▷ Monotonia di una funzione (aumento e diminuzione)

In questo articolo spieghiamo come conoscere la monotonicità di una funzione, cioè come trovare gli intervalli di aumento e diminuzione di una funzione. Inoltre, puoi esercitarti con esercizi passo passo sulla crescita e il declino di una funzione.

Cos’è la monotonia di una funzione?

Una funzione è monotona su un intervallo se conserva l’ordine dato. Esistono cinque tipi di monotonia:

Funzione monotonicamente crescente: quando il valore della funzione in un punto è sempre uguale o maggiore del valore della funzione in un punto precedente.

$f(x)\leq f(y) \qquad x <li style="margin-bottom:8px"> <span style="color:#101010;font-weight: normal;"><strong>Fonction monotone décroissante :</strong> lorsque la valeur de la fonction en un point est toujours égale ou inférieure à la valeur de la fonction en un point précédent.</span></li> <p>” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”107″ width=”899″ style=”vertical-align: -5px;”></p> <p> f(x)\geq f(y) \qquad x</p> <li style=$ Funzione strettamente monotonicamente crescente: quando il valore della funzione in un punto è sempre maggiore del valore della funzione in un punto precedente.

$f(x)< f(y) \qquad x <li style="margin-bottom:8px"> <span style="color:#101010;font-weight: normal;"><strong>Fonction décroissante strictement monotone :</strong> lorsque la valeur de la fonction en un point est toujours inférieure à la valeur de la fonction en un point précédent.</span></li> <p>” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”107″ width=”840″ style=”vertical-align: -5px;”></p> <p> f(x)>f(y) \qquad x</p> <li style=$ Funzione costante quando il valore della funzione in un punto è sempre uguale al valore della funzione in un punto precedente.

