▷ Quali sono le proprietà (o leggi) dei limiti?

Qui troverai tutte le proprietà (o leggi) dei limiti di funzione. Queste proprietà servono a semplificare i calcoli dei limiti, soprattutto quando si tratta di limiti con operazioni di funzioni.

Quali sono le proprietà (o leggi) dei limiti di funzione?

Successivamente, spiegheremo tutte le proprietà dei limiti di funzioni, o anche chiamate leggi dei limiti di funzioni. Inoltre, potrai vedere esercizi risolti per ciascuna proprietà dei limiti in modo da poter comprendere appieno il concetto.

Proprietà del limite di una somma

Il limite della somma di due funzioni in un punto è uguale alla somma dei limiti di ciascuna funzione nello stesso punto separatamente.

$\displaystyle \lim_{x\to a} \Bigl[ f(x)+g(x)\Bigr]=\lim_{x\to a}f(x)+\lim_{x\to a}g(x)$

Supponiamo ad esempio che ci siano due funzioni:

$f(x)=x^2\qquad g(x)=2x+1$

Il limite di ciascuna funzione in x uguale a 1 è:

$\displaystyle \lim_{x\to 1}x^2=1^2=1$

$\displaystyle \lim_{x\to 1}(2x+1)=2\cdot1+1=3$

Pertanto il limite delle due funzioni sommate nello stesso punto dà 4 (1+3=4).

$\begin{array}{l}\displaystyle\lim_{x\to 1} \Bigl[ f(x)+g(x)\Bigr]=\\[3ex]\displaystyle =\lim_{x\to 1}f(x)+\lim_{x\to 1}g(x)=\\[3ex]=1+3=4\end{array}$

La proprietà può essere dimostrata calcolando il limite passo dopo passo:

$\begin{array}{l}\displaystyle\lim_{x\to 1} \Bigl[ f(x)+g(x)\Bigr]=\\[3ex]\displaystyle =\lim_{x\to 1}\Bigl[x^2+2x+1\Bigr]=\\[3ex]=1^2+2\cdot 1+1=4\end{array}$

Proprietà del limite di una sottrazione

Il limite della sottrazione (o differenza) di due funzioni in un punto equivale alla sottrazione del limite di ciascuna funzione in quello stesso punto separatamente.

$\displaystyle \lim_{x\to a} \Bigl[ f(x)-g(x)\Bigr]=\lim_{x\to a}f(x)-\lim_{x\to a}g(x)$

Utilizzando le funzioni dell’esempio precedente:

$f(x)=x^2\qquad g(x)=2x+1$

Il limite di ciascuna funzione nel punto x=3 è:

$\displaystyle \lim_{x\to 3}x^2=3^2=9$

$\displaystyle \lim_{x\to 3}(2x+1)=2\cdot3+1=7$

Quindi, il limite delle due funzioni sottratte a x=3 è la differenza dei valori ottenuti nel passaggio precedente:

$\begin{array}{l}\displaystyle\lim_{x\to 3} \Bigl[ f(x)-g(x)\Bigr]=\\[3ex]\displaystyle =\lim_{x\to 3}f(x)-\lim_{x\to 3}g(x)=\\[3ex]=9-7=2\end{array}$

Possiamo dimostrare questa proprietà dei limiti calcolando la sottrazione di funzioni e risolvendo quindi il limite:

$\begin{array}{l}\displaystyle\lim_{x\to 3} \Bigl[ f(x)-g(x)\Bigr]=\\[3ex]\displaystyle =\lim_{x\to 3}\Bigl[x^2-(2x+1)\Bigr]=\\[3ex]\displaystyle =\lim_{x\to 3}\Bigl[x^2-2x-1\Bigr]\\[3ex]=3^2-2\cdot 3-1=2\end{array}$

Proprietà limite di un prodotto

Il limite del prodotto di due funzioni in un punto è il prodotto del limite di ciascuna funzione in quel punto.

