La regressione lineare è un metodo statistico utilizzato per studiare la relazione tra due variabili continue . L’idea principale della regressione lineare è trovare la linea retta che meglio si adatta ai dati. Inoltre, consente di prevedere il valore di una variabile in base al valore di un’altra.
Questa linea retta è chiamata “regressione” e viene utilizzata per prevedere valori sconosciuti o per comprendere la relazione tra variabili. In sintesi, la regressione lineare è uno strumento per analizzare e modellare la relazione tra due variabili continue.
Perché è importante la regressione lineare?
La regressione lineare è importante perché consente di modellare e analizzare la relazione tra due variabili continue , che può essere utile per prevedere valori futuri e identificare modelli e tendenze nei dati.
Inoltre, la regressione lineare è uno strumento fondamentale in statistica e nella maggior parte dei settori della ricerca scientifica e sociale, tra cui economia, psicologia, medicina, ingegneria e fisica, tra gli altri. Viene utilizzato anche nel processo decisionale aziendale e nell’ottimizzazione dei processi nell’industria e negli affari.
In sintesi, la regressione lineare è uno strumento potente e versatile che consente l’analisi e una migliore comprensione dei dati e delle relazioni tra variabili in varie aree di ricerca e pratica.
Quali sono i tipi di regressione lineare?
Esistono diversi tipi di regressione lineare, alcuni dei quali sono:
regressione lineare semplice
L’analisi di regressione lineare semplice è uno strumento ampiamente utilizzato per studiare l’effetto di una variabile indipendente su una singola variabile dipendente , in cui si considera che esista una relazione lineare tra loro. La semplice equazione di regressione lineare ci consente di stimare i valori della variabile dipendente in base ai valori della variabile indipendente.
La formula di regressione lineare semplice è:
Dove β 0 è il valore della variabile dipendente quando la variabile indipendente è zero. β 1 rappresenta la variazione della variabile dipendente per variazione unitaria della variabile indipendente e ε rappresenta il residuo o errore. Cioè la variabilità dei dati che non può essere spiegata dalla relazione lineare della formula.
Regressione lineare multipla
La regressione lineare multipla viene utilizzata quando esiste più di una variabile indipendente che può influenzare la variabile dipendente studiata.
La formula per la regressione lineare multipla è:
Dove Y rappresenta la variabile dipendente , β 1 , β 2 , β n sono le variabili indipendenti che possono influenzare il valore di Y, la regressione e ε rappresenta il possibile errore esistente. Questa formula ci permette di stimare il valore di Y in base ai valori delle variabili indipendenti.
Qual è la formula di regressione lineare?
La formula di regressione lineare è:
Oro:
y è la variabile dipendente (o risposta) da prevedere
x è la variabile indipendente (o predittore) utilizzata per effettuare la previsione
a è l’intercetta (o il punto in cui la retta di regressione interseca l’asse Y quando x=0)
b è la pendenza della retta di regressione (che indica il tasso di variazione di y per ogni variazione di x)
Per trovare i valori di a e b utilizziamo il metodo dei minimi quadrati che cerca di minimizzare la somma degli errori quadrati tra i valori osservati e i valori previsti dalla retta di regressione.
Ecco le formule:
Oro:
n è il numero totale di set di dati che abbiamo.
x i e y i sono i valori che prendiamo nella somma.
x m e y m sono i valori medi di ciascuna variabile.
Come applicare il metodo di regressione lineare?
Il metodo di regressione lineare può essere applicato seguendo i passaggi seguenti:
- Raccogliere i dati : La prima cosa da fare è raccogliere i dati che ti interessano. Ad esempio, se vuoi studiare la relazione tra stipendio ed età di un gruppo di persone, devi raccogliere informazioni sullo stipendio e sull’età di ciascuna di esse.
- Tracciare i dati – Successivamente, è necessario tracciare i dati su un piano cartesiano, dove la variabile indipendente (in questo caso, l’età) è posizionata sull’asse orizzontale e la variabile dipendente (stipendio) è posizionata sull’asse verticale.
- Determinare la linea di regressione : è necessario determinare la linea di regressione che meglio si adatta ai dati. Questa linea è ottenuta dalla formula di regressione lineare, che viene calcolata utilizzando i dati statistici del campione .
- Valutare la bontà dell’adattamento : è importante valutare quanto bene la linea di regressione si adatta ai dati. Questo può essere fatto utilizzando misurazioni statistiche.
- Fare previsioni – Infine, è possibile fare previsioni utilizzando la retta di regressione risultante. Ad esempio, se desideri prevedere lo stipendio di una persona di 30 anni, utilizzeresti la formula di regressione lineare e vi sostituiresti il valore dell’età.
È importante notare che questi passaggi possono variare leggermente a seconda del tipo di regressione lineare utilizzata e del software statistico utilizzato.
A cosa serve la regressione lineare?
