Tipi di discontinuità

Settembre 17, 2023

Qui scoprirai quali tipi di discontinuità esistono. Inoltre, potrai vedere esempi di tutti i tipi di discontinuità e potrai esercitarti con esercizi risolti sui tipi di discontinuità delle funzioni.

Quali sono tutti i tipi di discontinuità?

Esistono tre tipi di discontinuità, vale a dire:

Discontinuità evitabile : i limiti laterali di una funzione in un punto non coincidono con il valore della funzione.
Inevitabile discontinuità di salto finito : i limiti laterali di una funzione in un punto sono diversi.
Inevitabile discontinuità del salto infinito : uno dei limiti laterali della funzione dà infinito oppure non esiste.

Per finire di comprendere i concetti, spiegheremo ogni tipo di discontinuità in modo più dettagliato e vedremo esempi di funzioni con i tre tipi di discontinuità.

Discontinuità evitabile

La discontinuità evitabile è un tipo di discontinuità che ha una funzione in un punto se in quel punto esiste il confine ma non coincide con il valore della funzione oppure non esiste l’immagine della funzione.

$\displaystyle \exists \lim_{x \to a} f(x) \neq f(a) \qquad | \qquad \displaystyle \exists\lim_{x \to a} f(x) \text{ y } \ \cancel{\exists} \ f(a)$

I limiti laterali di questa funzione sono uguali tra loro, ma sono diversi dal valore della funzione in quel punto. La funzione presenta quindi una discontinuità evitabile.

$\displaystyle \left. \begin{array}{l}\displaystyle \lim_{x \to a^-} f(x) =b \\[3ex] \displaystyle \lim_{x \to a^+} f(x)=b \end{array} \right\} \ \bm{\longrightarrow} \ \lim_{x \to a} f(x)=b$

$\displaystyle \lim_{x \to a} f(x)=b \qquad f(a)=c$

$\displaystyle \exists \lim_{x \to a} f(x) \neq f(a)$

discontinuità evitabile di una funzione senza immagine

La funzione nell’esempio precedente ha una discontinuità evitabile perché i limiti laterali in x=a hanno lo stesso valore, ma l’immagine della funzione a questo punto non esiste.

$\displaystyle \left. \begin{array}{l}\displaystyle \lim_{x \to a^-} f(x) =b \\[3ex] \displaystyle \lim_{x \to a^+} f(x)=b \end{array} \right\} \ \bm{\longrightarrow} \ \lim_{x \to a} f(x)=b$

$\displaystyle \lim_{x \to a} f(x)=b \qquad \cancel{\exists} \ f(a)$

➤ Vedi: limiti laterali di una funzione

Inevitabile discontinuità del salto finito

L’ inevitabile discontinuità a salto finito è un tipo di discontinuità che presenta una funzione in un punto in cui i limiti laterali della funzione in quel punto non sono uguali.

$\displaystyle \lim_{x \to a^-} f(x) \neq \lim_{x \to a^+} f(x)$

Ad esempio, i limiti laterali della successiva funzione definita a tratti nel punto di modifica della definizione sono diversi, quindi la funzione ha un’inevitabile discontinuità di salto finito in quel punto.

inevitabile discontinuità del salto finito

$\displaystyle \lim_{x \to a^-} f(x)=b \qquad \lim_{x \to a^+} f(x)=c$

$\displaystyle \lim_{x \to a^-} f(x) \neq \lim_{x \to a^+} f(x)$

Questo tipo di discontinuità appare generalmente nelle funzioni definite a tratti (o a tratti).

➤ Vedi: continuità di una funzione a tratti

Salto infinito. Discontinuità inevitabile

L’ inevitabile discontinuità del salto infinito è un tipo di discontinuità che ha una funzione a volte se uno dei limiti laterali in quel punto è infinito o non esiste.

$\displaystyle \lim_{x \to a^-} f(x) = \pm \infty \qquad \lim_{x \to a^+} f(x)= \pm \infty$

Il limite sinistro della seguente funzione dà un numero reale, ma il limite destro dà l’infinito. La funzione presenta quindi un’inevitabile discontinuità di salto infinito.

$\displaystyle \lim_{x \to a^-} f(x)=b \qquad \lim_{x \to a^+} f(x)=+\infty$

Qui sotto potete vedere un grafico di funzione i cui due limiti laterali danno infinito e quindi la funzione presenta un’inevitabile discontinuità di salto infinito.

$\displaystyle \lim_{x \to a^-} f(x)=-\infty \qquad \lim_{x \to a^+} f(x)=+\infty$

Questo tipo di discontinuità si verifica solitamente nelle funzioni razionali (o frazionarie) .