$f(x)=f(y) \qquad x</ul> <p> Notez qu’une fonction constante est à la fois une fonction monotone croissante et une fonction monotone décroissante, car elle répond également à leurs définitions. Ainsi, nous dirons qu’une <strong>fonction est monotone</strong> lorsqu’elle satisfait à l’une des définitions ci-dessus dans tout son domaine. </p> <div class="wp-block-image"> <figure class="aligncenter size-large is-resized"><img decoding="async" loading="lazy" src="http://mathority.org/wp-content/uploads/2023/07/monotonicite-dune-fonction-croissante-et-decroissante.webp" alt="monotonie d'une fonction graphique de croissance et de décroissance" class="wp-image-2431" width="411" height="419" srcset="" sizes="" data-src=""></figure> </div> <p> Comme vous pouvez le voir dans le graphique précédent, la fonction augmente lorsque sa représentation « monte », la fonction diminue lorsqu’elle « descend » et la fonction est constante lorsqu’elle reste la même. En revanche, au point où la fonction passe de croissante à décroissante ou vice versa, on dit que ce point est un extrême relatif :</p> <ul> <li> Si la fonction passe de croissant à décroissant, le point est un <strong>maximum relatif</strong> .</li> <li> Si la fonction passe de décroissante à croissante, le point est un <strong>minimum relatif</strong> . </li> </ul> <h2 class="wp-block-heading"><span class="ez-toc-section" id="como-estudiar-la-monotonia-de-una-funcion"></span> Comment étudier la monotonie d’une fonction<span class="ez-toc-section-end"></span></h2> <p> Pour étudier la monotonie d’une fonction, c’est-à-dire les intervalles d’augmentation et de diminution d’une fonction, nous devons suivre les étapes suivantes : </p> <div style="background-color:#FFF3E0; padding-top: 23px; padding-bottom: 0.5px; padding-right: 30px; padding-left: 10px; border-radius:30px;"> <ol style="color:#64B5F6; font-weight: bold;"> <li style="margin-bottom:16px"> <span style="color:#101010;font-weight: normal;">Trouvez les <strong>points qui n’appartiennent pas au domaine</strong> de la fonction.</span></li> <li style="margin-bottom:16px"> <span style="color:#101010;font-weight: normal;">Calculez la <strong>dérivée de la fonction.</strong></span></li> <li style="margin-bottom:16px"> <span style="color:#101010;font-weight: normal;">Trouvez les <strong>racines de la dérivée</strong> , c’est-à-dire calculez les points qui annulent la dérivée en résolvant <em>f'(x)=0</em> .</span></li> <li style="margin-bottom:16px"> <span style="color:#101010;font-weight: normal;">Faites <strong>des intervalles</strong> avec les racines de la dérivée et les points qui n’appartiennent pas au domaine de la fonction.</span></li> <li style="margin-bottom:16px"> <span style="color:#101010;font-weight: normal;">Calculez la valeur de la dérivée en un point de chaque intervalle.</span></li> <li style="margin-bottom:16px"> <span style="color:#101010;font-weight: normal;"><strong>Le signe de la dérivée</strong> détermine la croissance ou la diminution de la fonction dans cet intervalle :</span> <ul style="color:#64B5F6; font-weight: bold; margin-top:8px; margin-left:8%"> <li style="margin-bottom:8px"> <span style="color:#101010;font-weight: normal;">Si la dérivée de la fonction est positive, la fonction est <strong>croissante</strong> sur cet intervalle.</span></li> <li style="margin-bottom:8px"> <span style="color:#101010;font-weight: normal;">Si la dérivée de la fonction est négative, la fonction est <strong>décroissante</strong> sur cet intervalle.</span> </li> </ul> </li> </ol> </div> <h2 class="wp-block-heading"><span class="ez-toc-section" id="ejemplo-de-como-hallar-la-monotonia-de-una-funcion"></span> Exemple de comment trouver la monotonie d’une fonction<span class="ez-toc-section-end"></span></h2> <p> Après avoir vu la théorie de la monotonie d’une fonction, nous allons résoudre ci-dessous un exemple étape par étape afin que vous compreniez parfaitement comment la monotonie d’une fonction est étudiée.</p> <ul> <li> Analysez la monotonie de la fonction rationnelle suivante :</li> </ul> <p>” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”1031″ width=”2440″ style=”vertical-align: -4px;”></p> <p> f(x)=\cfrac{3}{x^2-4}</p> <p class=$ $La première chose à faire est de calculer le domaine de définition de la fonction. C'est une fonction rationnelle, il faut donc mettre le dénominateur égal à 0 pour voir quels nombres n'appartiennent pas au domaine de la fonction :$

x^2-4=0x^2=4x=\pm 2

$Ainsi, lorsque x vaut +2 ou -2, le dénominateur sera 0. Et, par conséquent, la fonction n'existera pas. Le domaine de la fonction est donc composé de tous les nombres sauf x=±2.$

\text{Dom } f= \mathbb{R}-\{+2, -2 \}

$Une fois que nous avons calculé le domaine de définition de la fonction, nous devons étudier à quels points la dérivée première de la fonction s'annule. Nous calculons donc d'abord la dérivée de la fonction en appliquant la formule de la dérivée d'une division :$

f(x)=\cfrac{3}{x^2-4} \ \longrightarrow \ f'(x)= \cfrac{0\cdot (x^2-4) – 3\cdot 2x}{\left( x^2-4\destra)^2}f'(x)=\cfrac{-6x}{\sinistra(x^2-4\destra)^2}

$Et maintenant, nous fixons la dérivée égale à 0 et résolvons l'équation :$

f'(x)=0\cfrac{-6x}{\sinistra(x^2-4\destra)^2}=0

$Le terme$

\sinistra(x^2-4\destra)^2}

$Il s'agit de diviser tout le côté gauche, nous pouvons donc le multiplier par tout le côté droit :$