La regressione lineare viene utilizzata quando si desidera analizzare la relazione tra due variabili , in cui una variabile può influenzare il valore di un’altra variabile. Pertanto, la regressione lineare può essere utilizzata per comprendere come una variabile indipendente influisce su una variabile dipendente e per prevedere il valore della variabile dipendente in base alla variabile indipendente.
È importante notare che la regressione lineare presuppone che la relazione tra le due variabili sia lineare , il che significa che la variazione della variabile dipendente è proporzionale alla variazione della variabile indipendente.
Pertanto, la regressione lineare dovrebbe essere utilizzata quando si sospetta una relazione lineare tra le due variabili. Se questa condizione non viene soddisfatta, potrebbe essere più appropriato utilizzare altri modelli di regressione non lineare o metodi statistici diversi.
Quali sono le applicazioni della regressione lineare?
La regressione lineare viene utilizzata in un’ampia varietà di applicazioni in campi quali statistica, economia, ingegneria, scienze sociali, biologia, tra gli altri. Ecco alcune delle applicazioni più comuni della regressione lineare:
- Analisi delle tendenze : per analizzare le tendenze nei dati storici e prevedere le tendenze future.
- Previsione – Prevedere il valore futuro di una variabile sulla base dei valori passati di una o più variabili.
- Ricerche di mercato : studio del rapporto tra la domanda di un prodotto e il suo prezzo.
- Analisi finanziaria : studio della relazione tra ricavi e spese di un’azienda e previsione dei risultati finanziari futuri.
- Studi epidemiologici : studiano la relazione tra esposizione ad un fattore di rischio e probabilità di sviluppare una malattia.
- Scienze sociali : studio della relazione tra due o più variabili in campi come la psicologia, la sociologia e le scienze politiche.
- Ricerca operativa : la regressione lineare viene utilizzata per modellare e ottimizzare sistemi complessi in campi quali l’ingegneria industriale e la logistica.
- Scienze ambientali – Utilizzato per studiare la relazione tra fattori ambientali ed effetti sugli ecosistemi.
Cosa sono i residui nella regressione lineare?
I residui nella regressione lineare sono la differenza tra i valori osservati della variabile dipendente e i valori previsti dal modello di regressione lineare . In altre parole, è la distanza verticale tra i punti dati effettivi e la linea di regressione.
L’idea alla base dei residui è che se la linea di regressione si adatta bene ai dati, i residui dovrebbero essere piccoli e casuali. Se i residui sono grandi o seguono un certo schema, ciò potrebbe essere un segno che la relazione tra le variabili non è lineare o che il modello di regressione lineare non è adatto ai dati.
I residui vengono utilizzati anche per valutare l’accuratezza del modello di regressione lineare e per identificare valori anomali o punti dati influenti che potrebbero influire sulla qualità del modello.
Posso eseguire una regressione lineare con più di una variabile dipendente?
Nella regressione lineare, la variabile dipendente è sempre una variabile singola. Tuttavia, puoi avere più di una variabile indipendente. In questo caso parleremmo di regressione lineare multipla .
Nella regressione lineare multipla, l’obiettivo è studiare l’effetto di più variabili indipendenti su una singola variabile dipendente.
Come posso interpretare i coefficienti nella regressione lineare?
Nella regressione lineare, i coefficienti rappresentano la pendenza e l’intercetta della retta di regressione . La pendenza indica la variazione della variabile dipendente per variazione unitaria della variabile indipendente, mentre l’intercetta rappresenta il valore della variabile dipendente quando la variabile indipendente è uguale a zero.
Esempi numerici di regressione lineare
Un semplice esempio potrebbe essere il seguente:
Supponiamo di avere i seguenti dati di età e altezza per un gruppo di persone:
| anni di età) | Altezza (cm) |
| 25 | 170 |
| 30 | 175 |
| 35 | 180 |
| 40 | 185 |
| Quattro cinque | 190 |
Vogliamo determinare se esiste una relazione tra l’età e l’altezza di queste persone. Per fare ciò utilizzeremo la regressione lineare.
Per prima cosa possiamo tracciare un grafico statistico con i dati (in questo caso consigliamo di utilizzare un grafico a dispersione):
Possiamo vedere che esiste una chiara tendenza secondo cui all’aumentare dell’età aumenta anche l’altezza. Possiamo confermarlo calcolando la retta di regressione lineare.
Calcolando i coefficienti della retta di regressione lineare con le formule che abbiamo visto in precedenza, otteniamo:
a = 145
b = 1
Pertanto, l’equazione della retta di regressione lineare è:
Altezza = 145 + 1 Età
Possiamo usare questa equazione per prevedere l’altezza di una persona in base alla sua età. Ad esempio, se una persona ha 32 anni, possiamo prevedere che la sua altezza sarà:
Altezza = 145 + 1 32 = 177 cm