Il metodo Eratostene Sieve è un algoritmo matematico utilizzato per trovare tutti i numeri primi inferiori a un dato numero. Questo sistema fu sviluppato dal matematico greco Eratostene oltre 2.000 anni fa.
Un numero primo è un numero naturale maggiore di 1 che ha solo due divisori: 1 e se stesso. Ad esempio, il numero 2 è primo, poiché è divisibile solo per 1 e 2. Il numero 4, invece, non è primo, poiché è divisibile per 1, 2 e 4.
In generale, il metodo del setaccio di Eratostene è un modo efficace per trovare tutti i numeri primi inferiori a un dato numero. Per fare ciò, viene utilizzata una lista di numeri e tutti i multipli dei numeri primi trovati vengono cancellati. Alla fine del processo, i numeri che non sono stati cancellati sono i numeri primi.
Come funziona il setaccio Eratostene?
Il crivello di Eratostene è un concetto potente che può essere utilizzato per trovare molti numeri primi in modo relativamente rapido e semplice . Funziona secondo un principio semplice: qualsiasi multiplo di un numero primo non può essere un numero primo. Ad esempio, poiché 3 è primo, 6, 9, 12, 15 e tutti gli altri multipli di 3 non possono essere numeri primi.
Quando si tenta di identificare i numeri primi tra due numeri interi dati o di cercare nuovi numeri primi, tutti i multipli dei numeri primi potrebbero essere aggiornati prima ancora che la ricerca abbia inizio.
Il setaccio di Eratostene funziona come un filtro, rimuovendo i multipli di tutti i numeri primi precedenti dall’elenco dei numeri in modo da non perdere tempo a testarli.
Per comprendere meglio questo metodo è necessario utilizzare un esempio pratico. Vediamo di seguito come trovare tutti i numeri primi minori di 20 nel modo seguente:
- Scrivi un elenco di numeri da 2 a 20: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20.
- Rimuovi tutti i multipli di 2: 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19.
- Elimina tutti i multipli di 3: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19.
- Ignora tutti i multipli di 5: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19.
- Cancella tutti i multipli di 7: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19.
I numeri non incrociati sono primi: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19.
Esempi pratici per trovare i numeri primi utilizzando il crivello di Eratostene
Rispetto ad altri metodi per trovare i numeri primi, il setaccio Eratostene è veloce e facile da usare . Soprattutto quando i computer non sono disponibili. Per il processo non sono richiesti divisioni, moltiplicazioni o fattori di ricerca.
In entrambi i casi, il crivello elimina rapidamente i numeri che sicuramente non sono primi. Il concetto di questo metodo si basa sul fatto che ogni numero può essere diviso in fattori . Questi fattori possono poi essere divisi, se necessario, fino a quando rimangono solo i fattori primi.
Questa si chiama scomposizione in fattori primi di un numero. Un tale processo indica che tutti i numeri non primi hanno un insieme unico di fattori primi.
In altre parole, qualsiasi numero non primo ha come fattore un numero primo. Una volta identificato un numero primo, tutti i suoi multipli possono essere automaticamente considerati non primi . Il setaccio Eratostene è un metodo per eliminarli. Consideriamo ad esempio i numeri primi compresi tra 1 e 30:
La prima cosa che devi capire è che i numeri primi sono quelli che sono divisi per il numero 1 e se stessi. Ciò premesso, prendiamo l’esempio del crivello di Eratostene:
- Disegna una tabella con i numeri da 1 a 30.
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 6 | 7 | 8 | 9 | dieci |
| undici | 12 | 13 | 14 | quindici |
| 16 | 17 | 18 | 19 | venti |
| ventuno | 22 | 23 | 24 | 25 |
| 26 | 27 | 28 | 29 | 30 |
- Quindi contrassegna il numero 2 come numero primo e rimuovi tutti i multipli di 2 dall’elenco.
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 6 | 7 | 8 | 9 | dieci |
| undici | 12 | 13 | 14 | quindici |
| 16 | 17 | 18 | 19 | venti |
| ventuno | 22 | 23 | 24 | 25 |
| 26 | 27 | 28 | 29 | 30 |
- Successivamente, considera il successivo numero non contrassegnato, che è 3, come un numero primo e cancella tutti i suoi multipli dall’elenco.
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 6 | 7 | 8 | 9 | dieci |
| undici | 12 | 13 | 14 | quindici |
| 16 | 17 | 18 | 19 | venti |
| ventuno | 22 | 23 | 24 | 25 |
| 26 | 27 | 28 | 29 | 30 |
- Quindi rimuovi dalla lista tutti i multipli di 5 senza segnare 5. In questo caso è semplice, devi solo rimuovere i numeri che finiscono con 5 e 0.