Esercizi risolti sui tipi di discontinuità

Esercizio 1

Determinare il tipo di discontinuità della seguente funzione a tratti nel punto x=3:

$\displaystyle f(x)= \left\{ \begin{array}{lcl} -2x+1 & \text{si} & x\leq 3 \\[2ex] 4x - 5 & \text{si} & x > 3 \end{array} \right.” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”65″ width=”232″ style=”vertical-align: 0px;”></p> </p> <div class=$

Vedi la soluzione

Il dominio del primo elemento della funzione,

$-2x+1$

, come quello del secondo pezzo,

$4x-5$

, sono tutti numeri reali perché sono funzioni polinomiali.

Quindi l’unico punto in cui la funzione potrebbe essere discontinua è il punto di arresto della funzione a tratti. Calcoleremo quindi in questa fase i limiti laterali:

$\displaystyle \lim_{x \to 3^-} f(x)=\lim_{x \to 3} (-2x+1) = -2\cdot 3+1=-5$

$\displaystyle \lim_{x \to 3^+} f(x)=\lim_{x \to 3}(4x-5)=4\cdot 3-5=7$

$\displaystyle \lim_{x \to 3^-} f(x) \neq \lim_{x \to 3^+} f(x)$

I due limiti laterali in x=3 danno risultati diversi. Pertanto il punto x=3 è un’inevitabile discontinuità di salto finito.

Esercizio 2

Trova che tipo di discontinuità presenta la seguente funzione razionale nei punti che non appartengono al suo dominio:

$f(x)= \cfrac{x^2-4}{x+2}$

Vedi la soluzione

Logicamente, per risolvere questo esercizio, devi prima trovare il dominio della funzione. Quindi, poiché si tratta di una funzione razionale, impostiamo il denominatore uguale a 0 e risolviamo l’equazione risultante:

$x+2=0$

$x=-2$

$\text{Dom } f = \mathbb{R} - \{-2\}$

La funzione sarà quindi continua in tutti i punti tranne x=-2, vediamo quindi che tipo di discontinuità è il punto x=-2. Per fare ciò, calcoliamo il limite della funzione nel punto:

$\displaystyle \lim_{x \to -2} \cfrac{x^2-4}{x+2} = \cfrac{ (-2)^2-4}{-2+2}= \cfrac{0}{0}$

Ma otteniamo zero indeterminazione tra zero, quindi fattorizziamo i polinomi del numeratore e del denominatore e semplifichiamo:

$\displaystyle \lim_{x \to -2} \cfrac{x^2-4}{x+2}=\lim_{x \to -2} \cfrac{ (x-2)\cancel{(x+2)}}{\cancel{x+2}} =\lim_{x \to -2} (x-2)$

Ora risolviamo il limite:

$\displaystyle \lim_{x \to -2} (x-2) =-2-2=-4$

Di conseguenza, il limite della funzione nel punto x=-2 esiste e dà -4. Ora controlliamo se esiste

$f(-2):$

$f(-2)=\cfrac{(-2)^2-4}{-2+2}= \cfrac{4-4}{0} = \cfrac{0}{0} \quad \bm{\longrightarrow} \quad \cancel{\exists} \ f(2)$

Nel calcolo dell’immagine di una funzione, l’indeterminazione 0/0 non è semplificabile e non ha soluzione. COSÌ

$f(-2)$

non esiste.

In conclusione, il limite della funzione in x=-2 esiste, ma

$f(-2)$

No. Quindi x=-2 è una discontinuità evitabile.

Esercizio 3

Analizzare la continuità della seguente funzione razionale:

$\displaystyle f(x)= \frac{2}{x-5}$

Vedi la soluzione

Per vedere se è una funzione continua, dobbiamo prima calcolarne il dominio. Poniamo quindi uguale a zero il denominatore della funzione razionale per vedere quali punti non appartengono al dominio:

$x-5=0$

$x=5$

$\text{Dom } f = \mathbb{R} - \{5\}$

La funzione sarà quindi continua in tutti i punti tranne x=5. Vediamo quindi che tipo di discontinuità è x=5 calcolando il limite a questo punto:

$\displaystyle \lim_{x \to 5} \frac{2}{x-5} = \frac{2}{5-5} = \frac{2}{0} = \infty$

Ci troviamo nell’indeterminazione di un numero diviso 0. Calcoliamo quindi i limiti laterali della funzione in x=5:

$\displaystyle \lim_{x \to 5^{-}} \frac{2}{x-5}=\frac{2}{4,999-5}=\frac{2}{-0}= \bm{-\infty}$

$\displaystyle \lim_{x \to 5^{+}} \frac{2}{x-5}=\frac{2}{5,001-5}=\frac{2}{+0}=\bm{+\infty}$

Il limite sinistro della funzione in x=5 dà meno infinito e il limite destro dà più infinito. Pertanto la funzione presenta un’inevitabile discontinuità di salto infinito in x = 5, poiché almeno un limite laterale in questo punto tende all’infinito.

Esercizio 4

Determinare tutte le discontinuità della funzione a tratti mostrata nel grafico seguente:

l'esercizio risolveva le discontinuità delle funzioni

Vedi la soluzione

Per disegnare la funzione devi alzare la matita in x=-2, in x=1 e in x=4. La funzione è quindi discontinua in questi tre punti.

In x=-2, il limite del lato sinistro è +∞ e il limite del lato destro è 3. Quindi, poiché uno dei limiti laterali è infinito, la funzione ha un’inevitabile discontinuità di salto infinito in x=-2.

$\displaystyle \lim_{x \to -2^-} f(x) = +\infty \ \neq \ \lim_{x \to -2^+} f(x) = 3$

Il limite della funzione in x=1 è 0 e, invece, il valore della funzione in x=1 è uguale a 2. La funzione presenta quindi una discontinuità evitabile in x=1.

$\displaystyle \lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) = 0 \ \bm{\longrightarrow} \ \lim_{x \to 1} f(x) = 0$

$\displaystyle \lim_{x \to 1} f(x) = 0 \neq f(1) = 2$

In x = 4, il limite del lato sinistro è -3 e il limite del lato destro è 1. Pertanto, poiché i due limiti laterali sono diversi e nessuno dei due dà infinito, la funzione ha inevitabilmente una discontinuità di salto finito in x =4.

$\displaystyle \lim_{x \to 4^-} f(x) = -3 \ \neq \ \lim_{x \to 4^+} f(x) = 1$

Esercizio 5

Trova tutti gli asintoti e le discontinuità della funzione rappresentata nel grafico seguente:

esercizio risolto sui tipi di discontinuità di una funzione

Vedi la soluzione

Asintoti

La funzione è molto vicina alla linea verticale x=3 ma non la tocca mai. Inoltre, il limite laterale sinistro in x=3 è +∞ e il limite laterale destro è -∞. Pertanto x=3 è un asintoto verticale.

$\displaystyle \lim_{x \to 3^-} f(x)=+\infty \qquad \lim_{x \to 3^+} f(x)=-\infty$

E la stessa cosa accade con la linea orizzontale y=-1, la funzione si avvicina molto a y=-1 ma non la attraversa mai. Inoltre, il limite della funzione quando x si avvicina a +∞ e -∞ è -1. Pertanto, y=-1 è un asintoto orizzontale.

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x)=-1 \qquad \lim_{x \to -\infty} f(x)=-1$

Discontinuità

Per x=6 la funzione viene interrotta perché c’è un punto in sospeso. Il limite quando x si avvicina a 6 è -1,4 ma f(6)=1. La funzione presenta quindi una discontinuità evitabile in x=6 perché il valore del limite non coincide con il valore della funzione:

$\displaystyle \left. \begin{array}{l} \displaystyle \lim_{x \to 6^-} f(x)=-1,4\\[3ex] \displaystyle \lim_{x \to 6^+} f(x)=-1,4 \end{array} \right\} \bm{\longrightarrow} \lim_{x \to 6} f(x)=-1,4$

$\displaystyle\lim_{x \to 6} f(x)=-1,4 \neq f(6)=1$

A x=-3 i limiti laterali non coincidono e nessuno dà infinito. La funzione presenta quindi un’inevitabile discontinuità di salto finito in x=-3.

$\displaystyle \lim_{x \to -3^-} f(x)=-2 \neq \lim_{x \to -3^+} f(x)=1$

E infine, la funzione ha un’inevitabile discontinuità di salto infinito in x = 3, poiché almeno un limite laterale a questo punto risulta in infinito.

$\displaystyle \lim_{x \to 3^-} f(x)=+\infty \qquad \lim_{x \to 3^+} f(x)=-\infty$

Quali sono tutti i tipi di discontinuità?

Discontinuità evitabile

Inevitabile discontinuità del salto finito

Salto infinito. Discontinuità inevitabile

Esercizi risolti sui tipi di discontinuità

Esercizio 1

Esercizio 2

Esercizio 3

Esercizio 4

Esercizio 5

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