$\displaystyle \lim_{x\to a} \Bigl[ f(x)\cdot g(x)\Bigr]=\lim_{x\to a}f(x)\cdot \lim_{x\to a}g(x)$

Ad esempio, se abbiamo le seguenti due diverse funzioni:

$f(x)=x^3\qquad g(x)=x^2-5$

Il limite di ciascuna funzione in x=2 è:

$\displaystyle \lim_{x\to 2}x^3=2^3=8$

$\displaystyle \lim_{x\to 2}(x^2-5)=2^2-5=-1$

Quindi, per determinare il limite del prodotto delle due funzioni, non è necessario moltiplicarle tra loro, ma è sufficiente moltiplicare il risultato ottenuto da ciascun limite:

$\begin{array}{l}\displaystyle\lim_{x\to 2} \Bigl[ f(x)\cdot g(x)\Bigr]=\\[3ex]\displaystyle =\lim_{x\to 2}f(x)\cdot \lim_{x\to 2}g(x)=\\[3ex]=8\cdot (-1)=-8\end{array}$

Questo ci fa risparmiare tempo e calcoli perché moltiplicare due funzioni può essere difficile.

Proprietà del limite di un quoziente

Il limite del quoziente (o divisione) di due funzioni è uguale al quoziente dei limiti delle funzioni.

$\displaystyle \lim_{x\to a} \left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]=\frac{\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)}{\displaystyle\lim_{x\to a}g(x)}$

Questa condizione è soddisfatta finché il limite della funzione denominatore non è zero.

$\displaystyle \lim_{x\to a}g(x)\neq 0$

Risolveremo un esempio di questa proprietà (o legge) dei limiti. Consideriamo le funzioni f(x) e g(x):

$f(x)=5x-1\qquad g(x)=3^x$

Per prima cosa calcoliamo il limite di ciascuna funzione in x=0:

$\displaystyle \lim_{x\to 0}(5x-1)=5\cdot 0-1=-1$

$\displaystyle \lim_{x\to 0}3^x=3^0=1$

Pertanto il limite della divisione delle due funzioni in x=0 si trova facilmente:

$\begin{array}{l}\displaystyle\lim_{x\to 0} \left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]=\frac{\displaystyle\lim_{x\to 0}f(x)}{\displaystyle\lim_{x\to 0}g(x)}=\displaystyle\frac{-1}{1}=-1\end{array}$

In questo caso possiamo applicare questa proprietà per risolvere il limite perché il limite di g(x) è diverso da zero.

Proprietà del limite di una costante

Il limite di una funzione costante risulta sempre nella costante stessa, indipendentemente dal punto in cui viene calcolato il limite.

$\displaystyle \lim_{x\to a} k=k$

Questa proprietà è molto semplice da verificare, ad esempio se abbiamo la seguente funzione costante:

$f(x)=5$

Logicamente, il limite della funzione costante in ogni punto è 5:

$\displaystyle \lim_{x\to 0}5=5\qquad\qquad\lim_{x\to 3}5=5$

$\displaystyle \lim_{x\to -2}5=5\qquad\qquad\lim_{x\to 7}5=5$

Proprietà del limite di un multiplo costante

Dalle proprietà del limite di un prodotto e del limite di una costante si può dedurre la seguente proprietà:

Il limite di una funzione moltiplicato per una costante è uguale al prodotto di detta costante e del limite della funzione.

$\displaystyle \lim_{x\to a}\Bigl[ k\cdot f(x)\Bigr]=k\cdot\lim_{x\to a}f(x)$

Nota come semplifichiamo il calcolo del seguente limite utilizzando questa proprietà:

$\begin{array}{l}\displaystyle \lim_{x\to 4} (2x^2-12x+10)=\\[3ex]\displaystyle =\lim_{x\to 4}\Bigl[2\cdot(x^2-6x+5)\Bigr]=\\[3ex]=\displaystyle 2\cdot\lim_{x\to 4}(x^2-6x+5)=\\[3ex]=2\cdot (4^2-6\cdot4+5)=\\[3ex]=2\cdot (-3)=-6\end{array}$

Proprietà del limite di una potenza

Il limite di qualsiasi funzione elevato a un esponente equivale a calcolare il limite della funzione e quindi elevare il risultato del limite a quell’esponente.

