In questa pagina troverai tutte le possibili posizioni relative di due piani (piani asciutti, paralleli o coincidenti). Scoprirai anche come viene calcolata la posizione relativa tra due piani e, inoltre, potrai vedere esempi ed esercitarti con esercizi svolti.
Quali sono le posizioni relative di due piani?
Nella geometria analitica ci sono solo tre possibili posizioni relative tra due piani: piani secanti, piani paralleli e piani coincidenti.
- Piani che si intersecano : due piani si intersecano se si intersecano solo su una linea.
- Piani paralleli : due piani sono paralleli se non si intersecano in nessun punto.
- Piani coincidenti : Due piani sono coincidenti se hanno tutti punti in comune.
piani che si intersecano
piani paralleli
piani coincidenti
Esistono due metodi per trovare la posizione relativa tra due piani: uno dai coefficienti delle equazioni generali dei due piani e l’altro calcolando i ranghi di due matrici. Di seguito è riportata una spiegazione di ciascuna procedura.
Come determinare la posizione relativa di due piani mediante coefficienti
Un modo per sapere qual è la posizione relativa tra due piani è utilizzare i coefficienti delle loro equazioni generali (o implicite).
Consideriamo quindi l’equazione generale (o implicita) di due piani diversi:
La posizione relativa tra i due piani nello spazio tridimensionale (in R3) dipende dalla proporzionalità dei loro coefficienti o parametri:
Pertanto i due piani si intersecheranno quando uno dei coefficienti A, B o C non sarà proporzionale agli altri. I due piani saranno invece paralleli quando solo i termini indipendenti non saranno proporzionali. E infine, i piani coincideranno quando tutti i coefficienti delle due equazioni saranno proporzionali.
Ad esempio, calcoliamo la posizione relativa dei due piani seguenti:
Per sapere di che tipo di aereo si tratta bisogna verificare quali coefficienti sono proporzionali:
I coefficienti A, B e C sono proporzionali tra loro ma non al coefficiente D, quindi i due piani sono paralleli .
Come calcolare la posizione relativa di due aerei in base agli intervalli
Un altro modo per conoscere la posizione relativa di due determinati piani consiste nel calcolare l’intervallo di due matrici formate dai coefficienti di detti piani.
Sia quindi l’equazione generale (o implicita) di due piani diversi:
Chiamiamo A la matrice composta dai coefficienti A, B e C delle due equazioni:
![\displaystyle A =\begin{pmatrix} A&B&C\\[1.1ex] A&B&C\end{pmatrix}](https://mathority.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-37f97413606a79781a34e0664a780b35_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
E sia la matrice A’ la matrice espansa con tutti i coefficienti delle due equazioni:
![\displaystyle A' =\begin{pmatrix} A&B&C&D\\[1.1ex] A&B&C&D'\end{pmatrix}](https://mathority.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-534e5baa11d1331cda0fa48c167a322f_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
La posizione relativa dei due piani può essere conosciuta in base agli intervalli delle due matrici precedenti:
Che le posizioni relative dipendano dai ranghi di queste due matrici può essere dimostrato dal toerem di Rouche-Frobenius (un teorema utilizzato per risolvere sistemi di equazioni lineari). Tuttavia in questa pagina non faremo la dimostrazione perché non è necessario conoscerla e non fornisce nemmeno molto.
Per poter vedere come viene fatto, calcoleremo la posizione relativa tra i seguenti due piani:
La prima cosa da fare è costruire la matrice A e la matrice estesa A’ con i coefficienti delle equazioni dei due piani:
![\displaystyle A =\begin{pmatrix} 2&3&-1\\[1.1ex] 3&-4&0\end{pmatrix} \qquad \qquad A' =\begin{pmatrix} 2&3&-1&1\\[1.1ex] 3&-4&0&2\end{pmatrix}](https://mathority.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c5cfb4d05d76542970c1f7db9ef1b31a_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
E ora dobbiamo calcolare il rango di ciascuna matrice. Troviamo innanzitutto l’estensione della matrice A mediante determinanti:
![\displaystyle \begin{vmatrix} 2&3\\[1.1ex] 3&-4\end{vmatrix} =-17\neq 0](https://mathority.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-2ad5c0df1a15c695be7c0c5c71304cc8_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
La matrice A contiene una sottomatrice 2×2 il cui determinante è diverso da zero, quindi è una matrice di rango 2.
D’altra parte è necessario calcolare anche il rango della matrice A’. E il rango della matrice estesa A’ sarà sempre almeno uguale a quello della matrice A, quindi anche in questo caso specifico il rango della matrice A’ è pari a 2.
Pertanto le estensioni delle due matrici sono equivalenti e di valore 2, quindi i due piani si intersecano .
Risolti problemi della posizione relativa di due aerei
Esercizio 1
Studia la posizione relativa dei due piani seguenti:
Per calcolare la posizione relativa tra i due piani, vedremo se i coefficienti delle equazioni dei due piani sono proporzionali:
Tutti i coefficienti delle equazioni implicite dei due piani sono proporzionali tra loro, si tratta quindi di due piani coincidenti .
Esercizio 2
Determinare la posizione relativa dei due piani seguenti:
Per determinare la posizione relativa tra i due piani, analizzeremo la proporzionalità dei coefficienti delle loro equazioni:
I coefficienti A e C delle equazioni implicite dei due piani sono proporzionali tra loro, ma non al coefficiente B. Sono quindi due piani secanti .
Esercizio 3
Trova la posizione relativa dei seguenti 2 piani:
Per determinare la posizione relativa tra i due piani è necessario verificare se i coefficienti delle equazioni dei due piani sono proporzionali:
I primi tre parametri (A, B e C) delle equazioni dei due piani sono proporzionali tra loro ma non al parametro D, quindi i due piani sono paralleli .
Esercizio 4
Calcolare il valore del parametro
in modo che i due piani seguenti siano paralleli:
Affinché i due piani siano paralleli, i coefficienti A, B e C nelle loro equazioni devono essere proporzionali. In altre parole deve essere verificata la seguente uguaglianza:
In questo caso particolare i coefficienti A e B del primo piano sono la metà di quelli del secondo piano:
Pertanto, dobbiamo risolvere l’equazione di cui sopra. E, per fare questo, incrociamo le due frazioni:
Quindi il valore del parametro
deve essere uguale a 10.