In questa pagina troverai cos’è un polinomio monico ed esempi di polinomi monici. Potrai anche vedere le proprietà di questo tipo di polinomio e come un polinomio diventa monico.
Cos’è un polinomio unitario?
La definizione del polinomio unitario è la seguente:
In matematica, un polinomio unitario è un polinomio con una singola variabile e il cui coefficiente principale è uguale a 1.
I polinomi monici sono anche chiamati polinomi unitari o polinomi norma.
Ad esempio, il seguente polinomio di grado 2 è monico perché è un polinomio invariabile e la sua pendenza è 1:
Ovviamente, per comprendere il concetto di polinomio unitario, è necessario sapere qual è la pendenza di un polinomio. Se non ti è chiaro questo, ti consigliamo di dare un’occhiata alla spiegazione di cosa sono tutte le parti di un polinomio , dove, inoltre, potrai vedere le altre parti (o elementi) che compongono un polinomio corredato da esempi ed esercizi risolti per esercitarsi.
Esempi di polinomi monici
Una volta visto cosa significa per un polinomio essere monico, vediamo alcuni esempi di questo tipo di polinomio:
Esempio di polinomio unitario di secondo grado:
Esempio di polinomio unitario di terzo grado:
Esempio di polinomio unitario di quarto grado:
Come trasformare qualsiasi polinomio in un monico
Ora che conosciamo il significato di polinomio monico, vedremo come convertire un polinomio in monico, o in altre parole, come “monizzare” un polinomio. Questo processo è anche chiamato normalizzazione di un polinomio.
Quindi risolveremo un esercizio passo dopo passo per vedere come si fa:
Per normalizzare il polinomio dobbiamo dividere tutti gli elementi che compongono il polinomio per il coefficiente del termine di grado più alto presente nel polinomio. In questo caso il coefficiente del termine di grado più alto è 4, quindi:
![\begin{aligned} \cfrac{P(x)}{4} & =\cfrac{4x^5}{4}+\cfrac{3x^4}{4}-\cfrac{8x^2}{4}+\cfrac{2x}{4}-\cfrac{12}{4} \\[2ex] & = \cfrac{4}{4}x^5+\cfrac{3}{4}x^4-\cfrac{8}{4}x^2+\cfrac{2}{4}x-\cfrac{12}{4} \end{aligned}](https://mathority.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9cee7fd835cb649bc1659f7ad895f028_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Ora semplifichiamo le frazioni del polinomio:
E in questo modo abbiamo già convertito il polinomio del problema in un polinomio monico.
Proprietà dei polinomi monici
I polinomi monici hanno le seguenti caratteristiche:
- Il prodotto di un polinomio monico per un altro polinomio monico dà sempre un polinomio monico.
Ciò è dovuto alle proprietà di moltiplicazione dei polinomi . La pagina collegata non solo spiega come vengono moltiplicati i polinomi, ma imparerai anche perché ciò accade con le proprietà del prodotto dei polinomi.
- Se un polinomio unitario è composto solo da coefficienti interi, le radici di detto polinomio unitario saranno intere.
Le radici (o zeri) di un polinomio sono numeri che definiscono un polinomio, quindi è un concetto molto importante. Se non sai cosa sono e come si calcolano, puoi visitare la nostra pagina di esercizi risolti per le radici di un polinomio in cui spieghiamo in cosa consistono le radici di un polinomio, come trovarle e puoi anche esercitarsi con esercizi risolti passo dopo passo.
- Sebbene il coefficiente di un polinomio multivariabile sia l’unità, non è mai considerato un polinomio monico proprio perché ha più di una variabile.