-6x=0\cdot \sinistra(x^2-4\destra)^2-6x=0x=\cfrac{0}{-6}x=0

$Une fois que nous avons calculé le domaine de la fonction et$

f'(x)=0,

$Nous représentons tous les points critiques trouvés sur la ligne : <div class="wp-block-image"> <figure class="aligncenter size-large is-resized"><img decoding="async" loading="lazy" src="http://mathority.org/wp-content/uploads/2023/07/droite-numerique-2-0-2.webp" alt="" class="wp-image-2399" width="431" height="84" srcset="" sizes="" data-src=""></figure> </div> <p> Et maintenant nous évaluons le signe de la dérivée dans chaque intervalle, pour savoir si la fonction augmente ou diminue dans chaque intervalle. Pour ce faire, nous prenons un point dans chaque intervalle (jamais les points critiques) et regardons quel signe la dérivée a à ce point : ” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”149″ width=”2048″ style=”vertical-align: -5px;”></p> <p> f'(x)=\cfrac{-6x}{\left(x^2-4\right)^2}f'(-3) = \cfrac{-6\cdot(-3)}{\left( (-3)^2-4\destra)^2} = \cfrac{+18}{+25} = +0,72 \ \rightarrow \ \bm{+}f'(-1) = \cfrac{- 6\ cdot(-1)}{\left((-1)^2-4\right)^2} = \cfrac{+6}{+9} = +0,67 \ \rightarrow \ \bm{+ }f'( 1) = \cfrac{-6\cdot 1}{\left(1^2-4\right)^2} = \cfrac{-6}{+9} = -0,67 \ \rightarrow \ \bm{-} f'(3) = \cfrac{-6\cdot3}{\left(3^2-4\right)^2} = \cfrac{-18}{+25} = – 0,72 \ \rightarrow \ \ bm{ -}</p> <p class=$ $<div class="wp-block-image"> <figure class="aligncenter size-large is-resized"><img decoding="async" loading="lazy" src="http://mathority.org/wp-content/uploads/2023/07/droite-numerique-2-0-2-positif-negatif.webp" alt="" class="wp-image-2398" width="430" height="150" srcset="" sizes="" data-src=""></figure> </div> <p> Enfin, on en déduit les intervalles de diminution et d’augmentation de la fonction. Si la dérivée est positive, cela signifie que la fonction augmente, et si la dérivée est négative, cela signifie que la fonction diminue. Ainsi les intervalles d’augmentation et de diminution de la fonction sont : <strong>Croissance:</strong>” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”171″ width=”2121″ style=”vertical-align: -5px;”></p> <p> \bm{(-\infty, -2)\tazza (-2,0)}</p> <p class=$ $<strong>Diminuer:</strong> ” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”19″ width=”280″ style=”vertical-align: -5px;”></p> <p> \bm{(0,2)\tazza (2,+\infty)}</p> <p class=$ $<div style="background-color:#FFFDE7; padding-top: 23px; padding-bottom: 0.5px; padding-right: 40px; padding-left: 30px; border: 2.5px dashed #FFB74D; border-radius:20px;"> <strong>Remarque :</strong> bien que l’intervalle (-∞,-2) ait le même signe que l’intervalle (-2,0), les intervalles doivent être exprimés avec le signe U :” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”106″ width=”894″ style=”vertical-align: -5px;”></p> <p> (-\infty, -2)\tazza (-2,0)</p> <p class=$ $✅ Et ne l'écrivez jamais comme ceci :$

(-\infty,0)

$❌. Parce que la fonction n'existe pas au point -2 et, par conséquent, ce point ne doit pas être inclus dans l'intervalle. </div> <h2 class="wp-block-heading"><span class="ez-toc-section" id="ejercicios-resueltos-de-la-monotonia-de-una-funcion"></span> Exercices résolus sur la monotonie d’une fonction<span class="ez-toc-section-end"></span></h2> <h3 class="wp-block-heading"> Exercice 1</h3> <p> Étudiez la croissance et la diminution de la fonction polynomiale suivante : ” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”151″ width=”841″ style=”vertical-align: -4px;”></p> <p> \displaystyle f(x)=x^3-6x^2+9x</p> <p class=$ $<div class="wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__E6F9EF" role="button" tabindex="0" aria-expanded="false" data-otfm-spc="#E6F9EF" style="text-align:center"> <div class="otfm-sp__title"> <strong>Voir la solution</strong></div> </div> <p> Il s’agit d’une fonction polynomiale, donc le domaine de la fonction est constitué de nombres réels :” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”54″ width=”1914″ style=”vertical-align: -20px;”></p> <p> \text{Dom } f= \mathbb{R}</p> <p class=$ $Une fois que l'on connaît le domaine de la fonction, il faut étudier à quels points elle est remplie.$

