Operazioni con funzioni: addizione, sottrazione, prodotto, divisione e composizione

In questo articolo spieghiamo quali operazioni si possono eseguire con le funzioni. Potrai vedere la spiegazione e gli esercizi risolti sulle operazioni con funzioni. E infine troverai le proprietà delle operazioni con le funzioni.

Cosa sono le operazioni con funzioni?

Puoi eseguire 5 diversi tipi di operazioni con funzioni: addizione, sottrazione, prodotto, divisione e composizione. Cioè due funzioni possono essere sommate, sottratte, moltiplicate, divise o composte.

Successivamente vedremo come viene eseguita ogni tipologia di operazione con le funzioni e le caratteristiche di ciascuna di esse.

Somma di funzioni

Il valore della somma (o aggiunta) di due funzioni è uguale alla somma del valore di ciascuna funzione. In altre parole, per calcolare l’immagine di una funzione somma è sufficiente sommare le immagini delle funzioni coinvolte nell’operazione.

$(f+g)(x)=f(x)+g(x)$

Inoltre, il dominio della somma di due funzioni è l’intersezione del dominio di ciascuna funzione sommata.

$\text{Dom}(f+g)=\text{Dom}(f)\cap\text{Dom}(g)$

Vediamo come vengono aggiunte due funzioni utilizzando un esempio:

$f(x)=x^2+1 \qquad g(x)=\log(x-1)$

Aggiungiamo prima le due funzioni:

$(f+g)(x)=f(x)+g(x)=x^2+1+\log(x-1)$

E ora troviamo il dominio della funzione somma. Per fare ciò, calcoliamo separatamente il dominio di ciascuna funzione:

$\text{Dom}(f)=\mathbb{R}\qquad\text{Dom}(g)=(1,+\infty)$

➤ Vedi: come calcolare il dominio di una funzione

Quindi il dominio della funzione risultante dall’operazione sarà:

$\text{Dom}(f+g)=\text{Dom}(f)\cap\text{Dom}(g)=(1,+\infty)$

Ogni operazione con funzioni deve essere accompagnata dal suo dominio per definire completamente il risultato.

Sottrazione di funzioni

L’immagine della sottrazione (o differenza) di due funzioni è la sottrazione delle immagini di ciascuna funzione partecipante all’operazione:

$(f-g)(x)=f(x)-g(x)$

Come per la funzione di addizione, il dominio di sottrazione di due funzioni equivale all’intersezione del dominio di ciascuna funzione.

$\text{Dom}(f-g)=\text{Dom}(f)\cap\text{Dom}(g)$

Quindi, se una funzione non è definita per un certo valore della variabile indipendente x, non sarà definita neanche la funzione risultante dalla sottrazione.

Vediamo come si sottraggono due funzioni attraverso un esempio:

$f(x)=\sqrt{x}\qquad g(x)=\cfrac{3}{x-4}$

Per prima cosa sottraiamo le due funzioni:

$(f-g)(x)=f(x)-g(x)=\sqrt{x}-\cfrac{3}{x-4}$

E poi determiniamo il dominio della funzione di sottrazione:

$\text{Dom}(f)=[0,+\infty)\qquad\text{Dom}(g)=\mathbb{R}-\{4\}$

$\text{Dom}(f-g)=\text{Dom}(f)\cap\text{Dom}(g)=[0,4)\cup (4,+\infty)$

Prodotto di punta

Per calcolare il prodotto o (la moltiplicazione) di due funzioni , devi semplicemente moltiplicare le espressioni di ciascuna funzione.

$(f\cdot g)(x)=f(x)\cdot g(x)$

D’altra parte, il dominio della funzione prodotto è l’insieme delle intersezioni del dominio di ciascuna funzione moltiplicata.

$\text{Dom}(f\cdot g)=\text{Dom}(f)\cap\text{Dom}(g)$

Ad esempio, se abbiamo le seguenti due funzioni:

$f(x)=\sqrt[3]{x^2-1}\qquad g(x)=\cfrac{2}{3x+6}$

Per prima cosa eseguiamo il funzionamento del prodotto con le due funzioni:

$(f\cdot g)(x)=f(x)\cdot g(x)=\sqrt[3]{x^2-1}\cdot\cfrac{2}{3x+6}=\cfrac{2\sqrt[3]{x^2-1}}{3x+6}$

E infine troviamo il dominio della funzione risultante dall’operazione:

$\text{Dom}(f)=\mathbb{R}\qquad\text{Dom}(g)=\mathbb{R}-\{-2\}$

$\text{Dom}(f\cdot g)=\text{Dom}(f)\cap\text{Dom}(g)=(-\infty,-2)\cup (-2,+\infty)$

Distribuzione delle funzioni

Il risultato numerico di una divisione (o quoziente) di due funzioni corrisponde alla seguente equazione:

$\displaystyle\left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{f(x)}{g(x)}$

Tuttavia il dominio di divisione di due funzioni è l’insieme delle intersezioni del dominio di ciascuna funzione meno tutte le x che annulla la funzione che funge da divisore, perché altrimenti otterremmo un’indeterminazione.

