In questa pagina spieghiamo cos’è il teorema dei fattori. Inoltre, mostriamo a cosa serve il teorema dei fattori: divisibilità dei polinomi, ricerca delle radici, fattorizzazione dei polinomi, ecc. Infine, potrai esercitarti con esercizi passo passo sul teorema dei fattori.
Qual è il teorema dei fattori?
In matematica, il teorema dei fattori dice che un polinomio P(x) è divisibile per un altro polinomio della forma (xa) se e solo se P(a)=0.
Parimenti, come conseguenza del teorema dei fattori, segue che se un polinomio P(x) è divisibile per il termine (x−a), ciò significa che il valore a è radice (o zero) del polinomio P( x ).
Che un polinomio sia divisibile per un altro significa che il resto (o resto) della divisione tra i due polinomi è uguale a zero. Nel caso in cui non ricordi completamente questo concetto, nel link seguente puoi vedere esempi di divisione di polinomi , lì troverai anche la spiegazione di come dividere i polinomi ed esercizi risolti passo passo.
Esempi di teorema dei fattori
Ora che conosciamo la definizione matematica del teorema dei fattori, diamo un’occhiata a diversi esempi per vedere come viene applicato.
Esempio 1
Un’applicazione del teorema dei fattori è scoprire se un dato polinomio è divisibile per un binomio . Vediamo un esempio di come ciò si realizza con il teorema dei fattori:
- Determina se il polinomio P(x) è divisibile per il binomio Q(x), essendo entrambi:
Innanzitutto, il polinomio divisore, Q(x), è un polinomio di tipo (xa), quindi possiamo applicare il teorema dei fattori per risolvere il problema.
Quindi, per verificare se P(x) può essere diviso per Q(x) dobbiamo calcolare il valore numerico del polinomio P(x) per x=1, poiché 1 è il termine indipendente del polinomio divisore con segno cambiato :
![\begin{aligned} P(1) & =1^2-4\cdot 1+3 \\[2ex] & = 1-4+3 \\[2ex] & = 0 \end{aligned}](https://mathority.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-00216efc4a2e53b0b38de1175e73a5bd_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Il valore numerico del polinomio P(x) in x = 1 dà zero, quindi secondo il teorema dei fattori P(x) è divisibile per Q(x), o in altre parole, il resto della divisione per entrambi sarà nullo.
Possiamo verificare che la condizione di divisibilità è soddisfatta dividendo i 2 polinomi per il teorema di Ruffini :
Come puoi vedere in questo esempio, il teorema dei fattori è un caso speciale del teorema del resto (o del resto). Ti lascio questo articolo in cui spiega cos’è il teorema del resto , troverai anche esempi ed esercizi risolti con esso. E inoltre potrai vedere qual è la differenza tra il teorema del resto e il teorema dei fattori.
Esempio 2
Il teorema dei fattori può essere utilizzato anche per trovare le radici (o gli zeri) di un polinomio. Ma, ovviamente, per comprendere questo tipo di problemi è necessario sapere quali sono le radici di un polinomio . Se ancora non hai capito questo concetto puoi dare un’occhiata alla pagina collegata, che è spiegata in dettaglio.
Vediamo quindi attraverso un esempio come si applica il teorema dei fattori per trovare la radice di un polinomio:
- Dato il polinomio P(x), calcola se una delle sue radici è x=2:
Applicando il teorema dei fattori, il termine x=2 sarà radice del polinomio P(x) solo se il valore numerico di P(x) per x=2 è zero. Quindi dobbiamo trovare questo valore numerico:
![\begin{aligned} P(2) & =2^3-3\cdot 2^2+5\cdot 2-6 \\[2ex] & = 8-3\cdot 4 +5\cdot 2 -6\\[2ex] & = 8-12+10-6 \\[2ex] & = 0\end{aligned}](https://mathority.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-82d50f0361613cb6c540051f8da4bc20_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Infatti, il valore numerico del polinomio P(x) si annulla in x=2, quindi grazie al teorema dei fattori possiamo affermare che x=2 è radice del polinomio P(x).
Fattorizzazione di polinomi utilizzando il teorema dei fattori
Un’altra applicazione del teorema dei fattori è la fattorizzazione dei polinomi . Nel caso non sapessi di cosa si tratta, fattorizzare un polinomio significa trasformare l’espressione di un polinomio in un prodotto di fattori, ovvero fattorizzare un polinomio ne semplifica l’espressione algebrica.
Il teorema fattoriale stabilisce quindi che se un polinomio P(x) soddisfa P(a)=0 per un dato valore a, allora l’espressione di detto polinomio può essere fattorizzata nel prodotto P(x)=(xa)· Q( x), dove Q(x) è il polinomio risultante dalla divisione del polinomio P(x) per (xa).
Ad esempio, fattorizzeremo il seguente polinomio utilizzando il teorema fattoriale:
Dal polinomio precedente possiamo sapere che x=-2 è una delle sue radici, poiché il valore numerico del polinomio per x=-2 è uguale a zero:
![\begin{aligned} P(-2) & =(-2)^3+2\cdot (-2)^2+4\cdot (-2)+8 \\[2ex] & =-8+2\cdot 4+4\cdot (-2)+8 \\[2ex] & = -8+8-8+8 \\[2ex] & = 0 \end{aligned}](https://mathority.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-1d94a4657a385e672badeabd7458b376_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Dividiamo quindi con la regola di Ruffini il polinomio P(x) tra il binomio formato da x e questa radice cambiata segno, cioè il fattore (x+2):
Quindi il quoziente della divisione polinomiale è:
E infine, dal teorema dei fattori, possiamo esprimere il polinomio P(x) sotto forma di moltiplicazione del fattore (x+2) per il quoziente ottenuto nella divisione precedente:
Abbiamo quindi fattorizzato il polinomio P(x), ma solo parzialmente. Per fattorizzare completamente un polinomio è necessario applicare una procedura più lunga. Abbiamo realizzato una guida in cui insegniamo passo dopo passo come fattorizzare i polinomi di Ruffini , inoltre in questo articolo abbiamo spiegato tutti i tipi di fattorizzazione e potrai esercitarti con esercizi risolti. Quindi fai clic sul collegamento per scoprire come fattorizzare un polinomio dall’insieme.