f'(x)=0.

$On dérive donc la fonction du troisième degré :$

f(x)=x^3-6x^2+9x \ \longrightarrow \ f'(x)=3x^2-12x+9

$Et maintenant, nous fixons la dérivée égale à 0 et résolvons l'équation quadratique en utilisant la formule générale :$

f'(x)= 03x^2-12x+9=0\begin{allineato}x &=\cfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \cfrac{-(- 12) \pm \sqrt{(-12)^2-4\cdot 3 \cdot 9}}{2\cdot 3}=\\[2ex]&= \cfrac{+12 \pm \sqrt{144-108 }}{6} =\cfrac{12 \pm 6}{6}=\begin{cases} \cfrac{12 + 6}{6}= 3 \\[4ex] \cfrac{12 – 6}{6} =1 \end{cases} \end{allineato}

$Une fois que nous avons calculé le domaine de la fonction et$

f'(x)=0

$, nous représentons tous les points singuliers trouvés sur la droite numérique : <div class="wp-block-image"> <figure class="aligncenter size-large is-resized"><img decoding="async" loading="lazy" src="http://mathority.org/wp-content/uploads/2023/07/nombre-ligne-1-3.webp" alt="" class="wp-image-2418" width="320" height="84" srcset="" sizes="" data-src=""></figure> </div> <p> Et enfin, on détermine le signe de la dérivée sur chaque intervalle. Pour ce faire, nous prenons un point dans chaque intervalle et regardons quel signe la dérivée a à ce point : ” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”148″ width=”1253″ style=”vertical-align: -4px;”></p> <p> f'(0)=3\cdot 0^2-12\cdot0+9 =+9 \ \rightarrow \ \bm{+}f'(2)=3\cdot2^2-12\cdot2+9 =-3 \ \rightarrow \ \bm{-}f'(4)=3\cdot4^2-12\cdot4+9 =+9 \ \rightarrow \ \bm{+}</p> <p class=$ $<div class="wp-block-image"> <figure class="aligncenter size-large is-resized"><img decoding="async" loading="lazy" src="http://mathority.org/wp-content/uploads/2023/07/ligne-numerique-1-3-positif-negatif-positif.webp" alt="" class="wp-image-2419" width="320" height="152" srcset="" sizes="" data-src=""></figure> </div> <p> La fonction augmentera dans les intervalles où sa dérivée est positive et, inversement, la fonction diminuera dans les intervalles où sa dérivée est négative. Pourtant: <strong>Croissance:</strong>” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”171″ width=”1243″ style=”vertical-align: -5px;”></p> <p> \bm{(-\infty, 1)\tazza (3,+\infty)}</p> <p class=$ $<strong>Diminuer:</strong> ” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”19″ width=”280″ style=”vertical-align: -5px;”></p> <p> \bm{(1,3)}</p> <p class=$ $<div class="wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end"></div> <h3 class="wp-block-heading"> Exercice 2</h3> <p> Étudiez la monotonie de la fonction rationnelle suivante : ” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”60″ width=”582″ style=”vertical-align: -4px;”></p> <p> \displaystyle f(x)=\frac{5}{x^2-9}</p> <p class=$ $<div class="wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__E6F9EF" role="button" tabindex="0" aria-expanded="false" data-otfm-spc="#E6F9EF" style="text-align:center"> <div class="otfm-sp__title"> <strong>Voir la solution</strong></div> </div> <p> Tout d’abord, il faut trouver le domaine de la fonction. Nous fixons donc le dénominateur égal à zéro et résolvons l’équation quadratique résultante : ” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”54″ width=”2169″ style=”vertical-align: -20px;”></p> <p> x^2-9 = 0 x^2 = 9 x = \pm 3</p> <p class=$ $Ainsi, lorsque x est égal à +3 ou -3, le dénominateur sera 0 et la fonction n'existera pas.$

