Polinomio - Mathority

Un monomio è un’espressione algebrica formata da un coefficiente (valore numerico) che moltiplica una variabile per un esponente, ad esempio l’espressione 4x² è un monomio. Quindi da questo concetto matematico arriviamo al polinomio che è un insieme di addizioni e sottrazioni di più monomi. Nell’immagine sopra puoi vedere un esempio della struttura di un polinomio composto da più monomi.

tipi di polinomi

Attraverso l’esponente di un certo monomio possiamo classificare i polinomi in diversi tipi. Possiamo classificare queste espressioni in categorie come: polinomio di primo grado, polinomio di secondo grado, polinomio di terzo grado, ecc. Fondamentalmente bisogna individuare il monomio che ha l’esponente maggiore e che sarà il grado del polinomio . E una volta che lo conosci, puoi classificarlo in uno dei tipi di cui abbiamo appena parlato.

Polinomio di più variabili

Inoltre, esiste anche un altro modo per organizzare i polinomi, ovvero in base al numero di monomi che li compongono. Ad esempio, se abbiamo un binomio , questo equivarrà ad avere un polinomio con due termini, se abbiamo un trinomio , questo equivarrà ad avere un polinomio con tre termini, ecc. Tutti questi modi di catalogare i polinomi hanno infinite sottocategorie. Poiché queste espressioni possono essere composte da qualsiasi monomio che vogliamo e possono anche avere qualsiasi grado.

Caratteristiche e proprietà dei polinomi

Grado assoluto di un polinomio: nella sezione precedente abbiamo discusso la definizione di grado relativo. Ma nel caso di polinomi formati da più variabili, abbiamo il grado assoluto che equivale alla somma massima degli esponenti di tutte le variabili di questo monomio. Ad esempio, nel monomio 5x²y³ il grado assoluto è pari a 2 + 3 = 5.
Polinomio ordinato: definiamo un polinomio ordinato rispetto a una variabile quando gli esponenti di quella variabile sono disposti in ordine ascendente o discendente. Ad esempio, se troviamo questo polinomio P(x) = 3x + 4x³ – x², in questo caso non sarà ordinato. Dovremmo quindi correggerlo e otterremmo questo risultato: P(x) = 4x³ – x² + 3x.
Polinomio completo: Quando troviamo un polinomio che ha monomi con tutti i possibili esponenti (dal grado più alto al termine indipendente), diciamo che è un polinomio completo . Ad esempio, la seguente espressione: P(x) = 3 x² + 2x – 4 è di questo tipo perché non manca alcun esponente tra 2 e 0.
Polinomio omogeneo: è quel polinomio che ha lo stesso grado assoluto in ciascuno dei suoi monomi. Le variabili possono avere valori diversi nell’esponente, ma la somma degli esponenti delle variabili in tutti i monomi deve necessariamente essere la stessa. Ad esempio: P(x) = x²y³z + 3 x ⁴ yz, le due somme danno sei 2 + 3 + 1 = 4 + 1 + 1 = 6.
Polinomi identici: quando troviamo due o più polinomi che condividono i coefficienti degli stessi termini, allora diremo che sono polinomi identici. Qui sotto puoi vedere un esempio tra due polinomi: P(x) = 2x + 27 e Q(x) = 5 (x + 3) – 3 (x – 4), saranno identici perché condividono i coefficienti di ciascun esponente : 2x = 5x – 3x e 27 = 15 + 12.
Polinomio zero: questo polinomio ha solo coefficienti zero (uguali a zero), quindi anche il valore totale del polinomio sarà zero. Il polinomio P(x) = 0x³ + 0x² – 0x – 0 è un chiaro esempio di questo tipo di polinomio, ma non va confuso con Q(x) = 0, perché in questo caso si forma un’equazione e non non significa che tutti i coefficienti di Q(x) siano 0.

Valore numerico di un polinomio

Il valore numerico di un polinomio è il risultato che otterremo sostituendo la variabile di questa espressione con un numero. Dobbiamo semplicemente risolvere questo polinomio come se fosse un’operazione combinata . Successivamente, spiegheremo i tre metodi che puoi utilizzare per ottenere il valore numerico di un’espressione come questa.

Sostituzione diretta: quando ci vengono forniti direttamente i valori corrispondenti a ciascuna delle variabili del polinomio, sostituiamo semplicemente queste variabili con questi numeri. In questo modo, se abbiamo il polinomio P(x) = 2x² – x + 4 e ci viene detto che x = 3, allora il valore numerico del polinomio sarà pari a 2 · 3² – 3 + 4 = 19.
Risoluzione della variabile: applicheremo questo caso quando non ci danno direttamente il valore della variabile, ma ci danno un’equivalenza. Ad esempio, P(2) se P(x – 1) = x³ – 2x + 1 è vero, allora risolveremo prima l’equazione 2 = x – 1 e otterremo x = 3. Infine, dovremo sostituire 3 in x, tale che 3³ – 2 · 3 + 1 = 22.
Cambio di variabile: quando abbiamo un polinomio P(x) = 4x – 2 e vogliamo conoscere questo valore per P(x + 2). Successivamente, dobbiamo cambiare tutte le x nell’espressione in a(x+2). Detto questo, vediamo come sarebbe questo ultimo esempio risolto: P (x + 2) = 4 (x + 2) – 2.

