Trinomio quadrato - Mathority

In questa pagina spieghiamo come risolvere il quadrato di un trinomio (formula). Inoltre, potrai vedere diversi esempi ed esercitarti con esercizi risolti passo dopo passo di trinomi quadrati.

Formula per un trinomio quadrato

Logicamente, per comprendere la formula del trinomio al quadrato, devi prima sapere cos’è un trinomio . Ti lascio questo link nel caso volessi rivederlo prima di proseguire con la spiegazione.

Un trinomio al quadrato è uguale al quadrato del primo termine, più il quadrato del secondo termine, più il quadrato del terzo termine, più il doppio del primo termine per il secondo, più il doppio del primo termine per il terzo, più il doppio del secondo per il terzo.

quadrato di un trinomio o trinomio al quadrato

Il quadrato di un trinomio è così importante perché è un prodotto notevole (o identità notevole), cioè esiste una formula matematica che permette di calcolare rapidamente questa operazione. Fare clic sul seguente collegamento per vedere quali sono tutte leformule di prodotto degne di nota .

Esempi di trinomi quadrati

Una volta che abbiamo visto qual è la formula per un trinomio quadrato, vedremo diversi esempi di calcolo del quadrato di un trinomio:

Esempio 1

Calcola la seguente potenza di un trinomio quadrato:

$\left(x^2+x+3\right)^2$

La formula del quadrato di un trinomio è:

$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$

Pertanto, dobbiamo prima identificare i valori dei parametri

$a,b$

$c$

della formula. In questo esercizio

$a$

Est

$x^2,$

il coefficiente

$b$

corrispondono a

$x,$

$c$

è il termine indipendente 3:

$\left. \begin{array}{c} (a+b+c)^2\\[2ex] \left(x^2+x+3\right)^2 \end{array} \color{red} \right\} \quad \color{red}\bm{\longrightarrow}\quad \color{black} \begin{array}{c} a=x^2 \\[2ex] b=x \\[2ex] c=3 \end{array}$

E quando conosciamo già i valori, sostituiamo semplicemente questi valori nella formula ed eseguiamo i calcoli:

D’altra parte, va notato che un trinomio quadrato non è la stessa cosa di un trinomio quadrato perfetto . Questo è un errore comune, perché molte persone si confondono con questi due concetti. Puoi vedere le differenze tra questi due tipi di trinomi al link in questo paragrafo.

Esempio 2

Trova il quadrato successivo di un trinomio:

$\left(x^2-2x+4\right)^2$

Per determinare questa potenza polinomiale dobbiamo applicare la formula del trinomio elevato a due:

$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$

In questo problema,

$a$

Ciò equivale a

$x^2,$

$b$

corrisponde al monomio negativo

$-2x,$

$c$

è il numero 4:

$\left. \begin{array}{c} (a+b+c)^2\\[2ex] \left(x^2-2x+4\right)^2 \end{array} \color{red} \right\} \quad \color{red}\bm{\longrightarrow}\quad \color{black} \begin{array}{c} a=x^2 \\[2ex] b=-2x \\[2ex] c=4 \end{array}$

Sostituiamo quindi i valori trovati nella formula e risolviamo le operazioni risultanti:

$\begin{array}{l} \left(x^2-2x+4\right)^2 = \\[2ex] = \left(x^2\right)^2+(-2x)^2+4^2+2\cdot x^2 \cdot (-2x) + 2 \cdot x^2 \cdot 4 +2 \cdot (-2x) \cdot 4 = \\[2ex] = x^4+4x^2+16-4x^3 + 8x^2 -16x = \\[2ex] = x^4-4x^3+12x^2-16x+16 \end{array}$

Ricorda che la potenza con esponente pari di base negativa dà un termine positivo, quindi

$(-2x)^2$

è uguale a

$4x^2.$

Ora che hai visto come si calcola il quadrato di un trinomio, probabilmente ti interesserà anche sapere come risolvere il prodotto della somma per la differenza di due termini. In effetti, è tra le prime 3 identità degne di nota (più importanti). Puoi vedere qual è la sua formula e come viene applicata nella pagina collegata.

