Magic Squares è un puzzle game matematico che allena le nostre capacità di calcolo in modo divertente ed emozionante. Ecco perché è una delle migliori risorse per insegnare la matematica ai giovani studenti.
Cos’è un array magico e come viene risolto?
Un quadrato magico è una sorta di tabella o matrice composta da diverse caselle in cui sono scritti i numeri interi . Ma in nessun caso possono essere installati; occorre rispettare una serie di regole:
- Tutte le somme magiche (somme di tutti i valori di qualsiasi linea orizzontale, verticale o diagonale) devono sempre dare il valore equivalente alla costante magica (è un valore singolo).
- Nessun numero può essere ripetuto due volte.
- Puoi utilizzare solo numeri consecutivi (ad esempio da 1 a 9) o numeri che seguono una determinata serie, ad esempio: numeri dispari, multipli di 5, tra gli altri.
Inoltre, è importante sottolineare che possiamo effettuare diverse classificazioni dei quadrati a seconda della loro struttura. Il primo dipende dal grado del quadrato , che equivale al numero di celle presenti in una riga o colonna. E il secondo è in base al tipo di grado della tabella ( numeri pari o numeri dispari). Da queste distinzioni possiamo organizzare tutti i quadrati in diverse categorie, anche se ne parleremo in dettaglio più avanti.
Come risolvere i quadrati magici?
Per risolvere questo gioco di matematica possiamo utilizzare due metodi diversi: utilizzare la geometria o calcolare la costante magica. Entrambi i procedimenti sono ugualmente validi, anche se uno permette di raggiungere il risultato più velocemente, mentre l’altro richiede più tempo e ragionamento . Successivamente, spiegheremo entrambi i metodi, così potrai scegliere quello che preferisci e adattarti meglio ad ogni situazione.
Qual è la formula dei quadrati magici?
Il primo metodo consiste nel calcolare la costante magica , per la quale dobbiamo utilizzare la seguente formula: n(n 2 +1)/2, dove n è il grado del quadrato. E una volta ottenuto questo valore, non resta che provare le diverse combinazioni di numeri, che ci permettono di uguagliare alla costante le somme magiche dell’intero quadrato. In altre parole, dobbiamo formare combinazioni di numeri che si sommano al valore della costante, in modo che l’intero quadro sia equilibrato.
Come risolvere i quadrati magici usando la geometria?
In secondo luogo, possiamo risolvere i quadrati magici utilizzando la geometria . Anche se va notato che questo metodo è molto semplice e non richiede di esercitare le proprie capacità di calcolo, poiché è puramente metodico. Detto questo, spiegheremo la procedura sia per risolvere i quadrati di ordine pari che quelli di ordine dispari.
Come risolvere i quadrati magici con numeri dispari?
Per risolvere questo primo caso, bisogna aggiungere delle celle alla tabella iniziale in modo da avere una sorta di rombo. Poi dobbiamo scrivere tutti i numeri consecutivi cominciando dalla prima cifra della serie (nel nostro caso 1) e seguiremo le diagonali del rombo . Infine bisogna “raddoppiare” la cifra, quindi i valori delle celle esterne vanno dalla parte opposta. Quindi le celle esterne dell’asse verticale si intersecano, poi la stessa cosa accade con le celle dell’asse orizzontale, qui sotto potete vedere un esempio:
Come risolvere i quadrati magici di ordine pari?
Per risolvere un quadrato magico di ordine pari (quadrati magici che hanno un numero pari di righe e colonne), possiamo ricorrere a un metodo un po’ diverso dal precedente, ma anch’esso basato sulla geometria. Inizieremo scrivendo il primo numero della serie (nel nostro caso 1) nell’angolo in alto a sinistra. Quindi percorreremo le due diagonali principali e scriveremo i valori corrispondenti alla posizione di ciascuna casella.
Una volta scritte le due diagonali principali, dovremo posizionarci nella prima casella vuota partendo dall’angolo in basso a destra (casella 15 nel nostro caso). Lì scriveremo il secondo valore della serie e scriveremo i restanti valori in ordine (dal più piccolo al più grande), completando le celle da destra a sinistra e dal basso verso l’alto . Per renderlo più chiaro puoi orientarti con l’immagine che ti mostriamo di seguito:
Come costruire i quadrati magici?