\text{Dom } f= \mathbb{R}-\{+3, -3 \}

$Une fois que nous avons calculé le domaine de définition de la fonction, nous devons étudier en quels points la dérivée est nulle. On dérive donc la fonction :$

f(x)=\cfrac{5}{x^2-9} \ \longrightarrow \ f'(x)= \cfrac{0\cdot (x^2-9) – 5\cdot (2x)}{\ sinistra(x^2-9\destra)^2}f'(x)= \cfrac{-10x}{\sinistra(x^2-9\destra)^2}

$Maintenant, nous fixons la dérivée égale à 0 et résolvons l'équation :$

f'(x)= 0\cfrac{-10x}{\sinistra(x^2-9\destra)^2}=0 -10x=0\cdot \sinistra(x^2-9\destra)^2 – 10x= 0 x= \cfrac{0}{-10} x=0

$Ensuite, on représente tous les points singuliers trouvés sur la droite : <div class="wp-block-image"> <figure class="aligncenter size-large is-resized"><img decoding="async" loading="lazy" src="http://mathority.org/wp-content/uploads/2023/07/ligne-numerique-3-0-3.webp" alt="" class="wp-image-2408" width="420" height="82" srcset="" sizes="" data-src=""></figure> </div> <p> Et maintenant nous évaluons le signe de la dérivée dans chaque intervalle, pour savoir si la fonction augmente ou diminue. Nous prenons donc un point dans chaque intervalle (jamais les points singuliers) et regardons quel signe la dérivée a à ce point : ” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”171″ width=”1823″ style=”vertical-align: -5px;”></p> <p> f'(-4)= \cfrac{-10(-4)}{\sinistra((-4)^2-9\destra)^2}= \cfrac{+40}{+49} =+0, 82 \ \rightarrow \ \bm{+}f'(-1)= \cfrac{-10(-1)}{\left((-1)^2-9\right)^2}= \cfrac{+ 10}{+64} = +0,16 \ \rightarrow \ \bm{+}f'(1)= \cfrac{-10\cdot 1}{\left(1^2-9\right)^2} = \ cfrac{-10}{+64} = -0.16 \ \rightarrow \ \bm{-}f'(4)= \cfrac{-10\cdot 4}{\left(4^2-9\ destra)^2 }= \cfrac{-40}{+7} =-0,82 \ \rightarrow \ \bm{-}</p> <p class=$ $<div class="wp-block-image"> <figure class="aligncenter size-large is-resized"><img decoding="async" loading="lazy" src="http://mathority.org/wp-content/uploads/2023/07/carre-du-binome-d-une-soustraction.jpg" alt="" class="wp-image-2409" width="421" height="149" srcset="" sizes="" data-src=""></figure> </div> <p> Si la dérivée est positive, cela signifie que la fonction augmente, cependant, si la dérivée est négative, cela signifie que la fonction diminue. Par conséquent, les intervalles de croissance et de diminution de la fonction rationnelle sont : <strong>Croissance:</strong>” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”171″ width=”1732″ style=”vertical-align: -5px;”></p> <p> \bm{(-\infty, -3)\tazza (-3,0)}</p> <p class=$ $<strong>Diminuer:</strong> ” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”19″ width=”280″ style=”vertical-align: -5px;”></p> <p> \bm{(0,3)\tazza (3,+\infty)}</p> <p class=$ $<div class="wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end"></div> <h3 class="wp-block-heading"> Exercice 3</h3> <p> Calculez la monotonie de la fonction logarithmique suivante : ” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”60″ width=”582″ style=”vertical-align: -4px;”></p> <p> \displaystyle f(x)=\ln\sinistra(x^2+1\destra)</p> <p class=$ $<div class="wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__E6F9EF" role="button" tabindex="0" aria-expanded="false" data-otfm-spc="#E6F9EF" style="text-align:center"> <div class="otfm-sp__title"> <strong>Voir la solution</strong></div> </div> <p> Nous devons d’abord étudier le domaine de la fonction logarithmique. Étant un logarithme, il faut regarder quand son argument est supérieur à 0, puisqu’il n’existe pas de logarithme naturel d’un nombre négatif ou 0 :” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”55″ width=”2513″ style=”vertical-align: -21px;”></p> <p> x^2+1> 0</p> <p class=$ $Dans ce cas, la fonction quadratique x <sup>2</sup> +1 sera toujours positive, car le carré d’un nombre sera toujours positif. Par conséquent, le domaine de la fonction sera composé uniquement de nombres réels :” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”40″ width=”1172″ style=”vertical-align: -4px;”></p> <p> \text{Dom } f= \mathbb{R}</p> <p class=$ $Une fois que nous avons calculé le domaine de définition de la fonction, nous devons calculer les zéros (ou racines) de la dérivée de la fonction. On calcule donc la dérivée de la fonction :$