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 6 | 7 | 8 | 9 | dieci |
| undici | 12 | 13 | 14 | quindici |
| 16 | 17 | 18 | 19 | venti |
| ventuno | 22 | 23 | 24 | 25 |
| 26 | 27 | 28 | 29 | 30 |
- Infine, il passo successivo è trovare i multipli di 7 che erano già stati eliminati in precedenza cancellando i multipli di 2 e 3 (14 e 21).
Dopo questo processo, abbiamo che i numeri primi compresi tra 2 e 30 sono: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 .
Quali sono le applicazioni del setaccio di Eratostene nella vita di tutti i giorni?
Sebbene possa sembrare che questo algoritmo non abbia molte applicazioni pratiche nella vita di tutti i giorni, in realtà ha diverse applicazioni importanti.
Una delle applicazioni più comuni del crivello di Eratostene è nella crittografia . I numeri primi svolgono un ruolo fondamentale nella sicurezza di molti sistemi di crittografia. Pertanto, il crivello di Eratostene è uno strumento utile per trovare e generare numeri primi.
Un’altra applicazione rilevante del crivello di Eratostene è la fattorizzazione dei numeri. Se vuoi trovare i fattori di un numero grande , puoi usare il crivello di Eratostene per determinare quali numeri primi dividono quel numero. Questo può essere utile per risolvere problemi di matematica o analizzare la struttura di un numero.
Inoltre, il setaccio Eratostene viene utilizzato negli algoritmi di ottimizzazione e nello studio dei set di dati. Ad esempio, può essere utilizzato per trovare modelli o tendenze in grandi set di dati digitali.
In generale, sebbene il crivello di Eratostene sia un algoritmo matematico molto semplice , ha molte applicazioni pratiche nella vita quotidiana.
Come spiegare il setaccio di Eratostene a un bambino?
Anche se questo può sembrare un argomento complesso, può essere facilmente spiegato ai bambini utilizzando esempi e giochi. Ecco alcune idee per spiegare ai bambini il setaccio di Eratostene :
- Inizia spiegando cosa sono i numeri primi
- Aiuta i bambini a capire come viene utilizzato il setaccio di Eratostene per trovare i numeri primi. Un modo per farlo è utilizzare un gioco a eliminazione. Ad esempio, chiedi ai bambini di rimuovere tutti i multipli di 2 da un elenco di numeri da 2 a 30. Quindi potranno rimuovere tutti i multipli di 3 e così via. I numeri non eliminati sono i numeri primi.
- Per rendere il concetto più interessante per i bambini, possono giocare a trovare i numeri primi in diversi contesti. Ad esempio, possono cercare i numeri primi nelle date di nascita dei loro amici o nel numero della casa in cui vivono.
Per rafforzare il concetto, vale la pena che i bambini si esercitino a trovare i numeri primi utilizzando il setaccio di Eratostene in diversi intervalli di numeri. Con queste attività i bambini potranno scoprire in modo divertente il crivello di Eratostene e comprenderne l’importanza nella matematica e nella vita di tutti i giorni.
Storia del metodo del setaccio di Eratostene
Eratostene era un matematico e astronomo greco vissuto nel III secolo a.C. Infatti, è noto per i suoi importanti contributi alla matematica e alle scienze, incluso il metodo Eratostene Sieve.
Questa grande persona visse in un periodo ricco di sperimentazione e curiosità intellettuale. Questa era ellenistica vide la diffusione della scienza e della filosofia greca in tutto il mondo occidentale.
Studiosi e scienziati provenienti da tutto il mondo si sono riuniti in nuove biblioteche e scuole per dibattere, discutere e imparare gli uni dagli altri. Eratostene utilizzò molte di queste idee come base per un gran numero di scoperte matematiche . Una di queste scoperte fu il Setaccio di Eratostene.
Eratostene era il bibliotecario della Biblioteca di Alessandria , una delle istituzioni educative e di ricerca più importanti dell’epoca. Durante il suo periodo come bibliotecario, Eratostene sviluppò il metodo Eratostene Sieve. Questo metodo è uno dei migliori quando è necessario individuare i numeri primi inferiori a un determinato numero.
Da allora la procedura del setaccio di Eratostene è stata utilizzata come strumento fondamentale in matematica. Grazie a ciò è applicabile in campi che vanno dalla crittografia alla ricerca matematica. Sebbene esistano metodi più rapidi per trovare i numeri primi, il metodo Eratostene Sieve rimane un metodo efficace e ampiamente utilizzato .