Problemi risolti sul teorema dei fattori
Quindi, abbiamo preparato diversi esercizi risolti passo dopo passo sul teorema dei fattori in modo che tu possa esercitarti e quindi verificare se hai capito questo teorema. Ti consigliamo di provare a eseguirli tu stesso e poi vedere se capisci correttamente la soluzione. Inoltre, non dimenticare che puoi lasciarci le tue domande qui sotto nei commenti! ❓❓💬💬
Esercizio 1
Utilizza il teorema fattoriale per scoprire se il polinomio P(x) è divisibile per il binomio Q(x) e, in tal caso, trova una radice del polinomio e fattorizzala.
In questo caso il divisore polinomiale Q(x) è un binomio composto solo da una x e da un termine indipendente. Quindi per dimostrare che il polinomio P(x) può essere diviso per l’altro polinomio Q(x) con il teorema fattoriale, dobbiamo valutare il valore numerico del polinomio P(x) nel termine indipendente del polinomio divisore cambiato segno, cioè in x=3:
![\begin{aligned} P(3) & =2\cdot 3^3-4\cdot 3^2+3-7\\[2ex] & = 2\cdot 27-4\cdot 9+3-7 \\[2ex] & = 54-36+3-7\\[2ex] & = 14 \end{aligned}](https://mathority.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9e8ac752f8e16fae1d66386e9d2a02a0_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Il valore numerico del polinomio P(x) in x=3 è equivalente a 14, cioè è diverso da zero. Quindi, secondo il teorema dei fattori, P(x) NON è divisibile per Q(x) perché il resto della divisione non è zero.
Esercizio 2
Scopri con il teorema fattoriale se il polinomio P(x) è divisibile per il binomio Q(x) e, in tal caso, trova una radice del polinomio P(x) e fattorizzala.
In questo caso il divisore polinomiale Q(x) è un binomio composto solo da una x e da un termine indipendente, possiamo quindi applicare il teorema fattoriale.
E per verificare se il polinomio P(x) può essere diviso per il polinomio Q(x), dobbiamo trovare il valore numerico del polinomio P(x) per il termine indipendente del polinomio Q(x) cambiato segno, è cioè, in x=-1:
![\begin{aligned} P(-1) & =(-1)^3+5\cdot (-1)^2+3\cdot (-1)-1\\[2ex] & = -1+5\cdot 1+3\cdot (-1)-1\\[2ex] & = -1+5-3-1\\[2ex] & = 0 \end{aligned}](https://mathority.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-34b63772a1b44bee2c746d94b6ca4785_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
In questo problema, il valore numerico del polinomio in x=-1 è zero, quindi P(x) è divisibile per Q(x).
Allora possiamo dedurre dal teorema fattoriale che x=-1 è una radice del polinomio P(x), poiché il valore numerico di P(x) in x=-1 si annulla.
Pertanto, poiché x=-1 è una radice del polinomio P(x), per fattorizzarlo è sufficiente dividerlo per x+1. E per questo utilizzeremo il metodo Ruffini:
Quindi il risultato dell’operazione è:
Possiamo quindi fattorizzare il polinomio P(x) come segue:
Esercizio 3
Trovare con il teorema fattoriale se il polinomio P(x) è divisibile per il binomio Q(x) e, in tal caso, trovare anche una radice del polinomio P(x) e fattorizzarla.
In questo caso il polinomio che divide Q(x) è un binomio formato solo da una x e da un termine indipendente, quindi possiamo utilizzare il teorema dei fattori.
E per verificare se il polinomio P(x) è divisibile per il polinomio Q(x), dobbiamo determinare il valore numerico del polinomio P(x) per il termine indipendente del polinomio Q(x) cambiato segno, cioè- cioè in x =-3:
![\begin{aligned} P(-3) & =(-3)^3+5\cdot (-3)^2+4\cdot (-3)-6\\[2ex] & = -27+5\cdot 9+4\cdot (-3)-6\\[2ex] & = -27+45-12-6\\[2ex] & = 0 \end{aligned}](https://mathority.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ef8bb895fe041193d71351ffadb94f2f_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
In questo caso, il valore numerico del polinomio in x=-3 è zero, quindi effettivamente P(x) è divisibile per Q(x).
Per questo motivo, dal teorema fattoriale deduciamo che x=-3 è radice del polinomio P(x), poiché P(-3) è uguale a zero.
Quindi, poiché x=-3 è una radice del polinomio P(x), per fattorizzarlo dobbiamo dividerlo per x+3. E per questo utilizzeremo la regola di Ruffini:
Quindi il risultato della divisione è:
E quindi possiamo fattorizzare il polinomio P(x) nel modo seguente:
Cosa ne pensi del teorema dei fattori? Pensi che sia utile in algebra? Ti leggiamo nei commenti!
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