Questa pagina spiega cos’è un polinomio completo e puoi anche vedere esempi di polinomi completi. Inoltre troverai cosa significa che un polinomio è completo e ordinato allo stesso tempo. Infine, analizzeremo le differenze tra polinomi completi e polinomi incompleti.
Cos’è un polinomio completo?
In matematica, la definizione di polinomio completo è:
Un polinomio completo è quel polinomio formato da tutti i termini di tutti i gradi, cioè un polinomio completo ha tutti i termini dal monomio di grado più alto al termine indipendente.
Ad esempio, il seguente polinomio è completo:
Infatti è un polinomio completo perché è composto da tutti i termini dal grado tre al grado zero: il monomio x 3 è del terzo grado, il termine 4x 2 è del secondo grado, l’elemento -5x è del primo grado e, infine, il numero 3 è il grado 0.
D’altra parte, un concetto su cui dovresti essere molto chiaro è quello che viene chiamato termine di grado zero di un polinomio (il numero 3 del polinomio precedente), poiché ha un nome specifico. In caso contrario, ti consiglio di dare un’occhiata a cos’è il termine indipendente di un polinomio , dove viene spiegato in dettaglio.
Esempi di polinomi completi
Una volta che conosciamo il concetto di polinomio completo, vediamo altri esempi di questo tipo di polinomio:
- Esempio di polinomio completo di grado 2:
- Esempio di polinomio completo di grado 4:
- Esempio di polinomio completo di grado 7:
Nonostante si tratti di un concetto totalmente diverso, se sei arrivato fin qui sicuramente ti interesserà anche sapere qual è la scomposizione polinomiale di un numero. In effetti, è qualcosa che non molte persone conoscono ma in realtà è molto utile.
Polinomio completo e ordinato
Ora che sappiamo quando un polinomio è completo, vediamo cosa sono i polinomi completi e ordinati.
Ricorda che un polinomio ordinato è costituito da un polinomio in cui tutti i termini sono ordinati dal grado più alto a quello più basso. Ad esempio, viene ordinato il seguente polinomio:
Pertanto un polinomio completo e ordinato è quel polinomio che soddisfa contemporaneamente le proprietà dei polinomi completi e dei polinomi ordinati. Cioè, un polinomio completo e ordinato è quello che ha tutti i monomi di tutti i gradi e, inoltre, detti monomi sono ordinati in ordine decrescente.
Come puoi vedere, il polinomio dell’esercizio precedente è completo e ordinato poiché contiene tutti i termini dal grado 5 al termine indipendente e, inoltre, tutti questi termini sono in ordine.
Anche se sembrano qualcosa di molto semplice, i polinomi ordinati sono più importanti di quanto sembri. Ad esempio, nella moltiplicazione e divisione dei polinomi, è essenziale che i polinomi siano ben ordinati per poter eseguire correttamente l’operazione. Nel caso non sapessi di cosa sto parlando, ecco due pagine che spiegano come moltiplicare i polinomi e come dividere i polinomi .
Polinomio completo e incompleto
Infine, analizzeremo le differenze tra polinomi completi e polinomi incompleti.
Un polinomio incompleto è un polinomio che NON ha tutti i monomi di tutti i gradi, ma manca un termine.
Ad esempio, il seguente polinomio è incompleto perché non ha un monomio di grado 3 o un termine indipendente:
Potremmo quindi dire che un polinomio incompleto è esattamente l’opposto di un polinomio completo.
Saper distinguere tra un polinomio completo e uno incompleto è molto importante quando si eseguono determinate operazioni. Ad esempio, il procedimento della regola di Ruffini cambia a seconda che il polinomio sia completo o incompleto. Puoi vedere cos’è il metodo Ruffini e come si applica nella nostra pagina Ruffini (esercizi) .