$\displaystyle \lim_{x\to a}\Bigl[f(x)^k\Bigr]=\left[\lim_{x\to a}f(x)\right]^k$

Ad esempio, il limite di una funzione lineare è:

$\displaystyle\lim_{x\to 6}x=6$

Ebbene, il limite della funzione quadratica può essere calcolato trovando il limite della funzione lineare e quindi elevando al quadrato il risultato:

$\displaystyle\lim_{x\to 6}\Bigl[x^2\Bigr]=\left[\lim_{x\to 6}x\right]^2=\bigl[6\bigr]^2=36$

Proprietà del limite di una funzione esponenziale

Il limite di una funzione esponenziale è uguale alla costante della funzione elevata al limite dell’espressione algebrica della funzione.

$\displaystyle\lim_{x\to a}\Bigl[k^{g(x)}\Bigr]=k^{^{\displaystyle\lim_{x\to a}g(x)}}$

Calcoleremo quindi il limite di una funzione esponenziale in due modi possibili per verificare questa proprietà:

$\displaystyle\lim_{x\to 1}5^{2x}=5^{2\cdot 1}=25$

$\displaystyle\lim_{x\to 1}5^{2x}=5^{^{\displaystyle\lim_{x\to 1}2x}}=5^{2\cdot 1}=25$

Proprietà del limite di una potenza di funzioni

Il limite di una funzione elevato a un’altra funzione è il limite della prima funzione elevato al limite della seconda funzione.

$\displaystyle \lim_{x\to a}\Bigl[f(x)^{g(x)}\Bigr]=\left[\lim_{x\to a}f(x)\right]^{\displaystyle\lim_{x\to a}g(x)}$

Ad esempio, determineremo il seguente limite applicando questa legge:

$\begin{array}{l}\displaystyle\lim_{x\to 2}\Bigl[(x^2-4x)^{4x-5}\Bigr]=\\[3ex]\displaystyle =\left[\lim_{x\to 2}(x^2-4x)\right]^{\displaystyle\lim_{x\to 2}(4x-5)}=\\[3ex]=\displaystyle (2^2-4\cdot 2)^{4\cdot 2-5}=\\[3ex]=(-4)^3=-64\end{array}$

Proprietà del limite di una funzione irrazionale

Il limite di una radice (o radicale) è uguale alla radice del limite.

$\displaystyle\lim_{x\to a}\sqrt[n]{f(x)}=\sqrt[n]{\lim_{x\to a}f(x)}$

Per utilizzare questa proprietà è necessario tenere presente che se l’indice radice è pari, il limite della funzione deve essere maggiore o uguale a 0:

$\text{si } n \text{ es par} \ \longrightarrow \ \displaystyle\lim_{x\to a}f(x)\ge 0$

Nota come è stato calcolato il seguente limite applicando questa formula:

$\displaystyle\lim_{x\to 4}\sqrt[3]{\frac{x^2}{2}}=\sqrt[3]{\lim_{x\to 4}\frac{x^2}{2}}=\sqrt[3]{\frac{4^2}{2}}=\sqrt[3]{8}=2$

Proprietà del limite di una funzione logaritmica

Il limite di un logaritmo equivale alla stessa base logaritmica del limite.

$\displaystyle\lim_{x\to a}\Bigl[\log_k f(x)\Bigr]=\log_k \left[\lim_{x\to a}f(x)\right]$

Guarda la risoluzione del seguente limite in cui applichiamo questa proprietà:

$\begin{array}{l}\displaystyle\lim_{x\to -4}\Bigl[\log_3 (x^2-2x+3)\Bigr]=\\[3ex]=\displaystyle\log_3 \left[\lim_{x\to -4}(x^2-2x+3)\right]=\\[4ex]=\displaystyle\log_3\bigl[(-4)^2-2\cdot (-4)+3\bigr]=\\[3ex]=\displaystyle\log_3 27=3\end{array}$

Proprietà (o leggi) dei limiti