Valore numerico di un polinomio

In questa pagina scoprirai cos’è e come calcolare il valore numerico di un polinomio. Inoltre, potrai vedere esempi ed esercizi risolti passo passo sul valore numerico di un polinomio.

Qual è il valore numerico di un polinomio?

In matematica, il valore numerico di un polinomio P(x) per il valore x=a, cioè P(a), è il risultato ottenuto sostituendo la variabile x del polinomio con il numero a ed eseguendo i calcoli indicati nell’espressione polinomiale.

Per farti comprendere meglio il concetto di valore numerico di un polinomio, mostriamo di seguito come viene calcolato con un esempio:

Come calcolare il valore numerico di un polinomio

Ora che conosciamo la definizione matematica del valore numerico di un polinomio, vediamo come determinare il valore numerico di un polinomio utilizzando un esempio:

  • Qual è il valore numerico del seguente polinomio per x=2?

P(x)=x^3+5x^2-4x+1

Per trovare il valore numerico del polinomio è necessario valutare detto polinomio nel valore dato dal problema, cioè è necessario sostituire la variabile

x

del polinomio per il valore dell’affermazione. Pertanto, in questo caso dobbiamo sostituire la lettera

x

Per 2:

P(2)=2^3+5\cdot 2^2-4\cdot 2+1

E una volta sostituito il valore nell’espressione algebrica del polinomio, eseguiamo le operazioni. Quindi risolviamo prima le potenze:

P(2)=8+5\cdot 4-4\cdot 2+1

Ora calcoliamo le moltiplicazioni:

P(2)=8+20-8+1

E infine, aggiungiamo e sottraiamo i termini:

\bm{P(2)=21}

In conclusione, il valore numerico del polinomio per x=2 è pari a 21.

Come puoi vedere, trovare il valore numerico di un polinomio non è molto complicato, ma ha alcune applicazioni molto utili. Ad esempio, sapere come trovare il valore numerico di un polinomio è essenziale per poter utilizzare il teorema del resto, un teorema molto importante sui polinomi. Clicca su questo link e scopri cos’è il teorema del resto , troverai la sua spiegazione, esempi di utilizzo ed esercizi risolti passo dopo passo.

Esempi di valori numerici di polinomi

Per farti capire come ottenere il valore numerico di un polinomio, ti lasciamo con altri esempi risolti:

Esempio 1

  • Calcolare il valore numerico del polinomio

    P(x)=x^3-2x^2+3x+6

    Per

    x=-1.

\begin{aligned} P(-1) & =(-1)^3-2\cdot (-1)^2+3\cdot (-1)+6 \\[2ex] & = -1-2\cdot 1+3\cdot (-1)+6 \\[2ex] & =-1-2-3+6 \\[2ex]&= \bm{0} \end{aligned}

In questo caso il valore numerico del polinomio è uguale a 0. Ciò ha conseguenze dovute alle proprietà dei polinomi, poiché grazie al teorema dei fattori possiamo sapere quale sarà il resto di determinate divisioni tra polinomi. Per saperne di più cliccate sul link precedente, dove spieghiamo cos’è questo teorema e a cosa serve.

Esempio 2

  • Determinare il valore numerico del polinomio

    P(x)=-2x^3+7x^2-8x-2

    Per

    x=3.

\begin{aligned} P(3) & =-2\cdot 3^3+7\cdot 3^2-8\cdot 3-2 \\[2ex] & =-2\cdot 27+7\cdot 9-8\cdot 3-2 \\[2ex] & =-54+63-24-2 \\[2ex]&= \bm{-17} \end{aligned}

Finora abbiamo visto solo come determinare il valore numerico di un polinomio nel modo classico, ma devi sapere che esiste un altro metodo. Più nello specifico, puoi anche calcolare il valore numerico di un polinomio con il metodo Ruffini . Dovresti anche sapere come utilizzare questa procedura, quindi ti consigliamo di controllare la sua spiegazione dettagliata nel collegamento.

Valore numerico di un polinomio con due o più variabili

Abbiamo appena visto come trovare il valore numerico di un polinomio quando ha una sola variabile. Ma… come si ottiene il valore numerico di un polinomio quando ha più di una variabile?

Ebbene, se un polinomio ha 2 o più lettere, il suo valore numerico deve essere calcolato allo stesso modo, cioè prima sostituire ogni variabile del polinomio con il suo valore corrispondente e poi risolvere le operazioni sul polinomio .

