Problemi di ottimizzazione

Qui spieghiamo come i problemi di ottimizzazione delle funzioni vengono risolti in più fasi. Inoltre, potrai esercitarti con esercizi risolti su problemi di ottimizzazione.

Cosa sono i problemi di ottimizzazione?

I problemi di ottimizzazione sono problemi in cui bisogna trovare il massimo o il minimo di una funzione. Ad esempio, un problema di ottimizzazione comporterebbe il calcolo del massimo di una funzione che definisce i profitti di un’azienda.

Come risolvere i problemi di ottimizzazione

Passaggi per risolvere i problemi di ottimizzazione delle funzioni:

  1. Imposta la funzione che deve essere ottimizzata.
  2. Derivare la funzione da ottimizzare.
  3. Trovare i punti critici della funzione da ottimizzare. Per fare ciò, è necessario impostare la derivata della funzione uguale a zero e risolvere l’equazione risultante.
  4. Studiare la monotonia della funzione e determinare il massimo o il minimo della funzione.

Esempio di problema di ottimizzazione

Considerando la teoria dei problemi di ottimizzazione, risolveremo passo dopo passo un problema di questo tipo in modo che tu possa vedere come vengono svolti.

  • Tra tutti i triangoli rettangoli i cui cateti misurano complessivamente 10 cm, calcola le dimensioni di quello con la superficie massima.

Per risolvere il problema chiameremo un ramo del triangolo x e l’altro ramo y :

problema di ottimizzazione del triangolo

Passaggio 1: impostare la funzione da ottimizzare.

Vogliamo che l’area del triangolo sia massima e la formula per l’area di un triangolo è:

A = \cfrac{b \cdot h}{2}

Nel nostro caso la base del triangolo è x e la sua altezza è y . Ancora:

A = \cfrac{x \cdot y}{2}

Abbiamo già la funzione da ottimizzare, ma dipende da due variabili mentre può dipendere solo da una. Tuttavia, la dichiarazione ci dice che le due gambe devono avere una lunghezza totale di 10 cm. Ancora:

x+ y = 10

Risolviamo y da questa equazione:

y = 10 -x

E sostituiamo l’espressione nella funzione:

A = \cfrac{x \cdot y}{2} \ \xrightarrow{ y \  = \ 10 -x } \ A = \cfrac{x(10-x)}{2}

A(x) = \cfrac{10x-x^2}{2}

Ora abbiamo la funzione di ottimizzazione pianificata e dipende solo da una variabile, quindi possiamo passare al passaggio successivo.

Passaggio 2: calcolare la derivata della funzione da ottimizzare.

È una funzione razionale, quindi applichiamo la formula della derivata della divisione per ricavarla:

A(x) = \cfrac{10x-x^2}{2} \ \longrightarrow \ A'(x) = \cfrac{(10-2x) \cdot 2 - (10x-x^2) \cdot 0}{2^2}

A'(x) = \cfrac{20-4x}{4}

Passaggio 3: trovare i punti critici.

Per trovare i punti critici della funzione, dobbiamo porre la derivata uguale a zero e risolvere l’equazione risultante:

A'(x) = 0

\cfrac{20-4x}{4} =0

Il 4 divide l’intero lato sinistro, quindi possiamo moltiplicarlo moltiplicando l’intero lato destro:

20-4x=0 \cdot 4

20-4x=0

-4x=-20

x=\cfrac{-20}{-4}

x=5

Passaggio 4: studiare la monotonia della funzione e determinare il massimo o il minimo della funzione.

Per studiare la monotonia della funzione rappresentiamo il punto critico che troviamo a destra:

E ora valutiamo il segno della derivata in ciascun intervallo per scoprire se la funzione è crescente o decrescente. Per fare ciò, prendiamo un punto in ogni intervallo (mai il punto critico) e guardiamo quale segno ha la derivata in quel punto:

A'(x) = \cfrac{20-4x}{4}

A'(0) = \cfrac{20-4\cdot0}{4} = \cfrac{20}{4} = 5  \  \rightarrow \ \bm{+}

A'(6) = \cfrac{20-4\cdot6}{4} = \cfrac{20-24}{4} = \cfrac{-4}{4} = -1   \  \rightarrow \ \bm{-}

Se la derivata è positiva significa che la funzione è crescente, se la derivata è negativa significa che la funzione è decrescente. Pertanto gli intervalli per aumentare e diminuire la funzione sono:

Crescita:

\bm{(-\infty, 5)}

Diminuire:

\bm{(5,+\infty)}

A x=5 la funzione passa da crescente a decrescente, quindi x=5 è un massimo relativo della funzione da ottimizzare .

Pertanto x=5 è il valore del ramo del triangolo che ha l’area massima. Basta calcolare il valore dell’altra gamba:

y = 10 -x \ \xrightarrow{x \ = \ 5} \ y = 10-5= \bm{5}

In conclusione i valori che massimizzano l’area massima del triangolo sono:

\bm{x=5} \ \mathbf{cm}

\bm{y=5} \ \mathbf{cm}

Problemi di ottimizzazione risolti

Problema 1

La medicina viene somministrata a una persona malata e

t

qualche ora dopo, la concentrazione ematica del principio attivo è data dalla funzione

c(t) = te^{−t/2}

milligrammi per millilitro. Determinare il valore massimo di

c(t)

e indica quando tale valore viene raggiunto.

Problema 2

Un negozio spera di vendere 40 scooter elettrici al prezzo di 1.000 euro ciascuno. Ma secondo una ricerca di mercato, per ogni riduzione di 50 euro sul prezzo dello scooter, ci sarà un aumento delle vendite dei 10 scooter più venduti.

Per prima cosa scrivere la funzione di ricavo del negozio in base al numero di volte in cui il prezzo originale dello scooter, pari a 1.000 $, viene ridotto di 50 $. Successivamente, determina il prezzo dello scooter per ottenere il massimo profitto e le entrate guadagnate a quel prezzo.

Problema 3

La funzione di costo (in migliaia di euro) di un’azienda può essere determinata utilizzando la seguente espressione:

f(x)=40-6x+x^2, \quad x \ge  0

Oro

x

rappresenta le migliaia di unità prodotte di un dato articolo.

Determinare quanto deve essere prodotto affinché il costo sia minimo, quale sarebbe tale costo e quale sarebbe il costo se nessuno di questi articoli fosse prodotto.

Problema 4

Vogliamo costruire una cornice rettangolare in legno che delimiti un’area di 2 m 2 . Sappiamo che il prezzo del legno è di 7,5 €/m per i lati orizzontali e di 12,5 €/m per i lati verticali. Determinare le dimensioni che deve avere il rettangolo affinché il costo totale della cornice sia il minimo possibile e che detto costo sia minimo.

Problema 5

La porta di una cattedrale è formata da un arco semicirconferenziale sorretto da due colonne, come mostrato nella figura seguente:

problemi di ottimizzazione della geometria

Se il perimetro della porta è di 20 m determinare le misure

x

E

y

che massimizza la superficie dell’intera porta.

Problema 6

Vogliamo costruire un serbatoio a forma di cilindro con una superficie di 54 cm 2 . Determina il raggio della base e l’altezza del cilindro in modo che il volume sia massimo.

Lascia un commento

Il tuo indirizzo email non sarà pubblicato. I campi obbligatori sono contrassegnati *