Operazioni con i polinomi

Di seguito spiegheremo come risolvere le quattro operazioni aritmetiche fondamentali con i polinomi , seguendo sempre la gerarchia delle operazioni . In ogni sezione troverai un po’ di teoria che ti permetterà di sapere come procedere in ciascun caso e alcuni esempi pratici.

somma di polinomi

Per sommare i polinomi dobbiamo tenere conto del fatto che essi possono essere raggruppati solo per termini simili , quindi se abbiamo i polinomi P(x) = 3x³ – x² + 2x – 4 e Q(x) = 2x² + 3x – 2. Quindi per ottenere P(x) + Q(x), sommaremo i coefficienti dei due polinomi accompagnati dallo stesso esponente: P(x) + Q(x) = 3x³ + (-x)² + 2x²) + ( 2x + 3x) + (-4 -2) = 3x³ + x² + 5x – 6. In sintesi possiamo dire che abbiamo raggruppato e sommato i coefficienti di ogni termine simile e alla fine abbiamo espresso tutti i termini in un unico polinomio .

sottrazione di polinomi

La sottrazione di polinomi si risolve allo stesso modo dell’addizione, l’unica differenza è ovviamente il simbolo. Quindi raggruppiamo insieme termini simili, sottraiamo e trasformiamo il tutto in un’unica espressione. Di seguito te lo mostreremo utilizzando un esempio: P(x) = 5x³ – 2x² + x – 3 e Q(x) = 3x² + 5x + 4, quindi P(x) – Q(x ) = 5x³ + (-2x² + 3x²) + (x + 5x) + (-3 + 4) = 5x³ + x² + 6x + 1.

moltiplicazione polinomiale

Quando risolvi questo tipo di moltiplicazione, le cose possono diventare un po’ complicate, ma se segui tutti i passaggi di cui ti parleremo, allora starai bene. In questa operazione matematica tutti i monomi funzioneranno con tutti gli altri, questo significa che non moltiplicheremo solo termini simili. Inoltre, non cambieranno solo i coefficienti , ma cambieranno anche gli esponenti . Con questo esempio capirai tutto molto meglio: P(x) = 2x² + 3x – 1 e Q(x) = 2x + 3:

P(x) Q(x) = ( 2x² + 3x –1 ) · ( 2x + 3 ) = 2x² · 2x + 2x² · 3 + 3x · 2x + 3x · 3 + (-1 ) · 2x + (-1 ) · 3 = 4x³ + 6x² + 6x² + 9x – 2x – 3 = 4x³ + 12x² + 7x – 3

In pratica moltiplichiamo i coefficienti di ciascun termine di un polinomio per tutti quelli del secondo quindi applichiamo la proprietà potenza di a ⁿ · a ^m = a ^n+m .

divisione di polinomi

Infine dobbiamo solo spiegare come risolvere la divisione dei polinomi, in pratica dobbiamo applicare la proprietà distributiva della divisione: (a + b + c) ÷ d = (a ÷ d) + (b ÷ d) + (c ÷ d). E applicheremo anche la seguente proprietà di esponenziazione a ⁿ ÷ a ^m = a ^nm . Lo vedremo ora con un semplice esempio: P(x) = 3x³ – 6x² + 9x e Q(x) = 3x.

P(x) ÷ Q(x) = ( 3x³ – 6x² +9x ) ÷ 3x = ( 3x³ ÷ 3x ) + ( 6x² ÷ 3x ) + (9x ÷ 3x ) = x² – 2x + 3

Adesso che hai finito di vedere come risolvere tutte queste operazioni con i polinomi, speriamo che tu sappia come applicarle nella pratica. Ma se pensi che non sia così e vuoi continuare a esercitarti un po’, allora ti consigliamo di dare un’occhiata ad alcuni esercizi risolti in questa pagina . Questi ti aiuteranno a finire di interiorizzare tutti questi concetti matematici.

Fattorizzare i polinomi

Per fattorizzare i polinomi puoi farlo manualmente come spiegato nell’articolo in quest’ultimo link oppure puoi farlo utilizzando una calcolatrice Ruffini . Ti consigliamo di farlo con questa seconda opzione se vuoi farlo velocemente, ma se stai solo imparando a fattorizzare, allora è meglio esercitarti manualmente. Il modo per farlo dovrebbe essere scelto in base alla tua situazione.

Risolvi i polinomi con la calcolatrice scientifica

Oggi sul mercato sono disponibili molte calcolatrici scientifiche diverse. Ma se stai cercando una calcolatrice economica in grado di risolvere i polinomi , ti consigliamo Casio FX-991SPX II . È facile da usare, molto potente e funzionale, il che lo rende perfetto per qualsiasi studente di matematica delle scuole medie e superiori. Di seguito spiegheremo brevemente come le espressioni matematiche di questo stile vengono risolte utilizzando questo o un modello Casio simile.

Bisogna prima inserire il valore numerico delle variabili, scriverlo poi premere “STO” + lettera della variabile , ad esempio x. Quindi, quando tutte le variabili sono definite, devi solo scrivere l’espressione polinomiale così com’è con tutte le variabili e tutti i numeri. E infine, devi premere il tasto uguale, in questo modo otterrai il risultato equivalente al valore numerico del polinomio.