Ad esempio, hai un problema di questo tipo risolto di seguito:

  • Trova il valore numerico del polinomio multivariato

    P(x,y)=x^2y+4xy-2x^2+6y-5

    per i valori

    x=2, y=3.

Per prima cosa sostituiamo ogni variabile con il suo valore corrispondente, cioè sostituiamo la lettera

x

per 2 e cambiamo la lettera

y

entro 3:

P(2,3)=2^2\cdot 3+4\cdot 2\cdot 3-2\cdot 2^2+6\cdot 3-5

Risolviamo per le potenze:

P(2,3)=4\cdot 3+4\cdot 2\cdot 3-2\cdot 4+6\cdot 3-5

Ora calcoliamo i prodotti:

P(2,3)=12+24-8+18-5

E infine, facciamo le addizioni e le sottrazioni:

\bm{P(2,3)=41}

Quindi il valore numerico del polinomio per i dati dell’istruzione è equivalente a 41.

Esercizi risolti sul valore numerico di un polinomio

Esercizio 1

Qual è il valore numerico del polinomio P(x) per x=-2?

P(x)=-2x^3-4x^2+3x+8

Per trovare il valore numerico del polinomio, dobbiamo semplicemente sostituire il valore indicato nell’enunciato nell’espressione del polinomio e risolvere le operazioni risultanti:

\begin{aligned} P(-2) & =-2\cdot (-2)^3-4\cdot (-2)^2+3\cdot (-2)+8 \\[2ex] & =-2\cdot (-8)-4\cdot 4+3\cdot (-2)+8 \\[2ex] & =+16-16-6+8 \\[2ex]&= \bm{2} \end{aligned}

Esercizio 2

Calcola il valore numerico del seguente polinomio con le frazioni per x=4.

P(x)=\cfrac{1}{2} x^2-\cfrac{5}{4}x + 7

Indipendentemente dal fatto che il polinomio contenga o meno frazioni, la procedura per trovare il valore numerico del polinomio è sempre la stessa. Dobbiamo quindi sostituire la variabile x con 4 e risolvere i calcoli:

\begin{aligned} P(4) & =\cfrac{1}{2} \cdot 4^2-\cfrac{5}{4}\cdot 4+ 7 \\[2ex] & =\cfrac{1}{2} \cdot 16-\cfrac{5}{4}\cdot 4+ 7\\[2ex] & =8-5+7 \\[2ex]&= \bm{10} \end{aligned}

Esercizio 3

Determinare il valore numerico del polinomio per i valori x=3, y=5 e z=-2

P(x,y,z)=x^2yz+4y^2z^2-3x^2z+6xyz

Per determinare il valore numerico del polinomio multivariato è sufficiente sostituire i valori indicati nel problema nell’espressione algebrica e risolvere le operazioni risultanti:

\begin{aligned} P(3,5,-2) & =3^2\cdot 5\cdot (-2)+4\cdot 5^2\cdot (-2)^2-3\cdot 3^2\cdot (-2)+6\cdot 3\cdot 5 \cdot (-2) \\[2ex] & =9\cdot 5\cdot (-2)+4\cdot 25\cdot 4-3\cdot 9\cdot (-2)+6\cdot 3\cdot 5 \cdot (-2) \\[2ex] & =-90+400+54-180\\[2ex]&= \bm{184} \end{aligned}

Esercizio 4

Dato il polinomio

P(x)= -2x^3-3x^2+5x+k

calcolare il valore del parametro

k

affinché

P(-2)=5.

In questo problema, per trovare il valore dell’ignoto

k

dobbiamo risolvere l’equazione

P(-2)=5.

P(-2)=5

Pertanto, proviamo prima a calcolare il valore di P(-2):

\begin{aligned} P(-2) & =-2\cdot (-2)^3-3\cdot (-2)^2+5\cdot (-2)+k \\[2ex] & =-2\cdot (-8)-3\cdot 4+5\cdot (-2)+k \\[2ex] & =+16-12-10+k\\[2ex]&=-6+k \end{aligned}

Ora uguagliamo l’espressione ottenuta a 5:

P(-2)=5

-6+k=5

E infine, risolviamo l’equazione risultante:

k=5+6

\bm{k=11}

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