I numeri complessi sono un insieme composto da numeri reali e numeri immaginari . Questi ultimi due insiemi numerici possono essere rappresentati graficamente utilizzando la retta reale e la retta immaginaria. E quando posizioniamo entrambe le linee sullo stesso piano, si forma il noto piano complesso.
Qual è il piano complesso?
Il piano complesso è formato dall’asse reale (asse X), che equivale alla linea reale e, d’altra parte, dall’asse immaginario (asse Y), che concettualizza la linea immaginaria.
Va notato che questo piano include tutti i numeri complessi. Pertanto, non importa quanto piccolo o piccolo sia o in quale forma sia scritto un numero complesso, può essere rappresentato graficamente sulla pianta. Vediamo allora come vengono rappresentati questi numeri nel piano complesso.
Come rappresentare graficamente i numeri complessi sul piano complesso?
Come già sappiamo (o se non lo sai ti consigliamo di leggere il nostro articolo sui numeri complessi ), ci sono tre modi per scrivere un complesso: la forma binomiale, la forma polare e la forma trigonometrica. Ciascuno esprime il valore complesso secondo una struttura diversa, quindi diverso è il metodo da seguire per realizzare le rappresentazioni grafiche.
Successivamente, spieghiamo la procedura da seguire nei tre casi:
Rappresentazione in forma binomiale
Quando abbiamo un numero complesso in notazione binomiale , che è la più comune, dobbiamo guardare la struttura del numero:
dove a è la parte reale e b quella immaginaria.
Sapendo questo, deduciamo che il valore di a è quello che usiamo per l’ascissa (asse reale) e il valore di b è quello che usiamo per il computer (asse immaginario). Con il seguente esempio lo capirai meglio.
Cercheremo di rappresentare il numero: 3 + 2i.
La prima cosa è disegnare il grafico (notando che l’asse orizzontale è quello reale e l’asse verticale è quello immaginario):
Successivamente localizziamo il punto del grafico in coordinate cartesiane (x, y), che deduciamo dal numero complesso. In questo esempio pratico, il nostro punto è (3, 2).
Quindi nel piano complesso verrebbe rappresentato il valore 3+2i.
Rappresentazione in forma polare
Vedremo ora come si rappresenta un numero complesso in forma polare . Per comprendere appieno questo metodo, devi sapere che la notazione polare definisce un numero complesso in base al modulo e all’argomento. Che vengono utilizzate nella rappresentazione grafica come coordinate polari (e non come coordinate cartesiane!).
E la caratteristica principale del sistema di coordinate polari è che la posizione di un punto è descritta mediante un vettore e un angolo (a differenza del metodo precedente). Che corrisponde al modulo e all’argomento dei numeri complessi. Successivamente, ti mostriamo la formula universale per la forma polare di un numero complesso:
Dove |z| è il modulo e α è l’argomento. Queste due variabili vengono tradotte nel piano da:
- Modulo: è la lunghezza che definisce un vettore (tra l’origine e il punto equivalente al nostro numero).
- Argomento: è l’angolo che il vettore forma con l’asse X.
Pertanto il modulo di un numero complesso corrisponde alla lunghezza del vettore che utilizziamo per realizzare il grafico. Mentre l’argomento o l’angolo del numero complesso è l’angolo tra il vettore e l’asse X. Di seguito puoi vedere un diagramma che posiziona tutte le variabili :
Ora proveremo a rappresentare il numero: 3 45 .
Per prima cosa dobbiamo identificare il modulo e l’argomento:
- Modulo: 3.
- Argomento: 45 gradi.
Successivamente dobbiamo trovare i punti sul grafico che hanno modulo uguale a 3, in questo caso funzionerà qualsiasi punto su una circonferenza di raggio 3.
E per finire di determinare qual è il punto esatto, dobbiamo porre la condizione che il vettore generato dal modulo e l’origine debbano formare un angolo di 45 gradi con l’asse X.
E abbiamo già un numero complesso rappresentato in notazione polare.
Rappresentazione in forma trigonometrica
Infine, dobbiamo ancora spiegare come si rappresenta un numero complesso in forma trigonometrica . Questo caso e il precedente sono praticamente uguali, perché la forma polare e la forma trigonometrica utilizzano gli stessi dati per esprimere un numero complesso: il modulo e l’argomento. Ciò cambia solo la struttura dell’espressione:
Dove, |z| è il modulo e α è l’argomento.
Dobbiamo quindi sfruttare lo stesso metodo del caso precedente: utilizzare il modulo come “lunghezza” e l’argomento come angolo. Vedendo il seguente esempio, lo capirai meglio.
Rappresenteremo z = 4 · (cos(45) + i · sin(45)).
La prima cosa è identificare il modulo e l’angolo:
- Modulo: 4.
- Argomento: 45 gradi.
Successivamente, dobbiamo trovare i punti sul grafico che hanno un modulo pari a 4, in questo caso funzionerà qualsiasi punto su una circonferenza di raggio 4.
Infine, localizziamo il punto esatto, richiedendo che l’angolo formato tra il vettore modulo e l’asse X sia di 45 gradi, come ci dice l’argomento.
E quindi rappresentiamo un numero complesso in forma trigonometrica.
Esercizio aereo complesso
Per concludere questa pubblicazione, proponiamo un ultimo esercizio. Ti consigliamo vivamente di risolverlo, perché in questo modo consoliderai le conoscenze spiegate in questo articolo.
Dimostrazione della rappresentazione grafica dei seguenti tre numeri complessi sul piano complesso:
z = 2 – i
w = √2180
p = cos(60) + I peccato(60)