f(x)=\ln \bigl(x^2+1 \bigr) \ \longrightarrow \ f'(x)=\cfrac{1}{x^2+1 } \cdot (2x)f'(x) = \cfrac{2x}{x^2+1}

$Maintenant, nous fixons la dérivée égale à 0 et résolvons l'équation :$

f'(x)= 0\cfrac{2x}{x^2+1}=0 2x=0\cdot \left(x^2+1\right) 2x= 0 x= \cfrac{0}{2} x=0

$Une fois que nous avons calculé le domaine de définition de la fonction et les racines de la dérivée première de la fonction, nous représentons tous les points critiques trouvés sur la droite, qui dans ce cas n'est que zéro : <div class="wp-block-image"> <figure class="aligncenter size-large is-resized"><img decoding="async" loading="lazy" src="http://mathority.org/wp-content/uploads/2023/07/nombre-ligne-0.webp" alt="" class="wp-image-2426" width="217" height="84" srcset="" sizes="" data-src=""></figure> </div> <p> On évalue le signe de la dérivée dans chaque intervalle pour savoir si la fonction augmente ou diminue : ” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”151″ width=”1581″ style=”vertical-align: -4px;”></p> <p> f'(-1)= \cfrac{2\cdot(-1)}{(-1)^2+1}= \cfrac{-2}{+2} = -1 \ \rightarrow \ \bm{- }f'(1)= \cfrac{2\cdot1}{1^2+1}= \cfrac{+2}{+2} = +1 \ \rightarrow \ \bm{+}</p> <p class=$ $<div class="wp-block-image"> <figure class="aligncenter size-large is-resized"><img decoding="async" loading="lazy" src="http://mathority.org/wp-content/uploads/2023/07/interpretation-geometrique-du-carre-de-la-difference.jpg" alt="" class="wp-image-2427" width="218" height="155" srcset="" sizes="" data-src=""></figure> </div> <p> Si la dérivée est positive, cela signifie que la fonction augmente, mais si la dérivée est négative, cela signifie que la fonction diminue. En conclusion, les intervalles de croissance et de décroissance de la fonction sont : <strong>Croissance:</strong>” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”171″ width=”1597″ style=”vertical-align: -5px;”></p> <p> \bm{(0,+\infty)}</p> <p class=$ $<strong>Diminuer:</strong> ” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”19″ width=”280″ style=”vertical-align: -5px;”></p> <p> \bm{(-\infty,0)}$</p> <div class=$

Monotonia di una funzione: crescita e decadimento

Cos’è la monotonia di una funzione?

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