$\displaystyle\text{Dom}\left(\frac{f}{g}\right)(x)=\text{Dom}(f)\cap\text{Dom}(g)-\{x:g(x)=0\}$

Ad esempio, divideremo le seguenti funzioni:

$f(x)=5^x \qquad g(x)=x-3$

La distribuzione delle funzioni è la seguente:

$\displaystyle\left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{f(x)}{g(x)}=\cfrac{5^x}{x-3}$

D’altra parte, il dominio di ciascuna funzione separatamente è costituito da tutti i numeri reali

$\text{Dom}(f)=\mathbb{R}\qquad\text{Dom}(g)=\mathbb{R}$

Tuttavia, poiché non può esserci uno zero al denominatore di una frazione, nel dominio della funzione risultante dobbiamo rimuovere tutti i valori che annullano il denominatore (x=3).

$\displaystyle\text{Dom}\left(\frac{f}{g}\right)(x)=\text{Dom}(f)\cap\text{Dom}(g)-\{x:g(x)=0\}=\mathbb{R}-\{3\}$

Composizione delle funzioni

La composizione delle funzioni è l’operazione più difficile da risolvere, perché è il concetto più complicato.

La composizione della funzione consiste nell’applicazione successiva di due funzioni. Algebricamente, la composizione di due funzioni è espressa come segue:

$(g\circ f)(x)=g\Bigl(f(x)\Bigr)$

D’altra parte, il dominio della composizione delle funzioni

$(g\circ f)(x)$

è equivalente all’insieme di tutti i valori di x nel dominio della funzione

$f$

ad esempio

$f(x)$

appartiene al dominio della funzione

$g.$

$\text{Dom}(g\circ f)=\{x\in\text{Dom}(f)\ | \ f(x)\in \text{Dom}(g)\}$

Ad esempio, date le seguenti due funzioni:

$f(x)=x^2+1 \qquad g(x)=3x-4$

Trovare la funzione composta

$f$

seguito da

$g$

dobbiamo sostituire l’espressione di

$f(x)$

dove ce n’è uno

$x$

nell’espressione di

$g(x):$

$\begin{aligned}(g\circ f)(x)&=g\Bigl(f(x)\Bigr)\\[2ex]&= g\Bigl(x^2+1\Bigr)\\[2ex]&=3(x^2+1)-4\\[2ex]&=3x^2+3-4\\[2ex]&=3x^2-1\end{aligned}$

In questo caso, il dominio di entrambe le funzioni è costituito interamente da numeri reali, quindi anche il dominio della funzione composta sarà costituito da numeri reali.

$\text{Dom}(g\circ f)=\mathbb{R}$

Come puoi vedere, comporre funzioni non è un’operazione semplice da comprendere. Pertanto, ti consigliamo di esercitarti con i seguenti esercizi di composizione di funzioni:

➤ Vedi: esercizi risolti sulla composizione delle funzioni

Proprietà delle operazioni con funzioni

Di tutte le operazioni con funzioni, la somma e il prodotto sono caratterizzati dalle seguenti proprietà:

Proprietà associativa : l’ordine in cui 3 o più funzioni vengono aggiunte o moltiplicate è irrilevante.

$f(x)+\bigl[g(x)+h(x)\bigr]=\bigl[f(x)+g(x)\bigr]+h(x)$

$f(x)\cdot \bigl[g(x)\cdot h(x)\bigr]=\bigl[f(x)\cdot g(x)\bigr] \cdot h(x)$

Proprietà commutativa : l’ordine di addizione o moltiplicazione di due funzioni non modifica il risultato.

$f(x)+g(x)=g(x)+f(x)$

$f(x)\cdot g(x)=g(x)\cdot f(x)$

Elemento neutro: l’operazione di somma e l’operazione di prodotto hanno funzioni di elemento neutro costanti
$f(x)=0$

E

$f(x)=1$

rispettivamente.