Differenza (o sottrazione) di cubi

In questa pagina spieghiamo come fattorizzare una differenza di cubi (formula). Inoltre, potrai vedere diversi esempi e anche esercitarti con esercizi risolti passo dopo passo.

Qual è la differenza tra i cubi?

In matematica la differenza (o sottrazione) dei cubi è un binomio (polinomio con soli due monomi) formato da un termine positivo e da un termine negativo le cui radici cubiche sono esatte. In altre parole, l’espressione algebrica per una differenza di cubi è a ³ -b ³ .

Allo stesso modo, la differenza in cubi perfetti corrisponde ad un prodotto notevole. Nel caso in cui non sai cosa sono, ti lasciamo questa pagina dove viene spiegato quali sono i prodotti degni di nota , come vengono calcolati e a cosa servono.

Differenza nella formula dei cubi

Data la definizione di differenza o sottrazione di cubi, vedremo qual è la formula per questo tipo di uguaglianza notevole:

formula per differenza o sottrazione di cubi

Pertanto, sottrarre due termini dal cubo equivale alla differenza di questi due termini moltiplicata per il quadrato del primo termine, più il prodotto delle due quantità, più il quadrato del secondo termine.

Quindi, quando applichiamo la formula della differenza di cubi, stiamo effettivamente fattorizzando un polinomio di grado 3 , perché stiamo trasformando un polinomio in un prodotto di due fattori. Fare clic sul collegamento sopra per ulteriori informazioni sulla fattorizzazione dei polinomi.

Esempi di differenze tra cubi

Per finire di comprendere il concetto di differenza di cubi perfetti, vedremo diversi esempi di fattorizzazione della sottrazione di cubi utilizzando la sua formula:

Esempio 1

Fattorizza la seguente differenza di cubi utilizzando la formula:

$x^3-8$

Infatti è una differenza di cubi perché radice cubica del monomio

$x^3$

è esatto (non fornisce un numero decimale) e anche il numero 8:

$\sqrt[3]{x^3} = x$

$\sqrt[3]{8} = 2$

$x^3-8=x^3-2^3$

Possiamo quindi utilizzare la formula per la differenza dei cubi perfetti per trasformare l’espressione cubica in un prodotto di un binomio e un trinomio:

$a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$

$x^3 -2^3 = (x-2)(x^2+x \cdot 2 + 2^2)$

E ora non ci resta che fare la moltiplicazione e la potenza:

$x^3-2^3 = (x-2)(x^2+2x + 4)$

Dall’espressione ottenuta possiamo facilmente determinarlo

$x=2$

è una radice del polinomio. È importante comprendere appieno questo concetto, quindi se non ti è del tutto chiaro ti consiglio di vedere come ricavare la radice di un polinomio .

Esempio 2

Fattorizza il seguente binomio negativo utilizzando la formula di sottrazione del cubo perfetta.

$8x^3-1$

Anche il binomio di questo problema è una differenza di cubi, essendo la radice cubica del monomio

$8x^3$

dal termine indipendente 1 sono esatti:

$\sqrt[3]{8x^3} = 2x$

$\sqrt[3]{1} = 1$

$8x^3-1 =(2x)^3-1^3$

Possiamo quindi applicare la formula per sottrarre i cubi perfetti per semplificare l’espressione polinomiale:

$a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$

$(2x)^3-1^3 = (2x-1)\bigl((2x)^2+2x \cdot 1 + 1^2\bigr)$

E, infine, non ci resta che calcolare le operazioni risultanti:

$(2x)^3-1^3 = (2x-1)(4x^2+2x + 1\bigr)$

Sebbene sembrino concetti simili, la differenza dei cubi non deve essere confusa con un binomio cubico, poiché quest’ultimo è un’identità diversa (e più importante). Ti lasciamo questo link in modo che tu possa vedere cos’è la formula del binomio al cubo e quali sono le differenze tra queste due notevoli identità.

Problemi di differenza del cubo risolti

Per farti comprendere appieno come risolvere la differenza di cubi, abbiamo preparato diversi esercizi risolvibili passo dopo passo. Non dimenticare che puoi farci qualsiasi domanda nella sezione commenti (sotto).⬇⬇

Esercizio 1

Fattorizza la seguente differenza di cubi utilizzando la sua formula:

$x^6-27x^3$

vedi soluzione

L’espressione corrisponde ad una differenza di cubi perché le radici cubiche dei due elementi del polinomio sono esatte:

$\sqrt[3]{x^6} = x^2$

$\sqrt[3]{27x^3} = 3x$

$x^6-27x^3=\bigl(x^2\bigr)^3-(3x)^3$

Pertanto, possiamo utilizzare la formula per la differenza dei cubi perfetti per fattorizzare l’espressione cubica nella moltiplicazione di un binomio per un trinomio:

$a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$

$\bigl(x^2\bigr)^3-(3x)^3 = \left(x^2-3x\right)\left( \left(x^2\right)^2+x^2 \cdot 3x + (3x)^2\right)$

Con cui risolviamo tutte le operazioni e troviamo così il polinomio scomposto:

$\bigl(x^2\bigr)^3-(3x)^3 = \left(x^2-3x\right)\left( x^4+3x^3 + 9x^2\right)$

Esercizio 2

Esprimi ciascun prodotto come differenza di cubi:

$\text{A)} \ (x-5)(x^2+5x+25)$

$\text{B)} \ (2x-7)(4x^2+14x+49)$

$\text{C)} \ (8x-y^2)(64x^2+8xy^2+y^4)$

vedi soluzione

Le espressioni dei 3 esercizi rispettano la formula per la differenza (o sottrazione) dei cubi perfetti, è quindi sufficiente risolvere le moltiplicazioni dei polinomi:

$\text{A)} \ \begin{array}{l}(x-5)(x^2+5x+25) = \\[2ex] = x^3+5x^2+25x-5x^2-25x-125 = \\[2ex] = x^3 -125\end{array}$

$\text{B)} \ \begin{array}{l}(2x-7)(4x^2+14x+49) = \\[2ex] = 8x^3+28x^2+98x-28x^2-98x-343 = \\[2ex] = 8x^3-343\end{array}$

$\text{C)} \ \begin{array}{l}(8x-y^2)(64x^2+8xy^2+y^4) = \\[2ex] =512x^3+64x^2y^2+8xy^4-64x^2y^2-8xy^4-y^6= \\[2ex] = 512x^3-y^6\end{array}$

👉👉👉 Infine, potrebbe interessarti anche sapere come calcolare una sottrazione di quadrati . Questa è un’altra identità notevole simile a quella che abbiamo appena visto (ma è molto più utilizzata). Scopri quali sono le differenze tra queste due straordinarie identità cliccando sul link.

Qual è la differenza tra i cubi?

Differenza nella formula dei cubi

Esempi di differenze tra cubi

Esempio 1

Esempio 2

Problemi di differenza del cubo risolti

Esercizio 1

Esercizio 2

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