e come capire se 2, 3, 4 o più vettori sono complanari. Inoltre, potrai vedere esempi ed esercizi risolti passo passo su vettori complanari.

Cosa sono i vettori complanari?

In geometria analitica, il significato dei vettori complanari (o complanari) è il seguente:

I vettori complanari sono vettori che appartengono allo stesso piano.

Pertanto, due vettori sono sempre complanari perché un piano può essere formato con un minimo di 2 vettori. Quando invece ci sono 3, 4 o più vettori, è possibile che uno dei vettori non sia contenuto nello stesso piano e, quindi, che non siano complanari.

esempi di vettori complanari o complanari

Ad esempio, nel grafico sopra puoi vedere che i vettori

$\vv{\text{u}}$

$\vv{\text{v}}$

sono complanari tra loro, poiché contenuti nello stesso piano. D’altra parte, questi due vettori non sono complanari al vettore

$\vv{\text{w}}$

, perché nello spazio che contiene i tre vettori non si può formare alcun piano.

Da questa proprietà si deduce che se 3 o più vettori sono complanari, anche i punti che definiscono detti vettori (inizio e fine del vettore) sono punti complanari.

Quando i vettori sono complanari?

Come abbiamo visto nella definizione di vettori complanari (o complanari), due vettori sono sempre complanari, ma non è necessario che più di due vettori rispettino il rapporto di complanarità.

Pertanto, esistono diversi metodi per determinare se tre o più vettori sono complanari:

Se il prodotto misto di tre vettori (o prodotto triplo punto) è uguale a zero, significa che i tre vettori sono complanari. Se non ti è molto chiaro come si calcola questa operazione, ti consiglio di dare un’occhiata a cos’è il prodotto misto di tre vettori , qui troverai la spiegazione nonchè esempi ed esercizi risolti.

$\bigl[\vv{\text{u}},\vv{\text{v}},\vv{\text{w}}\bigr] =0$

Se un insieme di vettori può essere espresso come combinazione lineare di due vettori, ciò implica che essi sono complanari, nel senso che 3 o più vettori sono complanari se e solo se sono linearmente dipendenti. Per dimostrare che tre o più vettori sono una combinazione lineare di due vettori è sufficiente che il rango della matrice formata da tutti i vettori sia pari a 2.

$rg(A) = 2$

È importante comprendere bene il concetto di dipendenza e indipendenza lineare , ovvero quando due vettori sono linearmente dipendenti o linearmente indipendenti e cosa ciò significa. Se non ti è del tutto chiaro, nel link troverai una spiegazione molto dettagliata, dove, inoltre, potrai vedere esempi ed esercizi risolti passo dopo passo.

Se i vettori in questione sono vettori paralleli , ciò significa che sono anche complanari, cioè tutti i vettori paralleli sono contenuti nello stesso piano.

$\vv{\text{u}} \parallel \vv{\text{v}} \parallel \vv{\text{w}}$

Risolti problemi di vettori complanari

Esercizio 1

Determina se i seguenti tre vettori sono complanari:

$\vv{\text{u}} = (3,1,2)$

$\vv{\text{v}} = (2,3,-1)$

$\vv{\text{w}} = (-1,-5,4)$

vedi soluzione

Per verificare se si tratta di 3 vettori complanari, dobbiamo calcolare il prodotto misto tra i tre vettori:

$\begin{aligned}\bigl[\vv{\text{u}},\vv{\text{v}},\vv{\text{w}}\bigr]& =\begin{vmatrix} 3 & 1 & 2 \\[1.1ex] 2 & 3 & -1 \\[1.1ex] -1 & -5 & 4 \end{vmatrix} \\[2ex] &= 36+1-20+6-15-8 \\[2ex] & = \bm{0} \end{aligned}$

Il prodotto misto dei tre vettori è zero, quindi i 3 vettori sono complanari .

Esercizio 2

Determina se i seguenti tre vettori sono complanari:

$\vv{\text{u}} = (4,-2,6)$

$\vv{\text{v}} = (-2,1,-3)$

$\vv{\text{w}} = (6,-3,9)$

vedi soluzione

Un modo per verificare se abbiamo a che fare con 3 vettori complanari sarebbe risolvere il prodotto misto tra i tre vettori. Tuttavia, se osserviamo attentamente le componenti dei vettori, possiamo vedere che sono proporzionali. Pertanto i tre vettori sono paralleli tra loro.

$\vv{\text{u}} \parallel \vv{\text{v}} \parallel \vv{\text{w}}$

E poiché tutti i vettori sono paralleli, sono effettivamente 3 vettori complanari .

Esercizio 3

Determina se i seguenti quattro vettori sono complanari:

$\vv{\text{a}} = (2,1,1)$

$\vv{\text{b}} = (1,-1,2)$

$\vv{\text{c}} = (-1,0,-1)$

$\vv{\text{d}} = (3,1,2)$

vedi soluzione

Per sapere se i quattro vettori sono complanari dobbiamo calcolare il rango della matrice composta da tutti i vettori:

$\displaystyle A= \begin{pmatrix} 2&1&1 \\[1.1ex] 1&-1&2 \\[1.1ex] -1&0&-1 \\[1.1ex] 3&1&2\end{pmatrix}$

In questo caso, calcoliamo la portata di detta matrice mediante determinanti:

$rg(A) = \ ?$

$\displaystyle \begin{vmatrix} 2&1&1 \\[1.1ex] 1&-1&2 \\[1.1ex] -1&0&-1 \end{vmatrix}=0 \quad \begin{vmatrix} 2&1&1 \\[1.1ex] 1&-1&2 \\[1.1ex]3&1&2\end{vmatrix} =0$

$\displaystyle \begin{vmatrix} 2&1&1 \\[1.1ex] -1&0&-1 \\[1.1ex] 3&1&2\end{vmatrix}=0 \quad \begin{vmatrix} 1&-1&2 \\[1.1ex] -1&0&-1 \\[1.1ex] 3&1&2\end{vmatrix}=0$

$\displaystyle \begin{vmatrix} 2&1 \\[1.1ex] 1&-1\end{vmatrix}= -3\neq 0$

$rg(A) = 2$

Il rango della matrice formata da tutti i vettori è pari a 2, quindi i 4 vettori sono complanari .

Esercizio 4

Calcolare il valore del parametro

$k$

in modo che i seguenti 4 punti siano complanari:

$A(3,1,4)$

$B(2,1,2)$

$C(0,-1,3)$

$D(3,2,k)$

vedi soluzione

Affinché i quattro punti siano complanari, i vettori da essi determinati devono essere complanari. Calcoliamo quindi questi vettori:

$\vv{AB} = B- A = (2,1,2)-(3,1,4) = (-1,0,-2)$

$\vv{AC} = C- A = (0,-1,3)-(3,1,4) = (-3,-2,-1)$

$\vv{AD} = D- A = (3,2,k)-(3,1,4) = (0,1,k-4)$

La cui matrice vettoriale è:

$\displaystyle A= \begin{pmatrix} -1&0&-2 \\[1.1ex] -3&-2&-1 \\[1.1ex] 0&1&k-4\end{pmatrix}$

Affinché i vettori risultanti siano complanari, il rango della matrice deve essere 2. E, quindi, il determinante dell’intera matrice 3×3 deve essere 0:

$\displaystyle \begin{vmatrix} -1&0&-2 \\[1.1ex] -3&-2&-1 \\[1.1ex] 0&1&k-4\end{vmatrix} =0$