Etimologicamente quaternioni o quaternioni deriva dal latino quaterni . In spagnolo la parola si traduce “per quattro”. Tuttavia, la sua interpretazione significa “numero di quattro elementi”.
I quaternioni sono elementi di un campo non permutante inizialmente creato da William Rowan Hamilton. I quaternioni sono definiti come l’estensione dei numeri reali che compongono un numero ipercomplesso. In effetti, sono abbastanza simili ai numeri complessi .
Cioè, i quaternioni si verificano a causa dell’amplificazione causata analogicamente. D’altra parte, i numeri complessi sono prodotti come estensione dei numeri reali mediante la somma dell’unità immaginaria i , quindi i al quadrato è uguale a -1. Nel primo caso, le unità immaginarie k , i e j vengono aggiunte ai numeri reali.
Pertanto, rispetto ai quaternioni, abbiamo che: i 2 = j 2 = k 2 = ijk = -1. Questa rappresentazione corrisponde a quelle sistemate nella tabella di Cayley . A questo punto vale la pena ricordare che i , j , k e 1 sono i quattro pilastri fondamentali dei quaternioni.
| × | 1 | Ehi | J | Che cosa |
| 1 | 1 | Ehi | J | Che cosa |
| Ehi | Ehi | -1 | Che cosa | -J |
| J | J | -K | -1 | Ehi |
| Che cosa | Che cosa | J | -Ehi | -1 |
William Hamilton inventò i quaternioni nel 1843 come metodo che gli permetteva di moltiplicare e dividere i vettori, ruotarli e allungarli.
Come sono fatti i quaternioni?
I quaternioni formano una bellissima algebra in cui ciascuno dei suoi oggetti contiene 4 variabili . Infatti, a volte vengono chiamati parametri di Eulero e non devono essere confusi con gli angoli di Eulero. Questi oggetti possono essere sommati e moltiplicati come una singola unità in modo simile all’algebra dei numeri regolari.
Tuttavia, c’è una differenza. In termini matematici, la moltiplicazione dei quaternioni non è commutativa.
I quaternioni hanno 4 dimensioni. Ogni quaternione è composto da 4 numeri scalari , una dimensione reale e 3 dimensioni immaginarie. Ognuna di queste dimensioni immaginarie ha un valore unitario della radice quadrata di -1. Si tratta però di diverse radici quadrate di -1, tutte perpendicolari tra loro, chiamate i , j e k . Pertanto, un quaternione può essere rappresentato come segue:
x = (a, b, c, d) che si scrive x = a + bi + cj + dk
Di conseguenza, a, b, c e d rappresentano numeri reali definiti inequivocabilmente da ciascun quaternione. D’altra parte, i numeri 1, i , j e k sono fondamentali. Se vogliamo rappresentare i quaternioni utilizzando un insieme, possiamo fare quanto segue: Assumendo che IR 4 rappresenti l’insieme, l’espressione è: IR4= {a + bi + cj + dk: a, b, c, d ∈ IR}
Questo set è coerente con lo spazio quadridimensionale reale. Proprio come un insieme di numeri reali corrisponde allo spazio esistente in una dimensione e l’insieme di numeri complessi corrisponde allo spazio in due dimensioni.
Qual è la struttura algebrica dei quaternioni?
Un quaternione illustra un corpo irregolare . Ciò significa che è una struttura algebrica simile a un campo. Tuttavia, non è commutativo nella moltiplicazione. In altre parole, soddisfa tutte le qualità di un corpo, ma il suo risultato non è commutativo.
La moltiplicazione dei quaternioni è associativa. Inoltre, ogni quaternione diverso da zero ha un inverso unico . I quaternioni non costituiscono un’algebra associativa rispetto ai numeri complessi.
Infine, allo stesso modo in cui i numeri complessi e i numeri reali rappresentano le dimensioni vettoriali euclidee degli spazi unitari o doppi, quindi, i quaternioni creano un’area vettoriale euclidea quadridimensionale.
Come vengono rappresentati i quaternioni nelle matrici?
Anche le rappresentazioni di matrici sono caratteristiche dei quaternioni. In questo caso, per la sua espressione vengono applicate matrici matematiche. Ad esempio, se abbiamo il quaternione p = a + bi + cj + dk è possibile rappresentarlo in una matrice complessa 2 x 2 come segue:
Un altro modo per utilizzare le rappresentazioni di matrici nei quaternioni è utilizzare matrici reali 4 x 4 . Inoltre, utilizzando le matrici per rappresentare i quaternioni, è possibile esprimerli come prodotto interno di due vettori. Pertanto, un componente sarebbe: = (a1, a2, a3, a4) e l’altro {1, i, j, k }.
In questo caso l’elemento a 1 che genera la componente reale viene scritto separatamente. Inoltre per il prodotto scalare si prendono in considerazione solo le tre basi i, j, k :
x = (a1, a) = (a1, a2, a3, a4)
Quali operazioni di base si possono fare con i quaternioni?
Per sommare ed ottenere un prodotto tra un quaternione e l’altro si applica l’aritmetica dei numeri complessi. Funziona come nel caso del precedente set IR 4 . Vale a dire che detto insieme più il resto delle operazioni compensa tutte le qualità di un corpo. L’unica rilevanza in questo caso è che il prodotto non commuta.
In caso di aggiunta, viene effettuata termine per termine. In ogni caso, funziona allo stesso modo dei numeri complessi. Questo è da dire:
(a1 + b1i + c1j + d1k) + (a2 + b2i + c2j + d2k) = (a1 + a2) + (b1 + b2)i + (c1 + c2)j + (d1 + d2)k.
Per il prodotto si applica da componente a componente . In base a ciò, appare così:
ab = (a1b1 – a2b2 – a3b3 – a4b4) + (a1b2 + a2b1 + a3b4 – a4b3)i + (a1b3 – a2b4 + a3b1 – a4b2)j + (a1b4 + a2b3 – a3b2 + a4b3)k
Come abbiamo già sottolineato in precedenza, il prodotto dei quaternioni non è mai commutativo. Al contrario, è sempre associativo . Le operazioni elaborate in precedenza possono essere effettuate sostituendo le rappresentazioni.
Quali sono le applicazioni dei quaternioni?
Un quaternione va ben oltre un’indagine matematica. Attualmente hanno varie applicazioni. Innanzitutto, vengono utilizzati per verificare le risposte nella teoria dei numeri . Un esempio di ciò è il teorema di Lagrange che afferma che qualsiasi numero naturale è espresso come la somma di 4 quadrati perfetti.
D’altra parte, ha applicazioni nel campo della fisica. I quaternioni sono molto utili per la meccanica quantistica, l’elettromagnetismo e molto altro.