Dimostrazione della formula del quadrato di un trinomio

Per finire di comprendere la nozione di potenza di un trinomio al quadrato, dedurremo la formula che abbiamo appena studiato.

Da qualsiasi trinomio elevato a 2:

$(a+b+c)^2$

L’espressione algebrica sopra equivale a moltiplicare il trinomio tra parentesi per se stesso:

$(a+b+c)^2 = (a+b+c)(a+b+c)$

Ora moltiplichiamo i due trinomi:

$(a+b+c)(a+b+c)= a^2+ab+ac+ba+b^2+bc+ca+cb+c^2$

Infine, raggruppiamo termini simili:

$a^2+ab+ac+ba+b^2+bc+ca+cb+c^2 = a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$

E in questo modo siamo già arrivati all’espressione della formula, quindi si dimostra la formula del quadrato di un trinomio:

$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$

Sul nostro sito web abbiamo più dimostrazioni di identità importanti. Ad esempio, puoi vedere la dimostrazione della formula per una somma al quadrato e una differenza al quadrato . Inoltre, in questi link vedrai non solo le loro dimostrazioni, ma anche l’interpretazione geometrica delle loro formule, cioè cosa significano geometricamente questi tipi di identità notevoli.

Risolti problemi sui trinomi quadrati

Risolvi i seguenti trinomi quadrati:

$\text{A)} \ \left(x^2+x+5\right)^2$

$\text{B)} \ \left(x^2+3x-4\right)^2$

$\text{C)} \ \left(4x^2-6x+3\right)^2$

$\text{D)} \ \left(x^3-3x^2-9x\right)^2$

vedi soluzione

Per risolvere tutti gli esercizi dobbiamo utilizzare la formula del quadrato di un trinomio, che è:

$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$

$\text{A)} \ \begin{array}{l} \left(x^2+x+5\right)^2 = \\[2ex] = \left(x^2\right)^2+x^2+5^2+2\cdot x^2 \cdot x + 2 \cdot x^2 \cdot 5 +2 \cdot x \cdot 5 = \\[2ex] = x^4+x^2+25+2x^3 + 10x^2 +10x = \\[2ex] = \bm{x^4+2x^3+11x^2+10x+25} \end{array}$

$\text{B)} \ \begin{array}{l}\left(x^2+3x-4\right)^2 = \\[2ex] = \left(x^2\right)^2+(3x)^2+(-4)^2+2\cdot x^2 \cdot 3x + 2 \cdot x^2 \cdot (-4) +2 \cdot 3x \cdot (-4) = \\[2ex] = x^4+9x^2+16+6x^3-8x^2-24x = \\[2ex] = \bm{x^4+6x^3+x^2-24x+16} \end{array}$

$\text{C)} \ \begin{array}{l}\left(4x^2-6x+3\right)^2 = \\[2ex] = \left(4x^2\right)^2+(-6x)^2+3^2+2\cdot 4x^2 \cdot (-6x) + 2 \cdot 4x^2 \cdot 3 +2 \cdot (-6x) \cdot 3 = \\[2ex] = 16x^4+36x^2+9-48x^3+24x^2-36x = \\[2ex] = \bm{16x^4-48x^3+60x^2-36x+9} \end{array}\end{array}$

$\text{D)} \ \begin{array}{l} \left(x^3-3x^2-9x\right)^2 = \\[2ex] = \left(x^3\right)^2+\left(-3x^2\right)^2+(-9x)^2+2\cdot x^3 \cdot (-3x^2) + 2 \cdot x^3 \cdot (-9x) +2 \cdot (-3x^2) \cdot (-9x) = \\[2ex] = x^6+9x^4+81x^2-6x^5-18x^4+54x^3 = \\[2ex] = \bm{x^6-6x^5-9x^4+54x^3+81x^2} \end{array}$

Formula per un trinomio quadrato

Esempi di trinomi quadrati

Esempio 1

Esempio 2

Dimostrazione della formula del quadrato di un trinomio

Risolti problemi sui trinomi quadrati

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