Definizione di matrice e tipi di matrice

In questo articolo spieghiamo cosa sono le matrici e come viene determinata la dimensione di una matrice. Inoltre, vedrai matrici di esempio. E, infine, troverai quali sono i tipi di matrici più importanti.

Cos’è una matrice?

una matrice di comandi

$m \times n$

è un insieme di numeri disposti in

$m$

righe e

$n$

Colonne:

$\displaystyle A =\left( \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\[1.1ex] a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\[1.1ex] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\[1.1ex] a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{array} \right)$

esempi di matrici

Ecco alcuni esempi di matrici diverse:

$\displaystyle A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\[1.1ex] 1 & 4 & -3 \\[1.1ex] -2 & 8 & 7 \end{pmatrix} \qquad B = \begin{pmatrix} 9 & 2 \\[1.1ex] 5 & 6 \end{pmatrix} \qquad C = \begin{pmatrix} 5 & 2 & -3 \\[1.1ex] 2 & 1 & 8 \end{pmatrix}$

Dimensioni di un tavolo

La dimensione di un array è

$\bm{m \times n}$

. Oro

$m$

corrisponde al numero di righe della matrice, e

$n$

al numero di colonne.

Esempi:

matrice dimensionale

$2 \times 3:$

$\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 2 & 5 \\[1.1ex] -1 & 3 & 4 \end{pmatrix}$

matrice dimensionale

$2 \times 1 :$

$\displaystyle \begin{pmatrix} 5 \\[1.1ex] 2 \end{pmatrix}$

Tipi di matrici

Di seguito spieghiamo le caratteristiche dei tipi di matrice più importanti.

matrice di righe

È questa matrice che ha una sola riga:

$\displaystyle\begin{pmatrix} 3 & 6 & -2 \end{pmatrix}$

matrice di colonne

È questa matrice che ha una sola colonna:

$\displaystyle \begin{pmatrix} 6 \\[1.1ex] 4 \end{pmatrix}$

matrice trasposta

La matrice di trasposizione o trasposizione è la matrice ottenuta cambiando le righe in colonne . Ed è rappresentato mettendo una “t” in alto a destra della matrice

$\left(A^t \right) .$

Esempi:

$\displaystyle A= \begin{pmatrix} 2 & 3 \\[1.1ex] -1 & 5 \end{pmatrix} \ \longrightarrow \ A^t= \begin{pmatrix} 2 & -1 \\[1.1ex] 3 & 5 \end{pmatrix}$

$\displaystyle B= \begin{pmatrix} 1 & 5 & 4 \\[1.1ex] 3 & 0 & 2 \end{pmatrix} \ \longrightarrow \ B^t= \begin{pmatrix} 1 & 3 \\[1.1ex] 5 & 0 \\[1.1ex] 4 & 2 \end{pmatrix}$

Matrice quadrata

Una matrice quadrata è una matrice che ha lo stesso numero di righe che di colonne.

$(m=n ) .$

Ad esempio, una matrice quadrata di ordine 3 sarebbe:

$\displaystyle \left( \begin{array}{ccc} 1 & 6 & 3 \\[1.1ex] 2 & 4 & 0 \\[1.1ex] 5 & -1 & 2 \end{array} \right)$

La diagonale principale di una matrice quadrata è costituita dagli elementi che vanno dall’angolo in alto a sinistra all’angolo in basso a destra:

La diagonale secondaria di una matrice quadrata corrisponde agli elementi che vanno dall’angolo in basso a sinistra all’angolo in alto a destra:

Ti consigliamo di vedere tutte le proprietà delle matrici quadrate , poiché sono probabilmente il tipo di matrici più utilizzato e, quindi, sono molto importanti per l’algebra lineare.

matrice triangolare

Una matrice triangolare è una matrice in cui tutti gli elementi sopra o sotto la diagonale principale sono 0.

Le matrici triangolari si dividono in due tipi: matrici triangolari superiori , i cui elementi sotto la diagonale principale sono zero, e matrici triangolari inferiori , i cui elementi sopra la diagonale principale sono zero. Per comprendere appieno le differenze tra loro, puoi consultare altri esempi di matrici triangolari .

Matrice triangolare superiore:

$\displaystyle \begin{pmatrix} 4 & 1 & 7 \\[1.1ex] 0 & 2 & 5 \\[1.1ex] 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}$

Matrice triangolare inferiore:

$\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\[1.1ex] 2 & 3 & 0 \\[1.1ex] -1 & 2 & 4 \end{pmatrix}$

matrice diagonale

Una matrice diagonale è una matrice quadrata in cui tutti gli elementi che non si trovano sulla diagonale principale sono zeri. Puoi vedere le proprietà e altri esempi di matrici diagonali in questo link.

$\displaystyle \begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 \\[1.1ex] 0 & 2 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & -3 \end{pmatrix}$

Sebbene queste matrici sembrino molto semplici perché contengono molti 0, in realtà sono molto importanti per la matematica. In effetti, esiste un’intera procedura per diagonalizzare una matrice, quindi le matrici diagonalizzabili sono di grande importanza.

matrice scalare

Una matrice scalare è una matrice diagonale in cui tutti gli elementi della diagonale principale sono uguali. Se vuoi puoi vedere altri esempi di matrici scalari qui.

$\displaystyle \begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 \\[1.1ex] 0 & 4 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}$

Matrice o unità di identità

La matrice identità è una matrice diagonale in cui tutti gli elementi della diagonale principale sono uguali a 1.

$\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\[1.1ex] 0 & 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

Come ogni matrice diagonale, sembra un tipo di matrice molto semplice. Ma non fatevi ingannare dal suo aspetto, è una matrice molto utilizzata per le sue proprietà, ad esempio viene utilizzata per invertire una matrice. Ti consigliamo di rivedere le proprietà della matrice identità per comprenderne l’utilità.

matrice nulla

Una matrice zero è una matrice in cui tutti i suoi elementi sono 0:

$\displaystyle \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

Come puoi vedere, questa matrice non è affatto complessa. Ma anche se non sembra, ha la sua utilità. Puoi vedere le loro applicazioni nella pagina delle proprietà della matrice nulla .

matrice simmetrica

Una matrice simmetrica è una matrice la cui diagonale principale è un asse di simmetria.

$\displaystyle \begin{pmatrix} 2 & 3 & -1 \\[1.1ex] 3 & 5 & 9 \\[1.1ex] -1 & 9 & 1 \end{pmatrix}$

A causa delle proprietà delle matrici simmetriche , il risultato della trasposizione di una matrice simmetrica è la matrice stessa.

matrice antisimmetrica

Una matrice antisimmetrica è una matrice in cui la diagonale principale è piena di zeri e, inoltre, è un asse di antisimmetria.

$\displaystyle \begin{pmatrix} 0 & 4 & 2 \\[1.1ex] -4 & 0 & -3 \\[1.1ex] -2 & 3 & 0 \end{pmatrix}$

Nel seguente link puoi vedere tutte le proprietà e altri esempi di matrici antisimmetriche .

Ora che hai visto le tipologie di tabelle, probabilmente ti starai chiedendo… che senso ha tutto questo? Bene, una delle applicazioni principali sono le operazioni con le matrici, la più importante delle quali è la moltiplicazione, che puoi anche vedere come viene eseguita nella pagina della matrice di moltiplicazione .