Per costruire noi stessi i quadrati magici possiamo seguire diversi procedimenti, tra i quali ne evidenziamo due. Va notato che ciascuno verrà utilizzato per creare quadrati di diverso tipo, quindi dovrai scegliere attentamente il metodo a seconda del quadrato che desideri generare:
Metodo siamese
Questo primo metodo è abbastanza semplice e ci aiuta specificamente a costruire quadrati magici dispari di qualsiasi dimensione. La procedura da seguire è molto semplice, in pratica scriveremo il primo numero della serie nella casella centrale della prima riga. Da lì torneremo in ordine nella progressione aritmetica che abbiamo scelto, scrivendo il numero successivo in alto a destra . Tuttavia, se questa posizione è esterna al quadrato disegnato, dovremo spostarci all’ultima riga o colonna. E se alla fine avremo un quadrato pieno, dovremo scendere di un quadrato dall’ultimo quadrato numerico in cui siamo entrati e poi continueremo allo stesso modo.
Di seguito puoi vedere un esempio di 3×3:
Metodo di Strachey per i quadrati magici
Per generare i quadrati magici di ordine 4k + 2 coppie utilizzeremo quest’altro metodo, che è basato sul precedente (il metodo siamese) e che è anche molto semplice. Di seguito puoi vedere i passaggi da seguire e un esempio realizzato di un quadrato magico 6×6:
- Dividere in quadranti più piccoli: La prima cosa che dobbiamo fare è suddividere il tabellone in quadrati più piccoli, ad esempio se abbiamo un tabellone 6×6 dovremo realizzare quattro quadranti uguali di 3×3 quadrati.
- Utilizzare il metodo siamese: quindi assegneremo ad ogni quadrante piccolo un intervallo di numeri, ad esempio se iniziassimo la sequenza con 1, gli intervalli sarebbero: 1-9 (primo), 10-18 (quarto), 19-27 (secondo) e 28-36 (terzo).
Metodo LUX di Conway per i quadrati magici
Utilizzeremo quest’ultimo sistema quando vorremo generare quadrati magici di ordine 4n + 2 , dove n è un numero naturale. Quindi, la procedura che seguiremo per creare quadrati di questo stile è la seguente:
- Creazione della tabella o matrice: inizieremo creando una matrice di grado 2n + 1, dove n è un numero naturale. Con questo potremo progettare il tavolo e avremo in mente il suo grado e poi inizieremo con il disegno.
- Posizionamento delle lettere: una volta costruita la tabella, dovrai scrivere dall’alto verso il basso: n + 1 righe di L, 1 riga di U e n – 1 righe di X. E poi, dovrai scambiare le U al centro con la L in alto.
- Scambia lettere con valori numerici: ora dovremo sostituire le lettere con gruppi di quattro numeri consecutivi. A seconda della lettera, daremo un ordine o un altro ai numeri. Spiegato di seguito:
Inizieremo costruendo una matrice 5×5 , quindi n = 2, poiché: 2n + 1 = 2 · 2 + 1 = 5. Ciò significa che la matrice finirà per avere una dimensione di 10×10, perché come sappiamo As abbiamo già detto, ogni cella che contiene una lettera equivale a un gruppo di quattro numeri, cioè una matrice 2×2. Di seguito puoi vedere l’esempio finito, in cui abbiamo sostituito ogni lettera con un gruppo di quattro numeri nell’ordine mostrato nell’immagine:
Esercizi sui quadrati magici
Successivamente, ti proponiamo alcuni quadrati magici incompleti e dovrai riempirli tu stesso, grazie ai concetti che abbiamo spiegato in questo articolo. Ricorda che puoi utilizzare qualsiasi metodo insegnato. Inoltre, bisogna tenere presente che 1 potrebbe non essere il primo numero della serie, anche se lo inserirà nella dichiarazione. E quando finisci uno degli esercizi, potrai vedere la soluzione sotto l’affermazione.
Quadrato magico 3×3
Costruisci un quadrato magico 3×3 con solo numeri dispari:
Quadrato magico 4×4
Completa il seguente quadrato magico 4×4:
Quadrato magico 5×5
Completa il seguente quadrato magico 5×5:
Quadrato magico 6×6
Completa il seguente quadrato magico 6×6:
