Come calcolare la matrice inversa -

In questa pagina imparerai cos’è e come calcolare l’inversa di una matrice con il metodo dei determinanti (o matrice aggiunta) e con il metodo di Gauss. Vedrai anche tutte le proprietà della matrice inversa e troverai anche esempi ed esercizi risolti passo dopo passo per ciascun metodo in modo da comprenderli completamente. Infine, spieghiamo una formula per invertire rapidamente una matrice 2×2 e anche la più grande utilità di questa operazione di matrice: risolvere un sistema di equazioni lineari.

Qual è l’inverso di una matrice?

Essere

$A$

una matrice quadrata. La matrice inversa di

$A$

è scritto

$A^{-1}$

, ed è questa matrice che soddisfa:

$A \cdot A^{-1} = I$

$A^{-1}\cdot A = I$

Oro

$I$

è la matrice Identità.

Quando puoi invertire una matrice e quando no?

Il modo più semplice per determinare l’invertibilità di una matrice è utilizzare il suo determinante:

Se il determinante della matrice in questione è diverso da 0 significa che la matrice è invertibile. In questo caso si dice che è una matrice regolare. Inoltre, ciò implica che la matrice sia di rango massimo.

Se invece il determinante della matrice è uguale a 0, la matrice non può essere invertita. E, in questo caso, diciamo che si tratta di una matrice singolare o degenere.

Principalmente esistono due metodi per invertire qualsiasi matrice: il metodo dei determinanti o matrice aggiunta e il metodo di Gauss. Di seguito hai la spiegazione del primo, ma puoi anche consultare di seguito come invertire una matrice con il metodo di Gauss.

Invertire una matrice utilizzando il metodo del determinante (o utilizzando la matrice adiacente)

Per calcolare l’ inversa di una matrice ,

$\displaystyle A^{-1}$

, deve essere applicata la seguente formula:

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{\vert A \vert } \cdot \Bigl( \text{Adj}(A)\Bigr)^{\bm{t}}$

Oro:

$\displaystyle \begin{vmatrix} A \end{vmatrix}$

è il determinante della matrice

$A$
$\text{Adj}(A)$

è la matrice aggiunta di

$A$
L’espositore
$\bm{t}$

indica la trasposizione della matrice, ovvero la matrice allegata deve essere trasposta.

Commento: alcuni libri utilizzano una formula di matrice inversa leggermente diversa: prima traspongono la matrice A e poi calcolano la sua matrice aggiunta, invece di calcolare prima la matrice aggiunta e poi trasporla. In realtà l’ordine non ha importanza perché il risultato è esattamente lo stesso. Qui ti lasciamo la formula per invertire una matrice modificata nel caso in cui preferisci utilizzare questa:

formula per la matrice inversa con la matrice aggiunta della trasposta

Vedremo poi come trovare l’inversa di una matrice risolvendo un esercizio a titolo di esempio:

Esempio di calcolo della matrice inversa utilizzando il metodo del determinante (o matrice aggiunta):

Calcolare l’inversa della seguente matrice:

$\displaystyle A = \begin{pmatrix} 4 & -2 \\[1.1ex] 3 & -1 \end{pmatrix}$

Per determinare l’inversa della matrice, dobbiamo applicare la seguente formula:

Ma se il determinante della matrice è zero significa che la matrice non è invertibile. La prima cosa da fare quindi è calcolare il determinante della matrice e verificare che sia diverso da 0:

$\displaystyle \lvert A \rvert = \begin{vmatrix} 4 & -2 \\[1.1ex] 3 & -1 \end{vmatrix} = -4- (-6) = 2$

Il determinante non è 0 , quindi la matrice è invertibile .

Pertanto, sostituendo nella formula il valore del determinante, l’inverso della matrice sarà:

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{\vert A \vert } \cdot \Bigl( \text{Adj}(A)\Bigr)^{\bm{t}}$

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{2} \cdot \Bigl( \text{Adj}(A)\Bigr)^{\bm{t}}$

Dobbiamo ora calcolare la matrice sostitutiva di A. Per fare ciò, dobbiamo sostituire ogni elemento della matrice A con il suo sostitutivo.

Ricordatevi che per calcolare il pignoramento

$a_{ij}$

, cioè dell’elemento riga

$i$

e la colonna

$j$

, deve essere applicata la seguente formula:

$\text{Adjunto de } a_{ij} = (-1)^{i+j} \bm{\cdot} \text{Menor complementario de } a_{ij}$

Dove il minore complementare di

$a_{ij}$

è il determinante della matrice eliminando la riga

$i$

e la colonna

$j$

Pertanto i deputati degli elementi della matrice A sono:

$\displaystyle A = \begin{pmatrix} 4 & -2 \\[1.1ex] 3 & -1 \end{pmatrix}$

$\text{Adjunto de 4} =\displaystyle (-1)^{1+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} -1 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-1) = \bm{-1}$

$\text{Adjunto de -2} =\displaystyle (-1)^{1+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 3 \end{vmatrix} = -1 \cdot 3 = \bm{-3}$

$\text{Adjunto de 3} =\displaystyle (-1)^{2+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} -2 \end{vmatrix} = -1 \cdot (-2) = \bm{2}$

$\text{Adjunto de -1} =\displaystyle (-1)^{2+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 4 \end{vmatrix} = 1 \cdot 4 = \bm{4}$

Commento: non confondere il determinante 1×1 con il valore assoluto, perché nel determinante 1×1 il numero non viene convertito in positivo.

Una volta calcolati i deputati, basta sostituire gli elementi di A con i loro deputati per trovare la matrice dei deputati di A :

$\displaystyle \displaystyle \text{Adj}(A) = \begin{pmatrix} -1 & -3 \\[1.1ex] 2 & 4 \end{pmatrix}$

Commento: in certi punti la matrice aggiunta è la trasposta della matrice aggiunta che qui definiamo.

Pertanto, sostituiamo la matrice allegata nella formula della matrice inversa e diventa:

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{2} \cdot \Bigl( \text{Adj}(A)\Bigr)^{\bm{t}}$

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{2} \cdot \begin{pmatrix} -1 & -3 \\[1.1ex] 2 & 4 \end{pmatrix} ^{\bm{t}}$

L’espositore

$\bm{t}$

Questo ci dice che dobbiamo trasporre la matrice . E per trasporre una matrice devi cambiare le sue righe in colonne , vale a dire che la prima riga della matrice diventa la prima colonna della matrice, e la seconda riga diventa la seconda colonna:

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{2} \cdot \begin{pmatrix} -1 & 2 \\[1.1ex] -3 & 4 \end{pmatrix}$

E infine, moltiplichiamo ciascun termine della matrice per

$\cfrac{1}{2} :$

$\displaystyle A^{-1} = \begin{pmatrix} \sfrac{-1}{2} & \sfrac{2}{2} \\[1.1ex] \sfrac{-3}{2} & \sfrac{4}{2} \end{pmatrix}$

esercizio risolto matrice inversa con determinanti 2x2

Esercizi risolti su matrici inverse con il metodo dei determinanti (o della matrice adiacente)

Esercizio 1

Invertire la seguente matrice di dimensione 2×2 utilizzando il metodo della matrice aggiunta:

$\displaystyle A=\begin{pmatrix} 1 & 3 \\[1.1ex] 2 & 7 \end{pmatrix}$

Vedi la soluzione

La formula della matrice inversa è:

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{\vert A \vert } \cdot \Bigl( \text{Adj}(A)\Bigr)^{\bm{t}}$

Per prima cosa calcoliamo il determinante della matrice:

$\displaystyle \begin{vmatrix}A\end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 1 & 3 \\[1.1ex] 2 & 7 \end{vmatrix} = 7-6 = 1$

Il determinante è diverso da 0, quindi la matrice può essere invertita.

Calcoliamo ora la matrice aggiunta di A:

$\text{Adjunto de 1} =\displaystyle (-1)^{1+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 7 \end{vmatrix} = 1 \cdot 7 = \bm{7}$

$\text{Adjunto de 3} =\displaystyle (-1)^{1+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 2\end{vmatrix} = -1 \cdot 2 = \bm{-2}$

$\text{Adjunto de 2} =\displaystyle (-1)^{2+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 3 \end{vmatrix} = -1 \cdot 3 = \bm{-3}$

$\text{Adjunto de 7} =\displaystyle (-1)^{2+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot 1 = \bm{1}$

$\displaystyle \displaystyle \text{Adj}(A) = \begin{pmatrix} 7 & -2 \\[1.1ex] -3 & 1 \end{pmatrix}$

Una volta calcolato il determinante della matrice e il suo aggiunto, sostituiamo i loro valori nella formula:

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{\vert A \vert } \cdot \Bigl( \text{Adj}(A)\Bigr)^{\bm{t}}$

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{1} \cdot \begin{pmatrix} 7 & -2 \\[1.1ex] -3 & 1 \end{pmatrix}^{\bm{t}}$

Trasponiamo la matrice allegata:

$\displaystyle A^{-1} = 1 \cdot \begin{pmatrix} 7 & -3 \\[1.1ex] -2 & 1 \end{pmatrix}$

La matrice inversa di A è quindi:

$\displaystyle \bm{A^{-1} =} \begin{pmatrix} \bm{7} & \bm{-3} \\[1.1ex] \bm{-2} & \bm{1} \end{pmatrix}$

Esercizio 2

Invertire la seguente matrice quadrata utilizzando il metodo del determinante:

$\displaystyle A=\begin{pmatrix} -3 & -2 \\[1.1ex] 5 & 4 \end{pmatrix}$

Vedi la soluzione

La formula della matrice inversa è:

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{\vert A \vert } \cdot \Bigl( \text{Adj}(A)\Bigr)^{\bm{t}}$

Per prima cosa calcoliamo il determinante della matrice:

$\displaystyle \begin{vmatrix}A\end{vmatrix}=\begin{vmatrix} -3 & -2 \\[1.1ex] 5 & 4\end{vmatrix} = -12+10 = -2$

Il determinante è diverso da 0, quindi la matrice può essere invertita.

Calcoliamo ora la matrice aggiunta di A:

$\text{Adjunto de -3} =\displaystyle (-1)^{1+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 4 \end{vmatrix} = 1 \cdot 4 = \bm{4}$

$\text{Adjunto de -2} =\displaystyle (-1)^{1+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 5\end{vmatrix} = -1 \cdot 5 = \bm{-5}$

$\text{Adjunto de 5} =\displaystyle (-1)^{2+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} -2 \end{vmatrix} = -1 \cdot (-2) = \bm{2}$

$\text{Adjunto de 4} =\displaystyle (-1)^{2+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} -3 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-3) = \bm{-3}$

$\displaystyle \displaystyle \text{Adj}(A) = \begin{pmatrix} 4 & -5 \\[1.1ex] 2 & -3 \end{pmatrix}$

Una volta trovato il determinante della matrice e il suo aggiunto, sostituiamo i loro valori nella formula:

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{\vert A \vert } \cdot \Bigl( \text{Adj}(A)\Bigr)^{\bm{t}}$

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{-2} \cdot \begin{pmatrix} 4 & -5 \\[1.1ex] 2 & -3 \end{pmatrix}^{\bm{t}}$

Trasponiamo la matrice allegata:

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{-2} \cdot \begin{pmatrix} 4 & 2 \\[1.1ex] -5 & -3 \end{pmatrix}$

Moltiplichiamo ogni elemento per

$\cfrac{1}{-2} :$

$\displaystyle A^{-1} = \begin{pmatrix} \cfrac{4}{-2} & \cfrac{2}{-2} \\[3ex] \cfrac{-5}{-2} & \cfrac{-3}{-2} \end{pmatrix}$

La matrice inversa di A è quindi:

$\displaystyle \bm{A^{-1} =} \begin{pmatrix} \bm{-2} & \bm{-1} \\[2ex] \cfrac{\bm{5}}{\bm{2}} & \cfrac{\bm{3}}{\bm{2}} \end{pmatrix}$

Esercizio 3

Invertire la seguente matrice di dimensione 3×3 utilizzando il metodo delle matrici aggiunte:

$\displaystyle A=\begin{pmatrix}2&3&-2\\[1.1ex] 1&4&1\\[1.1ex] 2&1&-3\end{pmatrix}$

Vedi la soluzione

La formula della matrice inversa è:

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{\vert A \vert } \cdot \Bigl( \text{Adj}(A)\Bigr)^{\bm{t}}$

Risolviamo innanzitutto il determinante della matrice con la regola di Sarrus:

$\displaystyle \begin{vmatrix}A\end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 2&3&-2\\[1.1ex] 1&4&1\\[1.1ex] 2&1&-3 \end{vmatrix} = -24+6-2+16-2+9 = 3$

Il determinante è diverso da 0, quindi la matrice può essere invertita.

Risolto il determinante troviamo la matrice aggiunta di A:

$\text{Adjunto de 2} = \displaystyle (-1)^{1+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 4&1\\[1.1ex] 1&-3 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-13) = \bm{-13}$

$\text{Adjunto de 3} = \displaystyle (-1)^{1+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix}1&1\\[1.1ex] 2&-3\end{vmatrix} = -1 \cdot (-5) = \bm{5}$

$\text{Adjunto de -2} = \displaystyle (-1)^{1+3} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 1&4\\[1.1ex] 2&1 \end{vmatrix} = 1\cdot (-7) = \bm{-7}$

$\text{Adjunto de 1} = \displaystyle (-1)^{2+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 3&-2 \\[1.1ex] 1&-3 \end{vmatrix} = -1 \cdot (-7) = \bm{7}$

$\text{Adjunto de 4} = \displaystyle (-1)^{2+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 2&-2\\[1.1ex] 2&-3 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-2) = \bm{-2}$

$\text{Adjunto de 1} = \displaystyle (-1)^{2+3} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 2&3\\[1.1ex] 2&1\end{vmatrix} = -1 \cdot (-4) = \bm{4}$

$\text{Adjunto de 2} = \displaystyle (-1)^{3+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 3&-2\\[1.1ex] 4&1\end{vmatrix} = 1 \cdot 11 = \bm{11}$

$\text{Adjunto de 1} = \displaystyle (-1)^{3+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 2&-2\\[1.1ex] 1&1\end{vmatrix} = -1 \cdot 4 = \bm{-4}$

$\text{Adjunto de -3} = \displaystyle (-1)^{3+3} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 2&3\\[1.1ex] 1&4 \end{vmatrix} = 1 \cdot 5 = \bm{5}$

$\displaystyle \displaystyle \text{Adj}(A) = \begin{pmatrix} -13 & 5 & -7 \\[1.1ex] 7 & -2 & 4 \\[1.1ex] 11 & -4 & 5 \end{pmatrix}$

Una volta calcolato il determinante della matrice e il suo aggiunto, sostituiamo i loro valori nella formula:

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{\vert A \vert } \cdot \Bigl( \text{Adj}(A)\Bigr)^{\bm{t}}$

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{3} \cdot \begin{pmatrix} -13 & 5 & -7 \\[1.1ex] 7 & -2 & 4 \\[1.1ex] 11 & -4 & 5 \end{pmatrix}^{\bm{t}}$

Trasponiamo la matrice allegata:

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{3} \cdot \begin{pmatrix} -13 & 7 & 11 \\[1.1ex] 5 & -2 & -4 \\[1.1ex] -7 & 4 & 5 \end{pmatrix}$

E la matrice invertita A è:

$\displaystyle \bm{A^{-1} =} \begin{pmatrix} \sfrac{\bm{-13}}{\bm{3}} & \sfrac{\bm{7}}{\bm{3}} & \sfrac{\bm{11}}{\bm{3}} \\[1.1ex] \sfrac{\bm{5}}{\bm{3}} & \sfrac{\bm{-2}}{\bm{3}} & \sfrac{\bm{-4}}{\bm{3}} \\[1.1ex] \sfrac{\bm{-7}}{\bm{3}} & \sfrac{\bm{4}}{\bm{3}} & \sfrac{\bm{5}}{\bm{3}}\end{pmatrix}$

Esercizio 4

Invertire la seguente matrice di ordine 3 utilizzando il metodo della matrice aggiunta:

$\displaystyle A=\begin{pmatrix}4&5&-1\\[1.1ex] -1&3&2\\[1.1ex] 3&8&1\end{pmatrix}$

Vedi la soluzione

La formula della matrice inversa è:

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{\vert A \vert } \cdot \Bigl( \text{Adj}(A)\Bigr)^{\bm{t}}$

Dobbiamo prima calcolare il determinante della matrice, perché se il determinante è 0, significa che la matrice non ha inversa.

$\displaystyle \begin{vmatrix}A\end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 4&5&-1\\[1.1ex] -1&3&2\\[1.1ex] 3&8&1 \end{vmatrix} = 12+30+8+9-64+5 = \bm{0}$

Il determinante di A è 0, quindi la matrice non può essere invertita.

Esercizio 5

Invertire la seguente matrice quadrata 3 × 3 con il metodo della matrice determinante:

$\displaystyle A=\begin{pmatrix}1 & 4 & -3 \\[1.1ex] -2 & 1 & 0 \\[1.1ex] -1 & -2 & 2\end{pmatrix}$

Vedi la soluzione

La formula della matrice inversa è:

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{\vert A \vert } \cdot \Bigl( \text{Adj}(A)\Bigr)^{\bm{t}}$

Innanzitutto risolviamo il determinante della matrice con la regola di Sarrus:

$\displaystyle \lvert A \rvert = \begin{vmatrix} 1 & 4 & -3 \\[1.1ex] -2 & 1 & 0 \\[1.1ex] -1 & -2 & 2 \end{vmatrix} = 2+0-12-3-0+16 = 3$

Il determinante è diverso da 0, quindi la matrice può essere invertita.

Risolto il determinante troviamo la matrice aggiunta di A:

$\displaystyle \text{Adjunto de 1} = (-1)^{1+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 1 & 0 \\[1.1ex] -2 & 2 \end{vmatrix} = 1 \bm{\cdot} (2-0) = \bm{2}$

$\displaystyle \text{Adjunto de 4} = (-1)^{1+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} -2 & 0 \\[1.1ex] -1 & 2 \end{vmatrix} = -1 \bm{\cdot} (-4-0) = \bm{4}$

$\displaystyle \text{Adjunto de -3} = (-1)^{1+3} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} -2 & 1 \\[1.1ex] -1 & -2 \end{vmatrix} = 1 \bm{\cdot} \bigl(4-(-1)\bigr) = \bm{5}$

$\displaystyle \text{Adjunto de -2} = (-1)^{2+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 4 & -3 \\[1.1ex] -2 & 2 \end{vmatrix} = -1 \bm{\cdot} (8-6) = \bm{-2}$

$\displaystyle \text{Adjunto de 1} = (-1)^{2+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 1 & -3 \\[1.1ex] -1 & 2 \end{vmatrix} = 1 \bm{\cdot} (2-3) = \bm{-1}$

$\displaystyle \text{Adjunto de 0} = (-1)^{2+3} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 1 & 4 \\[1.1ex] -1 & -2 \end{vmatrix} = -1 \bm{\cdot} \bigl(-2-(-4)\bigr) = \bm{-2}$

$\displaystyle \text{Adjunto de -1} = (-1)^{3+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 4 & -3 \\[1.1ex] 1 & 0 \end{vmatrix} = 1 \bm{\cdot} \bigl(0-(-3)\bigr) = \bm{3}$

$\displaystyle \text{Adjunto de -2} = (-1)^{3+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 1 & -3 \\[1.1ex] -2 & 0 \end{vmatrix} = -1 \cdot (0-6) = \bm{6}$

$\displaystyle \text{Adjunto de 2} = (-1)^{3+3} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 1 & 4 \\[1.1ex] -2 & 1 \end{vmatrix} = 1 \bm{\cdot} \bigl(1-(-8)\bigr) = \bm{9}$

$\displaystyle \displaystyle \text{Adj}(A) = \begin{pmatrix} 2 & 4 & 5 \\[1.1ex] -2 & -1 & -2 \\[1.1ex] 3 & 6 & 9 \end{pmatrix}$

Una volta calcolato il determinante della matrice e il suo aggiunto, sostituiamo i loro valori nella formula:

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{\vert A \vert } \cdot \Bigl( \text{Adj}(A)\Bigr)^{\bm{t}}$

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{3} \cdot \begin{pmatrix} 2 & 4 & 5 \\[1.1ex] -2 & -1 & -2 \\[1.1ex] 3 & 6 & 9\end{pmatrix}^{\bm{t}}$

Trasponiamo la matrice allegata:

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{3} \cdot \begin{pmatrix} 2 & -2 & 3 \\[1.1ex] 4 & -1 & 6 \\[1.1ex] 5 & -2 & 9 \end{pmatrix}$

E infine, operiamo:

$\displaystyle A^{-1} = \begin{pmatrix} \sfrac{2}{3} & \sfrac{-2}{3} & \sfrac{3}{3} \\[1.1ex] \sfrac{4}{3} & \sfrac{-1}{3} & \sfrac{6}{3} \\[1.1ex] \sfrac{5}{3} & \sfrac{-2}{3} & \sfrac{9}{3} \end{pmatrix}$

esercizio risolto passo passo della matrice inversa con il metodo della matrice aggiunta 3x3

Invertire una matrice utilizzando il metodo di Gauss:

Per calcolare l’inversa di una matrice con il metodo di Gauss , è necessario eseguire delle operazioni sulle righe di una matrice (lo vedremo più avanti). Quindi prima di vedere come utilizzare il metodo di Gauss, è importante che tu conosca tutte le operazioni che si possono fare sulle righe delle matrici:

Trasformazioni di linea consentite nel metodo gaussiano

Cambia l’ordine delle righe della matrice.

Ad esempio, possiamo cambiare l’ordine delle righe 2 e 3 di una matrice:

$\left( \begin{array}{ccc} 3 & 5 & -2 \\[2ex] -2 & 4 & -1 \\[2ex] 6 & 1 & -3 \end{array} \right) \begin{array}{c} \\[2ex] \xrightarrow{ f_2 \rightarrow f_3}} \\[2ex] \xrightarrow{ f_3 \rightarrow f_2}} \end{array} \left( \begin{array}{ccc} 3 & 5 & -2 \\[2ex] 6 & 1 & -3 \\[2ex] -2 & 4 & -1 \end{array} \right)$

Moltiplica o dividi tutti i termini di una riga per un numero diverso da 0.

Ad esempio, possiamo moltiplicare la riga 1 per 4 e dividere la riga 3 per 2:

$\left( \begin{array}{ccc} 1 & -2 & 3 \\[2ex] 3 & -1 & 5 \\[2ex] 2 & -4 & -2 \end{array} \right) \begin{array}{c} \xrightarrow{4 f_1} \\[2ex] \\[2ex] \xrightarrow{ f_3 / 2} \end{array} \left( \begin{array}{ccc} 4 & -8 & 12 \\[2ex] 3 & -1 & 5 \\[2ex] 1 & -2 & -1 \end{array} \right)$

Sostituisci una riga con la somma della stessa riga più un’altra riga moltiplicata per un numero.

Ad esempio, nella matrice seguente, aggiungiamo la riga 3 moltiplicata per 1 alla riga 2:

$\left( \begin{array}{ccc} -1 & -3 & 4 \\[2ex] 2 & 4 & 1 \\[2ex] 1 & -2 & 3 \end{array} \right) \begin{array}{c} \\[2ex] \xrightarrow{f_2 + 1\cdot f_3} \\[2ex] & \end{array} \left( \begin{array}{ccc} -1 & -3 & 4 \\[2ex] 3 & 2 & 4 \\[2ex] 1 & -2 & 3 \end{array} \right)$

Esempio di calcolo della matrice inversa utilizzando il metodo di Gauss:

Vediamo con un esempio come applicare il metodo di Gauss per invertire una matrice:

Calcolare l’inversa della seguente matrice:

$\displaystyle A = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 \\[2ex] 0 & 2 & 1 \\[2ex] 1 & 5 & 4 \end{array} \right)$

La prima cosa che dobbiamo fare è combinare la matrice A e la matrice Identità in un’unica matrice . La matrice A a sinistra e la matrice Identità a destra:

$\displaystyle \bigl( A \ \lvert \ I \bigr)$

esercizio risolto passo passo della matrice inversa con il metodo 3x3 Gauss

Per calcolare la matrice inversa, dobbiamo convertire la matrice di sinistra in una matrice identità. E, per farlo, dobbiamo applicare le trasformazioni alle righe finché non arriviamo lì.

Procederemo per colonne, cioè eseguiremo delle operazioni sulle righe per trasformare prima i numeri della prima colonna, poi quelli della seconda ed infine quelli della terza colonna.

Gli 1 e gli 0 nella prima colonna sono già adatti, poiché anche la matrice identità ha un 1 e uno 0 in queste posizioni. Pertanto, al momento non è necessario applicare una trasformazione a queste righe.

$\left( \begin{array}{ccc|ccc} \color{blue}\boxed{\color{black}1} & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\[2ex] \color{blue}\boxed{\color{black}0} & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\[2ex] 1 & 5 & 4 &0 & 0 & 1 \end{array} \right)$

Tuttavia, la matrice identità ha uno 0 nell’ultimo elemento della prima colonna, dove ora abbiamo un 1. Quindi dobbiamo convertire 1 in 0. Per fare ciò, aggiungiamo la riga 1 moltiplicata per – alla riga 3.1 :

$\begin{array}{lrrr|rrr} & 1 & 5 & 4 &0 & 0 & 1 \\ + & -1 & 0 & -1 & -1 & 0 & 0 \\ \hline & 0 & 5 & 3 & -1 & 0 & 1 \end{array} \begin{array}{l} \color{blue}\bm{\leftarrow f_3} \\ \color{blue}\bm{\leftarrow -f_1} \\ \phantom{hline} \\ \end{array}$

Quindi se facciamo questa somma otteniamo la seguente matrice:

$\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\[2ex] 0 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\[2ex] 1 & 5 & 4 &0 & 0 & 1 \end{array} \right) \begin{array}{c} \\[2ex] \\[2ex] \xrightarrow{f_3 - f_1} \end{array} \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\[2ex] 0 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\[2ex] \color{blue}\boxed{\color{black}0} & 5 & 3 & -1 & 0 & 1 \end{array} \right)$

Siamo così riusciti a trasformare l’1 in 0.

Passiamo ora alla seconda colonna della matrice di sinistra. Il primo elemento è uno 0, il che è positivo perché la matrice identità ha uno 0 nella stessa posizione. Tuttavia, invece del 2 dovrebbe esserci un 1, quindi dividiamo la seconda riga per 2:

$\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\[2ex] 0 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\[2ex] 1 & 5 & 4 &0 & 0 & 1 \end{array} \right) \begin{array}{c} \\[2ex] \xrightarrow{f_2/2}\\[2ex] & \end{array} \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\[2ex] 0 & \color{blue}\boxed{\color{black}1} & \sfrac{1}{2} & 0 & \sfrac{1}{2} & 0 \\[2ex] 0 & 5 & 3 & -1 & 0 & 1 \end{array} \right)$

Inoltre, nella seconda colonna dobbiamo anche trasformare il 5 in 0. Bene, poiché il 5 è cinque volte più grande dell’1 nella seconda riga, aggiungeremo la riga 2 moltiplicata per -5 alla riga 3:

$\begin{array}{lrrr|rrr} & 0 & 5 & 3 & -1 & 0 & 1 \\ + & 0 & -5 & \sfrac{-5}{2} & 0 & \vphantom{\Bigl(}\sfrac{-5}{2} & 0 \\ \hline & 0 & 0 & \sfrac{1}{2} & -1 & \sfrac{-5}{2} \vphantom{\Bigl(} & 1 \end{array} \begin{array}{l} \color{blue}\bm{\leftarrow f_3} \\ \color{blue}\bm{\leftarrow -5f_2}\vphantom{\Bigl(} \\ \phantom{hline} \vphantom{\Bigl(} \end{array}$

Pertanto, eseguendo questa operazione, ci ritroveremo con la matrice con uno 0 nell’ultimo elemento della seconda colonna:

$\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\[2ex] 0 & 1 & \sfrac{1}{2} & 0 & \sfrac{1}{2} & 0 \\[2ex] 0 & 5 & 3 & -1 & 0 & 1 \end{array} \right) \begin{array}{c} \\[2ex] \\[2ex] \xrightarrow{f_3 - 5f_2} \end{array} \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\[2ex] 0 & 1 & \sfrac{1}{2} & 0 & \sfrac{1}{2} & 0 \\[2ex] 0 & \color{blue}\boxed{\color{black}0} & \sfrac{1}{2} & -1 & \sfrac{-5}{2} & 1 \end{array} \right)$

Infine trasformeremo l’ultima colonna della matrice a sinistra, ma questa volta dobbiamo iniziare dal basso. È quindi necessario trasformare l’

$\sfrac{1}{2}$

in 1. Pertanto, moltiplichiamo l’ultima riga per 2:

$\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\[2ex] 0 & 1 & \sfrac{1}{2} & 0 & \sfrac{1}{2} & 0 \\[2ex] 0 & 0 & \sfrac{1}{2} & -1 & \sfrac{-5}{2} & 1 \end{array} \right)\begin{array}{c} \\[2ex] \\[2ex] \xrightarrow{2f_3} \end{array} \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\[2ex] 0 & 1 & \sfrac{1}{2} & 0 & \sfrac{1}{2} & 0 \\[2ex] 0 & 0 & \color{blue}\boxed{\color{black}1} & -2 & -5 & 2 \end{array} \right)$

Dobbiamo ora trasformare il

$\sfrac{1}{2}$

il resto dell’ultima colonna come 0. Tuttavia, questa volta non possiamo moltiplicare la riga per 2, perché convertiremo anche 1 in 2 (quando la matrice identità ha 1 in quella posizione). Pertanto, aggiungeremo la riga 3 divisa per -2 alla riga 2:

$\begin{array}{lrrr|rcr} & 0 & 1 & \vphantom{\Bigl(} \sfrac{1}{2} & 0 & \sfrac{1}{2} & 0 \\ + & 0 & 0 &\vphantom{\Bigl(} -\sfrac{1}{2} & 1 & \sfrac{5}{2} & -1 \\ \hline & 0 & 1 & 0\phantom{0} & 1 & 3 \vphantom{\Bigl(} & -1 \end{array} \begin{array}{l}\vphantom{\Bigl(} \color{blue}\bm{\leftarrow f_2} \\ \color{blue}\bm{\leftarrow f_3/(-2)}\vphantom{\Bigl(} \\ \phantom{hline} \vphantom{\Bigl(} \end{array}$

Quindi facendo questa operazione riusciamo a trasformare il

$\sfrac{1}{2}$

in uno 0:

$\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\[2ex] 0 & 1 & \sfrac{1}{2} & 0 & \sfrac{1}{2} & 0 \\[2ex] 0 & 0 & 1 & -2 & -5 & 2 \end{array} \right) \begin{array}{c} \\[2ex] \xrightarrow{f_2-f_3/2} \\[2ex] & \end{array} \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\[2ex] 0 & 1 & \color{blue}\boxed{\color{black}0} & 1 & 3 & -1 \\[2ex] 0 & 0 & 1 & -2 & -5 & 2 \end{array} \right)$

Infine, dobbiamo solo trasformare l’1 nella prima riga della terza colonna in 0. Anche la terza riga ha un 1 in questa stessa colonna, quindi aggiungeremo la riga 3 moltiplicata per -1 alla riga 1:

$\begin{array}{lrrr|rcr} & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ + & 0 & 0 & -1 & 2 & 5 & -2 \\ \hline & 1 & 0 & 0 & 3 & 5 & -2 \end{array} \begin{array}{l}\color{blue}\bm{\leftarrow f_1} \\ \color{blue}\bm{\leftarrow -f_3}\\ \phantom{hline} \end{array}$

E facendo questa operazione riusciamo a convertire l’1 in uno 0:

$\ \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\[2ex] 0 & 1 &0 & 1 & 3 & -1 \\[2ex] 0 & 0 & 1 & -2 & -5 & 2 \end{array} \right) \begin{array}{c} \xrightarrow{f_1-f_3} \\[2ex] \\[2ex] & \end{array} \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & \color{blue}\boxed{\color{black}0} & 3 & 5 & -2 \\[2ex] 0 & 1 & 0 & 1 & 3 & -1 \\[2ex] 0 & 0 & 1 & -2 & -5 & 2 \end{array} \right)$

Una volta che abbiamo convertito con successo la matrice sinistra in una matrice identità, conosciamo anche la matrice inversa. Perché la matrice inversa è la matrice che otteniamo sul lato destro convertendo la matrice sinistra in matrice identità . L’inversa della matrice è quindi: