Come calcolare la matrice inversa

In questa pagina imparerai cos’è e come calcolare l’inversa di una matrice con il metodo dei determinanti (o matrice aggiunta) e con il metodo di Gauss. Vedrai anche tutte le proprietà della matrice inversa e troverai anche esempi ed esercizi risolti passo dopo passo per ciascun metodo in modo da comprenderli completamente. Infine, spieghiamo una formula per invertire rapidamente una matrice 2×2 e anche la più grande utilità di questa operazione di matrice: risolvere un sistema di equazioni lineari.

Qual è l’inverso di una matrice?

Essere

A

una matrice quadrata. La matrice inversa di

A

è scritto

A^{-1}

, ed è questa matrice che soddisfa:

A \cdot A^{-1} = I

A^{-1}\cdot A  = I

Oro

I

è la matrice Identità.

Quando puoi invertire una matrice e quando no?

Il modo più semplice per determinare l’invertibilità di una matrice è utilizzare il suo determinante:

  • Se il determinante della matrice in questione è diverso da 0 significa che la matrice è invertibile. In questo caso si dice che è una matrice regolare. Inoltre, ciò implica che la matrice sia di rango massimo.
  • Se invece il determinante della matrice è uguale a 0, la matrice non può essere invertita. E, in questo caso, diciamo che si tratta di una matrice singolare o degenere.

Principalmente esistono due metodi per invertire qualsiasi matrice: il metodo dei determinanti o matrice aggiunta e il metodo di Gauss. Di seguito hai la spiegazione del primo, ma puoi anche consultare di seguito come invertire una matrice con il metodo di Gauss.

Invertire una matrice utilizzando il metodo del determinante (o utilizzando la matrice adiacente)

Per calcolare l’ inversa di una matrice ,

\displaystyle A^{-1}

, deve essere applicata la seguente formula:

\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{\vert A \vert } \cdot \Bigl( \text{Adj}(A)\Bigr)^{\bm{t}}

Oro:

  • \displaystyle \begin{vmatrix} A \end{vmatrix}

    è il determinante della matrice

    A

  • \text{Adj}(A)

    è la matrice aggiunta di

    A

  • L’espositore

    \bm{t}

    indica la trasposizione della matrice, ovvero la matrice allegata deve essere trasposta.

Commento: alcuni libri utilizzano una formula di matrice inversa leggermente diversa: prima traspongono la matrice A e poi calcolano la sua matrice aggiunta, invece di calcolare prima la matrice aggiunta e poi trasporla. In realtà l’ordine non ha importanza perché il risultato è esattamente lo stesso. Qui ti lasciamo la formula per invertire una matrice modificata nel caso in cui preferisci utilizzare questa:

formula per la matrice inversa con la matrice aggiunta della trasposta

Vedremo poi come trovare l’inversa di una matrice risolvendo un esercizio a titolo di esempio:

Esempio di calcolo della matrice inversa utilizzando il metodo del determinante (o matrice aggiunta):

  • Calcolare l’inversa della seguente matrice:

\displaystyle  A = \begin{pmatrix} 4 & -2  \\[1.1ex] 3 & -1  \end{pmatrix}

Per determinare l’inversa della matrice, dobbiamo applicare la seguente formula:

formula della matrice inversa con il metodo dei determinanti o della matrice aggiunta

Ma se il determinante della matrice è zero significa che la matrice non è invertibile. La prima cosa da fare quindi è calcolare il determinante della matrice e verificare che sia diverso da 0:

\displaystyle  \lvert A \rvert  = \begin{vmatrix}  4 & -2  \\[1.1ex] 3 & -1 \end{vmatrix} = -4- (-6) = 2

Il determinante non è 0 , quindi la matrice è invertibile .

Pertanto, sostituendo nella formula il valore del determinante, l’inverso della matrice sarà:

\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{\vert A \vert } \cdot \Bigl( \text{Adj}(A)\Bigr)^{\bm{t}}

\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{2} \cdot \Bigl( \text{Adj}(A)\Bigr)^{\bm{t}}

Dobbiamo ora calcolare la matrice sostitutiva di A. Per fare ciò, dobbiamo sostituire ogni elemento della matrice A con il suo sostitutivo.

Ricordatevi che per calcolare il pignoramento

a_{ij}

, cioè dell’elemento riga

i

e la colonna

j

, deve essere applicata la seguente formula:

\text{Adjunto de } a_{ij} = (-1)^{i+j} \bm{\cdot} \text{Menor complementario de } a_{ij}

Dove il minore complementare di

a_{ij}

è il determinante della matrice eliminando la riga

i

e la colonna

j

.

Pertanto i deputati degli elementi della matrice A sono:

\displaystyle  A = \begin{pmatrix} 4 & -2  \\[1.1ex] 3 & -1  \end{pmatrix}

\text{Adjunto de 4} =\displaystyle (-1)^{1+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} -1 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-1) = \bm{-1}

\text{Adjunto de -2} =\displaystyle (-1)^{1+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 3 \end{vmatrix} = -1 \cdot 3 = \bm{-3}

\text{Adjunto de 3}  =\displaystyle (-1)^{2+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} -2 \end{vmatrix} = -1 \cdot (-2) = \bm{2}

\text{Adjunto de -1} =\displaystyle (-1)^{2+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 4 \end{vmatrix} = 1 \cdot 4 = \bm{4}

Commento: non confondere il determinante 1×1 con il valore assoluto, perché nel determinante 1×1 il numero non viene convertito in positivo.

Una volta calcolati i deputati, basta sostituire gli elementi di A con i loro deputati per trovare la matrice dei deputati di A :

\displaystyle \displaystyle \text{Adj}(A) = \begin{pmatrix} -1 & -3  \\[1.1ex] 2 & 4  \end{pmatrix}

Commento: in certi punti la matrice aggiunta è la trasposta della matrice aggiunta che qui definiamo.

Pertanto, sostituiamo la matrice allegata nella formula della matrice inversa e diventa:

\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{2} \cdot \Bigl( \text{Adj}(A)\Bigr)^{\bm{t}}

\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{2} \cdot \begin{pmatrix} -1 & -3  \\[1.1ex] 2 & 4  \end{pmatrix} ^{\bm{t}}

L’espositore

\bm{t}

Questo ci dice che dobbiamo trasporre la matrice . E per trasporre una matrice devi cambiare le sue righe in colonne , vale a dire che la prima riga della matrice diventa la prima colonna della matrice, e la seconda riga diventa la seconda colonna:

\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{2} \cdot \begin{pmatrix} -1 & 2  \\[1.1ex] -3 & 4  \end{pmatrix}

E infine, moltiplichiamo ciascun termine della matrice per

\cfrac{1}{2} :

\displaystyle A^{-1} = \begin{pmatrix} \sfrac{-1}{2} & \sfrac{2}{2}  \\[1.1ex] \sfrac{-3}{2} & \sfrac{4}{2}  \end{pmatrix}

esercizio risolto matrice inversa con determinanti 2x2

Esercizi risolti su matrici inverse con il metodo dei determinanti (o della matrice adiacente)

Esercizio 1

Invertire la seguente matrice di dimensione 2×2 utilizzando il metodo della matrice aggiunta:

\displaystyle A=\begin{pmatrix} 1 & 3 \\[1.1ex] 2 & 7  \end{pmatrix}

La formula della matrice inversa è:

\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{\vert A \vert } \cdot \Bigl( \text{Adj}(A)\Bigr)^{\bm{t}}

Per prima cosa calcoliamo il determinante della matrice:

\displaystyle \begin{vmatrix}A\end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 1 & 3 \\[1.1ex] 2 & 7 \end{vmatrix} = 7-6 = 1

Il determinante è diverso da 0, quindi la matrice può essere invertita.

Calcoliamo ora la matrice aggiunta di A:

\text{Adjunto de 1} =\displaystyle (-1)^{1+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 7 \end{vmatrix} = 1 \cdot 7 = \bm{7}

\text{Adjunto de 3} =\displaystyle (-1)^{1+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 2\end{vmatrix} = -1 \cdot 2 = \bm{-2}

\text{Adjunto de 2}  =\displaystyle (-1)^{2+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 3 \end{vmatrix} = -1 \cdot 3 = \bm{-3}

\text{Adjunto de 7} =\displaystyle (-1)^{2+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot 1 = \bm{1}

\displaystyle \displaystyle \text{Adj}(A) = \begin{pmatrix} 7 & -2  \\[1.1ex] -3 & 1 \end{pmatrix}

Una volta calcolato il determinante della matrice e il suo aggiunto, sostituiamo i loro valori nella formula:

\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{\vert A \vert } \cdot \Bigl( \text{Adj}(A)\Bigr)^{\bm{t}}

\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{1} \cdot \begin{pmatrix} 7 & -2 \\[1.1ex] -3 & 1 \end{pmatrix}^{\bm{t}}

Trasponiamo la matrice allegata:

\displaystyle A^{-1} = 1 \cdot \begin{pmatrix} 7 & -3 \\[1.1ex] -2 & 1 \end{pmatrix}

La matrice inversa di A è quindi:

\displaystyle \bm{A^{-1} =} \begin{pmatrix} \bm{7} & \bm{-3} \\[1.1ex] \bm{-2} & \bm{1} \end{pmatrix}

Esercizio 2

Invertire la seguente matrice quadrata utilizzando il metodo del determinante:

\displaystyle A=\begin{pmatrix} -3 & -2 \\[1.1ex] 5 & 4  \end{pmatrix}

La formula della matrice inversa è:

\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{\vert A \vert } \cdot \Bigl( \text{Adj}(A)\Bigr)^{\bm{t}}

Per prima cosa calcoliamo il determinante della matrice:

\displaystyle \begin{vmatrix}A\end{vmatrix}=\begin{vmatrix} -3 & -2 \\[1.1ex] 5 & 4\end{vmatrix} = -12+10 = -2

Il determinante è diverso da 0, quindi la matrice può essere invertita.

Calcoliamo ora la matrice aggiunta di A:

\text{Adjunto de -3} =\displaystyle (-1)^{1+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 4 \end{vmatrix} = 1 \cdot 4 = \bm{4}

\text{Adjunto de -2} =\displaystyle (-1)^{1+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 5\end{vmatrix} = -1 \cdot 5 = \bm{-5}

\text{Adjunto de 5}  =\displaystyle (-1)^{2+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} -2 \end{vmatrix} = -1 \cdot (-2) = \bm{2}

\text{Adjunto de 4} =\displaystyle (-1)^{2+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} -3 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-3) = \bm{-3}

\displaystyle \displaystyle \text{Adj}(A) = \begin{pmatrix} 4 & -5  \\[1.1ex] 2 & -3 \end{pmatrix}

Una volta trovato il determinante della matrice e il suo aggiunto, sostituiamo i loro valori nella formula:

\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{\vert A \vert } \cdot \Bigl( \text{Adj}(A)\Bigr)^{\bm{t}}

\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{-2} \cdot \begin{pmatrix} 4 & -5 \\[1.1ex] 2 & -3 \end{pmatrix}^{\bm{t}}

Trasponiamo la matrice allegata:

\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{-2} \cdot \begin{pmatrix} 4 & 2 \\[1.1ex] -5 & -3 \end{pmatrix}

Moltiplichiamo ogni elemento per

\cfrac{1}{-2} :

\displaystyle A^{-1} = \begin{pmatrix} \cfrac{4}{-2} & \cfrac{2}{-2} \\[3ex] \cfrac{-5}{-2} & \cfrac{-3}{-2} \end{pmatrix}

La matrice inversa di A è quindi:

\displaystyle \bm{A^{-1} =} \begin{pmatrix} \bm{-2} & \bm{-1} \\[2ex] \cfrac{\bm{5}}{\bm{2}} & \cfrac{\bm{3}}{\bm{2}} \end{pmatrix}

Esercizio 3

Invertire la seguente matrice di dimensione 3×3 utilizzando il metodo delle matrici aggiunte:

\displaystyle A=\begin{pmatrix}2&3&-2\\[1.1ex] 1&4&1\\[1.1ex] 2&1&-3\end{pmatrix}

La formula della matrice inversa è:

\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{\vert A \vert } \cdot \Bigl( \text{Adj}(A)\Bigr)^{\bm{t}}

Risolviamo innanzitutto il determinante della matrice con la regola di Sarrus:

\displaystyle \begin{vmatrix}A\end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 2&3&-2\\[1.1ex] 1&4&1\\[1.1ex] 2&1&-3 \end{vmatrix} = -24+6-2+16-2+9 = 3

Il determinante è diverso da 0, quindi la matrice può essere invertita.

Risolto il determinante troviamo la matrice aggiunta di A:

\text{Adjunto de 2} = \displaystyle (-1)^{1+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 4&1\\[1.1ex] 1&-3 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-13) = \bm{-13}

\text{Adjunto de 3} = \displaystyle (-1)^{1+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix}1&1\\[1.1ex] 2&-3\end{vmatrix} = -1 \cdot (-5) = \bm{5}

\text{Adjunto de -2}  = \displaystyle (-1)^{1+3} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 1&4\\[1.1ex] 2&1 \end{vmatrix} = 1\cdot (-7) = \bm{-7}

\text{Adjunto de 1} = \displaystyle (-1)^{2+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 3&-2 \\[1.1ex] 1&-3 \end{vmatrix} = -1 \cdot (-7) = \bm{7}

\text{Adjunto de 4} = \displaystyle (-1)^{2+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 2&-2\\[1.1ex] 2&-3 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-2) = \bm{-2}

\text{Adjunto de 1} = \displaystyle (-1)^{2+3} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 2&3\\[1.1ex] 2&1\end{vmatrix} = -1 \cdot (-4) = \bm{4}

\text{Adjunto de 2}  = \displaystyle (-1)^{3+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 3&-2\\[1.1ex] 4&1\end{vmatrix} = 1 \cdot 11 = \bm{11}

\text{Adjunto de 1} = \displaystyle (-1)^{3+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 2&-2\\[1.1ex] 1&1\end{vmatrix} = -1 \cdot 4 = \bm{-4}

\text{Adjunto de -3} = \displaystyle (-1)^{3+3} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 2&3\\[1.1ex] 1&4 \end{vmatrix} = 1 \cdot 5 = \bm{5}

\displaystyle \displaystyle \text{Adj}(A) = \begin{pmatrix} -13 & 5 & -7  \\[1.1ex] 7 & -2 & 4 \\[1.1ex] 11 & -4 & 5 \end{pmatrix}

Una volta calcolato il determinante della matrice e il suo aggiunto, sostituiamo i loro valori nella formula:

\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{\vert A \vert } \cdot \Bigl( \text{Adj}(A)\Bigr)^{\bm{t}}

\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{3} \cdot \begin{pmatrix} -13 & 5 & -7 \\[1.1ex] 7 & -2 & 4 \\[1.1ex] 11 & -4 & 5 \end{pmatrix}^{\bm{t}}

Trasponiamo la matrice allegata:

\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{3} \cdot \begin{pmatrix} -13 & 7 & 11 \\[1.1ex] 5 & -2 & -4 \\[1.1ex] -7 & 4 & 5 \end{pmatrix}

E la matrice invertita A è:

\displaystyle \bm{A^{-1} =} \begin{pmatrix} \sfrac{\bm{-13}}{\bm{3}} & \sfrac{\bm{7}}{\bm{3}} & \sfrac{\bm{11}}{\bm{3}} \\[1.1ex] \sfrac{\bm{5}}{\bm{3}} & \sfrac{\bm{-2}}{\bm{3}} & \sfrac{\bm{-4}}{\bm{3}} \\[1.1ex] \sfrac{\bm{-7}}{\bm{3}} & \sfrac{\bm{4}}{\bm{3}} & \sfrac{\bm{5}}{\bm{3}}\end{pmatrix}

Esercizio 4

Invertire la seguente matrice di ordine 3 utilizzando il metodo della matrice aggiunta:

\displaystyle A=\begin{pmatrix}4&5&-1\\[1.1ex] -1&3&2\\[1.1ex] 3&8&1\end{pmatrix}

La formula della matrice inversa è:

\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{\vert A \vert } \cdot \Bigl( \text{Adj}(A)\Bigr)^{\bm{t}}

Dobbiamo prima calcolare il determinante della matrice, perché se il determinante è 0, significa che la matrice non ha inversa.

\displaystyle \begin{vmatrix}A\end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 4&5&-1\\[1.1ex] -1&3&2\\[1.1ex] 3&8&1 \end{vmatrix} = 12+30+8+9-64+5 = \bm{0}

Il determinante di A è 0, quindi la matrice non può essere invertita.

Esercizio 5

Invertire la seguente matrice quadrata 3 × 3 con il metodo della matrice determinante:

\displaystyle A=\begin{pmatrix}1 & 4 & -3 \\[1.1ex] -2 & 1 & 0 \\[1.1ex] -1 & -2 & 2\end{pmatrix}

La formula della matrice inversa è:

\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{\vert A \vert } \cdot \Bigl( \text{Adj}(A)\Bigr)^{\bm{t}}

Innanzitutto risolviamo il determinante della matrice con la regola di Sarrus:

\displaystyle  \lvert A \rvert = \begin{vmatrix} 1 & 4 & -3 \\[1.1ex] -2 & 1 & 0 \\[1.1ex] -1 & -2 & 2 \end{vmatrix} = 2+0-12-3-0+16 = 3

Il determinante è diverso da 0, quindi la matrice può essere invertita.

Risolto il determinante troviamo la matrice aggiunta di A:

\displaystyle \text{Adjunto de 1} =  (-1)^{1+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix}  1 & 0 \\[1.1ex]  -2 & 2 \end{vmatrix} = 1 \bm{\cdot} (2-0) = \bm{2}

\displaystyle \text{Adjunto de 4} =  (-1)^{1+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix}  -2 &  0 \\[1.1ex] -1 & 2 \end{vmatrix} = -1 \bm{\cdot} (-4-0) = \bm{4}

\displaystyle \text{Adjunto de -3} = (-1)^{1+3} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} -2 & 1 \\[1.1ex] -1 & -2 \end{vmatrix} = 1 \bm{\cdot} \bigl(4-(-1)\bigr) = \bm{5}

\displaystyle \text{Adjunto de -2} =  (-1)^{2+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix}  4 & -3  \\[1.1ex]  -2 & 2 \end{vmatrix} = -1 \bm{\cdot} (8-6) = \bm{-2}

\displaystyle \text{Adjunto de 1} = (-1)^{2+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 1 &  -3  \\[1.1ex] -1 &  2 \end{vmatrix} = 1 \bm{\cdot} (2-3) = \bm{-1}

\displaystyle \text{Adjunto de 0} =  (-1)^{2+3} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 1 & 4  \\[1.1ex] -1 & -2 \end{vmatrix} = -1 \bm{\cdot} \bigl(-2-(-4)\bigr) = \bm{-2}

\displaystyle \text{Adjunto de -1} = (-1)^{3+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix}  4 & -3 \\[1.1ex]  1 & 0  \end{vmatrix} = 1 \bm{\cdot} \bigl(0-(-3)\bigr) = \bm{3}

\displaystyle \text{Adjunto de -2}   = (-1)^{3+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 1 & -3 \\[1.1ex] -2 & 0 \end{vmatrix} = -1 \cdot (0-6) = \bm{6}

\displaystyle \text{Adjunto de 2} =  (-1)^{3+3} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 1 & 4 \\[1.1ex] -2 & 1 \end{vmatrix} = 1 \bm{\cdot} \bigl(1-(-8)\bigr) = \bm{9}

\displaystyle \displaystyle \text{Adj}(A) = \begin{pmatrix} 2 & 4 & 5 \\[1.1ex] -2 & -1 & -2 \\[1.1ex] 3 & 6 & 9 \end{pmatrix}

Una volta calcolato il determinante della matrice e il suo aggiunto, sostituiamo i loro valori nella formula:

\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{\vert A \vert } \cdot \Bigl( \text{Adj}(A)\Bigr)^{\bm{t}}

\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{3} \cdot \begin{pmatrix} 2 & 4 & 5 \\[1.1ex] -2 & -1 & -2 \\[1.1ex] 3 & 6 & 9\end{pmatrix}^{\bm{t}}

Trasponiamo la matrice allegata:

\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{3} \cdot \begin{pmatrix} 2 & -2 & 3 \\[1.1ex] 4 & -1 & 6 \\[1.1ex] 5 & -2 & 9 \end{pmatrix}

E infine, operiamo:

\displaystyle A^{-1} = \begin{pmatrix} \sfrac{2}{3} & \sfrac{-2}{3} & \sfrac{3}{3} \\[1.1ex] \sfrac{4}{3} & \sfrac{-1}{3} & \sfrac{6}{3} \\[1.1ex] \sfrac{5}{3} & \sfrac{-2}{3} & \sfrac{9}{3} \end{pmatrix}

esercizio risolto passo passo della matrice inversa con il metodo della matrice aggiunta 3x3

Invertire una matrice utilizzando il metodo di Gauss:

Per calcolare l’inversa di una matrice con il metodo di Gauss , è necessario eseguire delle operazioni sulle righe di una matrice (lo vedremo più avanti). Quindi prima di vedere come utilizzare il metodo di Gauss, è importante che tu conosca tutte le operazioni che si possono fare sulle righe delle matrici:

Trasformazioni di linea consentite nel metodo gaussiano

  • Cambia l’ordine delle righe della matrice.

Ad esempio, possiamo cambiare l’ordine delle righe 2 e 3 di una matrice:

\left( \begin{array}{ccc} 3 & 5 & -2 \\[2ex] -2 & 4 & -1  \\[2ex] 6 & 1 & -3 \end{array} \right)  \begin{array}{c} \\[2ex] \xrightarrow{ f_2 \rightarrow f_3}} \\[2ex] \xrightarrow{ f_3 \rightarrow f_2}} \end{array} \left( \begin{array}{ccc} 3 & 5 & -2  \\[2ex] 6 & 1 & -3  \\[2ex] -2 & 4 & -1 \end{array} \right)

  • Moltiplica o dividi tutti i termini di una riga per un numero diverso da 0.

Ad esempio, possiamo moltiplicare la riga 1 per 4 e dividere la riga 3 per 2:

\left( \begin{array}{ccc} 1 & -2 & 3 \\[2ex] 3 & -1 & 5  \\[2ex] 2 & -4 & -2  \end{array} \right) \begin{array}{c}  \xrightarrow{4  f_1} \\[2ex]  \\[2ex] \xrightarrow{ f_3 / 2} \end{array} \left( \begin{array}{ccc} 4 & -8 & 12 \\[2ex] 3 & -1 & 5  \\[2ex] 1 & -2 & -1  \end{array} \right)

  • Sostituisci una riga con la somma della stessa riga più un’altra riga moltiplicata per un numero.

Ad esempio, nella matrice seguente, aggiungiamo la riga 3 moltiplicata per 1 alla riga 2:

\left( \begin{array}{ccc} -1 & -3 & 4  \\[2ex] 2 & 4 & 1  \\[2ex] 1 & -2 & 3  \end{array} \right) \begin{array}{c}   \\[2ex]  \xrightarrow{f_2 + 1\cdot f_3}  \\[2ex] & \end{array} \left( \begin{array}{ccc} -1 & -3 & 4  \\[2ex] 3 & 2 & 4  \\[2ex] 1 & -2 & 3  \end{array} \right)

Esempio di calcolo della matrice inversa utilizzando il metodo di Gauss:

Vediamo con un esempio come applicare il metodo di Gauss per invertire una matrice:

  • Calcolare l’inversa della seguente matrice:

\displaystyle  A = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 \\[2ex] 0 & 2 & 1 \\[2ex] 1 & 5 & 4 \end{array} \right)

La prima cosa che dobbiamo fare è combinare la matrice A e la matrice Identità in un’unica matrice . La matrice A a sinistra e la matrice Identità a destra:

\displaystyle   \bigl( A \  \lvert \ I \bigr)

esercizio risolto passo passo della matrice inversa con il metodo 3x3 Gauss

Per calcolare la matrice inversa, dobbiamo convertire la matrice di sinistra in una matrice identità. E, per farlo, dobbiamo applicare le trasformazioni alle righe finché non arriviamo lì.

Procederemo per colonne, cioè eseguiremo delle operazioni sulle righe per trasformare prima i numeri della prima colonna, poi quelli della seconda ed infine quelli della terza colonna.

Gli 1 e gli 0 nella prima colonna sono già adatti, poiché anche la matrice identità ha un 1 e uno 0 in queste posizioni. Pertanto, al momento non è necessario applicare una trasformazione a queste righe.

\left(  \begin{array}{ccc|ccc} \color{blue}\boxed{\color{black}1} & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\[2ex] \color{blue}\boxed{\color{black}0} & 2 & 1 & 0 & 1 & 0  \\[2ex] 1 & 5 & 4 &0 & 0 & 1 \end{array} \right)

Tuttavia, la matrice identità ha uno 0 nell’ultimo elemento della prima colonna, dove ora abbiamo un 1. Quindi dobbiamo convertire 1 in 0. Per fare ciò, aggiungiamo la riga 1 moltiplicata per – alla riga 3.1 :

\begin{array}{lrrr|rrr}  & 1 & 5 & 4 &0 & 0 & 1  \\ + & -1 & 0 & -1 & -1 & 0 & 0  \\ \hline  & 0 & 5 & 3 & -1 & 0 & 1  \end{array} \begin{array}{l} \color{blue}\bm{\leftarrow f_3} \\ \color{blue}\bm{\leftarrow -f_1} \\ \phantom{hline} \\ \end{array}

Quindi se facciamo questa somma otteniamo la seguente matrice:

\left(  \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\[2ex] 0 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0  \\[2ex] 1 & 5 & 4 &0 & 0 & 1 \end{array} \right) \begin{array}{c}   \\[2ex]  \\[2ex] \xrightarrow{f_3 - f_1} \end{array} \left(  \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\[2ex] 0 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0  \\[2ex] \color{blue}\boxed{\color{black}0} & 5 & 3 & -1 & 0 & 1  \end{array} \right)

Siamo così riusciti a trasformare l’1 in 0.

Passiamo ora alla seconda colonna della matrice di sinistra. Il primo elemento è uno 0, il che è positivo perché la matrice identità ha uno 0 nella stessa posizione. Tuttavia, invece del 2 dovrebbe esserci un 1, quindi dividiamo la seconda riga per 2:

\left(  \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\[2ex] 0 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0  \\[2ex] 1 & 5 & 4 &0 & 0 & 1 \end{array} \right) \begin{array}{c}   \\[2ex] \xrightarrow{f_2/2}\\[2ex] & \end{array}  \left(  \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\[2ex] 0 & \color{blue}\boxed{\color{black}1} & \sfrac{1}{2} & 0 & \sfrac{1}{2} & 0  \\[2ex] 0 & 5 & 3 & -1 & 0 & 1  \end{array} \right)

Inoltre, nella seconda colonna dobbiamo anche trasformare il 5 in 0. Bene, poiché il 5 è cinque volte più grande dell’1 nella seconda riga, aggiungeremo la riga 2 moltiplicata per -5 alla riga 3:

\begin{array}{lrrr|rrr}  & 0 & 5 & 3 & -1 & 0 & 1  \\ + & 0 & -5 & \sfrac{-5}{2} & 0 & \vphantom{\Bigl(}\sfrac{-5}{2} & 0  \\ \hline & 0 & 0 &  \sfrac{1}{2}  & -1 & \sfrac{-5}{2} \vphantom{\Bigl(} & 1  \end{array} \begin{array}{l} \color{blue}\bm{\leftarrow f_3} \\ \color{blue}\bm{\leftarrow -5f_2}\vphantom{\Bigl(} \\ \phantom{hline} \vphantom{\Bigl(}  \end{array}

Pertanto, eseguendo questa operazione, ci ritroveremo con la matrice con uno 0 nell’ultimo elemento della seconda colonna:

\left(  \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\[2ex] 0 & 1 & \sfrac{1}{2} & 0 & \sfrac{1}{2} & 0  \\[2ex] 0 & 5 & 3 & -1 & 0 & 1  \end{array} \right) \begin{array}{c}   \\[2ex] \\[2ex] \xrightarrow{f_3 - 5f_2} \end{array}  \left(  \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\[2ex] 0 & 1 & \sfrac{1}{2} & 0 & \sfrac{1}{2} & 0  \\[2ex]  0 & \color{blue}\boxed{\color{black}0} &  \sfrac{1}{2}  & -1 & \sfrac{-5}{2}  & 1  \end{array} \right)

Infine trasformeremo l’ultima colonna della matrice a sinistra, ma questa volta dobbiamo iniziare dal basso. È quindi necessario trasformare l’

\sfrac{1}{2}

in 1. Pertanto, moltiplichiamo l’ultima riga per 2:

\left(  \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\[2ex] 0 & 1 & \sfrac{1}{2} & 0 & \sfrac{1}{2} & 0  \\[2ex]  0 & 0 &  \sfrac{1}{2}  & -1 & \sfrac{-5}{2}  & 1  \end{array} \right)\begin{array}{c}   \\[2ex] \\[2ex] \xrightarrow{2f_3} \end{array}  \left(  \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\[2ex] 0 & 1 & \sfrac{1}{2} & 0 & \sfrac{1}{2} & 0  \\[2ex]  0 & 0 &  \color{blue}\boxed{\color{black}1}  & -2 & -5  & 2  \end{array} \right)

Dobbiamo ora trasformare il

\sfrac{1}{2}

il resto dell’ultima colonna come 0. Tuttavia, questa volta non possiamo moltiplicare la riga per 2, perché convertiremo anche 1 in 2 (quando la matrice identità ha 1 in quella posizione). Pertanto, aggiungeremo la riga 3 divisa per -2 alla riga 2:

\begin{array}{lrrr|rcr}  & 0 & 1 &  \vphantom{\Bigl(} \sfrac{1}{2} & 0 & \sfrac{1}{2} & 0  \\ + & 0 & 0 &\vphantom{\Bigl(} -\sfrac{1}{2}  & 1 & \sfrac{5}{2}  & -1  \\ \hline & 0 & 1 & 0\phantom{0}  & 1 & 3 \vphantom{\Bigl(} & -1  \end{array} \begin{array}{l}\vphantom{\Bigl(} \color{blue}\bm{\leftarrow f_2} \\ \color{blue}\bm{\leftarrow f_3/(-2)}\vphantom{\Bigl(} \\ \phantom{hline} \vphantom{\Bigl(}  \end{array}

Quindi facendo questa operazione riusciamo a trasformare il

\sfrac{1}{2}

in uno 0:

\left(  \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\[2ex] 0 & 1 & \sfrac{1}{2} & 0 & \sfrac{1}{2} & 0  \\[2ex]  0 & 0 &  1  & -2 & -5  & 2  \end{array} \right) \begin{array}{c}   \\[2ex] \xrightarrow{f_2-f_3/2} \\[2ex] & \end{array}  \left(  \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\[2ex] 0 & 1 & \color{blue}\boxed{\color{black}0} & 1 & 3  & -1  \\[2ex]  0 & 0 &  1  & -2 & -5  & 2  \end{array} \right)

Infine, dobbiamo solo trasformare l’1 nella prima riga della terza colonna in 0. Anche la terza riga ha un 1 in questa stessa colonna, quindi aggiungeremo la riga 3 moltiplicata per -1 alla riga 1:

\begin{array}{lrrr|rcr}  & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ + & 0 & 0 &  -1  & 2 & 5  & -2  \\ \hline & 1 & 0 & 0  & 3 & 5 & -2  \end{array} \begin{array}{l}\color{blue}\bm{\leftarrow f_1} \\ \color{blue}\bm{\leftarrow -f_3}\\ \phantom{hline}   \end{array}

E facendo questa operazione riusciamo a convertire l’1 in uno 0:

\ \left(  \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\[2ex] 0 & 1 &0 & 1 & 3  & -1  \\[2ex]  0 & 0 &  1  & -2 & -5  & 2  \end{array} \right) \begin{array}{c} \xrightarrow{f_1-f_3}  \\[2ex]  \\[2ex]  & \end{array}  \left(  \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & \color{blue}\boxed{\color{black}0}  & 3 & 5 & -2  \\[2ex] 0 & 1 & 0 & 1 & 3  & -1  \\[2ex]  0 & 0 &  1  & -2 & -5  & 2  \end{array} \right)

Una volta che abbiamo convertito con successo la matrice sinistra in una matrice identità, conosciamo anche la matrice inversa. Perché la matrice inversa è la matrice che otteniamo sul lato destro convertendo la matrice sinistra in matrice identità . L’inversa della matrice è quindi:

Esempio di matrice inversa 3x3

Esercizi risolti su matrici inverse con il metodo di Gauss

Esercizio 1

Invertire la seguente matrice tramite il metodo di Gauss:

\displaystyle A=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\[1.1ex] 1 & 3  \end{pmatrix}

La prima cosa che dobbiamo fare è combinare la matrice A e la matrice Identità in un’unica matrice. La matrice A a sinistra e la matrice identità a destra:

\displaystyle \left( A \ | \ I \right)

esercizio risolto di una matrice inversa con il metodo 2x2 Gauss

Ora, per calcolare la matrice inversa, dobbiamo convertire la matrice del lato sinistro in matrice identità. E, per farlo, dobbiamo applicare le trasformazioni alle righe finché non arriviamo lì.

Il primo termine di tutti, 1, è già lo stesso della matrice identità. Pertanto, in questo momento non è necessario applicare una trasformazione alla prima riga.

Tuttavia, la matrice identità ha uno 0 nell’ultimo elemento della prima colonna, dove ora abbiamo un 1. Dobbiamo quindi convertire 1 in 0. Per fare ciò, sottraiamo la riga 1 dalla riga 2:

\left( \begin{array}{cc|cc}1 & 2 & 1 & 0 \\[1.5ex] 1 & 3 & 0 & 1\end{array} \right) \begin{array}{c} \\[1.5ex] \xrightarrow{f_2 - f_1}  \end{array} \left( \begin{array}{cc|cc} 1 & 2 & 1 & 0 \\[1.5ex] 0 & 1 & -1 & 1\end{array} \right)

Passiamo alla seconda colonna: va bene la 1 sotto. Ma non i 2 sopra, poiché la matrice identità ha uno 0 in quella posizione. Pertanto, per convertire il 2 in 0, dalla riga 1 sottraiamo la riga 2 moltiplicata per 2:

\left( \begin{array}{cc|cc} 1 & 2 & 1 & 0 \\[1.5ex] 0 & 1 & -1 & 1 \end{array} \right) \begin{array}{c}  \xrightarrow{f_1 - 2f_2} \\[1.5ex] & \end{array} \left( \begin{array}{cc|cc} 1 & 0 & 3 & -2 \\[1.5ex] 0 & 1 & -1 & 1 \end{array} \right)

La matrice inversa è la matrice che otteniamo sul lato destro dopo aver convertito la matrice di sinistra in una matrice identità. E ora abbiamo la matrice identità sul lato sinistro. La matrice inversa è quindi:

\bm{A^{-1}= \left(} \begin{array}{cc}  \bm{3} & \bm{-2} \\[1.5ex]  \bm{-1} & \bm{1} \end{array}\bm{ \right)}

Esercizio 2

Invertire la seguente matrice con la procedura gaussiana:

\displaystyle A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & -4 \\[1.1ex]  0 & 3 & 2 \\[1.1ex] 0 & 1 & 1  \end{pmatrix}

Innanzitutto, inseriamo la matrice A e la matrice Identità in un’unica matrice:

\displaystyle \left( A \ | \ I \right)

\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 1 & -4 & 1 & 0 & 0 \\[2ex]  0 & 3 & 2 & 0 & 1 & 0 \\[2ex] 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right)

Ora dobbiamo trasformare le righe fino a convertire la matrice di sinistra in una matrice identità.

La prima colonna della matrice di sinistra è già uguale alla prima colonna della matrice identità. Non è quindi necessario modificare nessuno dei suoi numeri.

Tuttavia, la matrice identità ha un 1 nel secondo elemento della seconda colonna, dove ora c’è un 3. Dobbiamo quindi convertire il 3 in un 1. Per fare ciò, dalla riga 2 sottraiamo la riga 3 moltiplicata per 2:

\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 1 & -4 & 1 & 0 & 0 \\[2ex]  0 & 3 & 2 & 0 & 1 & 0 \\[2ex] 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \begin{array}{c} \\[2ex] \xrightarrow{f_2 - 2f_3} \\[2ex] &  \end{array} \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 1 & 4 & 1 & 0 & 0 \\[2ex]  0 & 1 & 0 & 0 & 1 & -2 \\[2ex] 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right)

La matrice identità ha uno 0 nell’ultimo elemento della seconda colonna, dove ora c’è un 1. Dobbiamo quindi convertire l’1 in 0. Per fare ciò sottraiamo la riga 2 dalla riga 3:

\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 1 & -4 & 1 & 0 & 0 \\[2ex]  0 & 1 & 0 & 0 & 1 & -2 \\[2ex] 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \begin{array}{c} \\[2ex]  \\[2ex] \xrightarrow{f_3 - f_2} \end{array} \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 1 & -4 & 1 & 0 & 0 \\[2ex]  0 & 1 & 0 & 0 & 1 & -2 \\[2ex] 0 & 0 & 1 & 0 & -1 & 3 \end{array} \right)

La matrice identità ha uno 0 nel primo elemento della seconda colonna, dove ora c’è un 1. Dobbiamo quindi convertire 1 in 0. Per fare ciò, sottraiamo la riga 2 dalla riga 1:

\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 1 & -4 & 1 & 0 & 0 \\[2ex]  0 & 1 & 0 & 0 & 1 & -2 \\[2ex] 0 & 0 & 1 & 0 & -1 & 3 \end{array} \right) \begin{array}{c} \xrightarrow{f_1 - f_2} \\[2ex]  \\[2ex] &  \end{array} \left( \begin{array}{ccc|ccc}1 & 0 & -4 & 1 & -1 & 2 \\[2ex]  0 & 1 & 0 & 0 & 1 & -2 \\[2ex] 0 & 0 & 1 & 0 & -1 & 3 \end{array} \right)

Tutto quello che dobbiamo fare ora è convertire -4 in 0. Per fare ciò, aggiungiamo la riga 3 moltiplicata per 4 alla riga 1:

\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & -4 & 1 & -1 & 2 \\[2ex]  0 & 1 & 0 & 0 & 1 & -2 \\[2ex] 0 & 0 & 1 & 0 & -1 & 3\end{array} \right) \begin{array}{c} \xrightarrow{f_1 + 4f_3} \\[2ex]  \\[2ex] &  \end{array} \left( \begin{array}{ccc|ccc}1 & 0 & 0 & 1 & -5 & 14 \\[2ex]  0 & 1 & 0 & 0 & 1 & -2 \\[2ex] 0 & 0 & 1 & 0 & -1 & 3 \end{array} \right)

Abbiamo già ottenuto la matrice identità dal lato sinistro. La matrice inversa è quindi:

\bm{A^{-1}= \left( } \begin{array}{ccc}  \bm{1} & \bm{-5}  & \bm{14} \\[2ex]  \bm{0} & \bm{1} & \bm{-2} \\[2ex] \bm{0} & \bm{-1 }& \bm{3} \end{array} \bm{ \right)}

Esercizio 3

Invertire la seguente matrice utilizzando il metodo gaussiano:

\displaystyle A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\[1.1ex]  0 & 1 & 0 \\[1.1ex] 2 & 0 & 3 \end{pmatrix}

Prima di iniziare a operare, dobbiamo mettere la matrice A e la matrice Identità in un’unica matrice:

\displaystyle \left( A \ | \ I \right)

\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 1 & 1 & 0 & 0 \\[2ex]  0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\[2ex] 2 & 0 & 3 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right)

Dobbiamo ora convertire la matrice di sinistra in una matrice identità operando sulle righe.

I primi due elementi della prima colonna sono già uguali a quelli della matrice identità. Non è quindi necessario modificare tali cifre.

Ma la matrice identità ha uno 0 nel terzo elemento della prima colonna, dove ora c’è un 2. Dobbiamo quindi convertire il 2 in uno 0. Per fare questo, dalla riga 3 sottraiamo la riga 1 moltiplicata per 2:

\left( \begin{array}{ccc|ccc}1 & 2 & 1 & 1 & 0 & 0 \\[2ex]  0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\[2ex] 2 & 0 & 3 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \begin{array}{c} \\[2ex] \\[2ex] \xrightarrow{f_3 - 2f_1}   \end{array} \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 1 & 1 & 0 & 0 \\[2ex]  0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\[2ex] 0 & -4 & 1 & -2 & 0 & 1 \end{array} \right)

La matrice identità ha uno 0 nel primo elemento della seconda colonna, dove ora c’è un 2. Dobbiamo quindi convertire il 2 in uno 0. Per fare questo, dalla riga 1 sottraiamo la riga 2 moltiplicata per 2:

\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 1 & 1 & 0 & 0 \\[2ex]  0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\[2ex] 0 & -4 & 1 & -2 & 0 & 1 \end{array} \right) \begin{array}{c} \xrightarrow{f_1 -2f_2} \\[2ex]  \\[2ex] & \end{array} \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & 1 & -2 & 0\\[2ex]  0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\[2ex] 0 & -4 & 1 & -2 & 0 & 1 \end{array} \right)

La matrice identità ha uno 0 nell’ultimo elemento della seconda colonna, dove ora c’è un -4. Dobbiamo quindi convertire il -4 in 0. Per fare ciò aggiungiamo la riga 2 moltiplicata per 4 alla riga 3:

\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & 1 & -2 & 0\\[2ex]  0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\[2ex] 0 & -4 & 1 & -2 & 0 & 1 \end{array} \right) \begin{array}{c} \\[2ex]  \\[2ex] \xrightarrow{f_3 +4f_2} \end{array} \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & 1 & -2 & 0\\[2ex]  0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\[2ex] 0 & 0 & 1 & -2 & 4 & 1 \end{array} \right)

Tutto quello che dobbiamo fare ora è convertire il primo elemento della terza colonna in 0. Per fare ciò, aggiungiamo la riga 3 moltiplicata per -1 alla riga 1:

\left( \begin{array}{ccc|ccc}1 & 0 & 1 & 1 & -2 & 0\\[2ex]  0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\[2ex] 0 & 0 & 1 & -2 & 4 & 1 \end{array} \right) \begin{array}{c} \xrightarrow{f_1 - f_3} \\[2ex]  \\[2ex] &  \end{array} \left( \begin{array}{ccc|ccc}1 & 0 & 0 & 3 & -6  & -1\\[2ex]  0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\[2ex] 0 & 0 & 1 & -2 & 4 & 1 \end{array} \right)

Abbiamo già capito che la matrice a sinistra è la matrice identità. Quindi l’inverso della matrice

A

Est:

\bm{A^{-1}= \left( } \begin{array}{ccc}  \bm{3} & \bm{-6}  & \bm{-1} \\[2ex]  \bm{0} & \bm{1} & \bm{0} \\[2ex] \bm{-2} & \bm{4}& \bm{1} \end{array} \bm{ \right)}

Esercizio 4

Invertire la seguente matrice utilizzando il metodo gaussiano:

\displaystyle A=\begin{pmatrix} 1 & -2 & 0 \\[1.1ex]  1 & 2 & 2 \\[1.1ex] 0 & 3 & 2 \end{pmatrix}

La prima cosa che dobbiamo fare è unire la matrice A e la matrice Identità in un’unica matrice:

\displaystyle \left( A \ | \ I \right)

\left( \begin{array}{ccc|ccc}1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\[2ex] 1 & 2 & 2 & 0 & 1 & 0 \\[2ex] 0 & 3 & 2 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right)

Dobbiamo ora convertire la matrice a sinistra in una matrice identità applicando operazioni sulle righe.

Il primo elemento della prima colonna è già uguale a quello della matrice identità. Non è quindi necessario modificarlo.

Tuttavia, la matrice identità ha uno 0 nel secondo elemento della prima colonna, dove ora c’è un 1. Dobbiamo quindi convertire l’1 in 0. Per fare ciò, sottraiamo la riga 1 dalla riga 2:

\left( \begin{array}{ccc|ccc}1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\[2ex] 1 & 2 & 2 & 0 & 1 & 0 \\[2ex] 0 & 3 & 2 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \begin{array}{c} \\[2ex] \xrightarrow{f_2 - f_1} \\[2ex] &  \end{array} \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\[2ex] 0 & 4 & 2 & -1 & 1 & 0 \\[2ex] 0 & 3 & 2 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right)

Passiamo alla seconda colonna: trasformiamo prima il 4 in un 1 dividendo la seconda riga per 4:

\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\[2ex] 0 & 4 & 2 & -1 & 1 & 0 \\[2ex] 0 & 3 & 2 & 0 & 0 & 1\end{array} \right) \begin{array}{c} \\[2ex] \xrightarrow{f_2/4} \\[2ex] &  \end{array} \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\[2ex] 0 & 1 & \sfrac{2}{4} & \sfrac{-1}{4} & \sfrac{1}{4} & 0 \\[2ex] 0 & 3 & 2 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right)

La matrice identità ha uno 0 nel primo elemento della seconda colonna, dove ora c’è un -2. Dobbiamo quindi convertire -2 in 0. Per fare ciò, aggiungiamo la riga 2 moltiplicata per 2 alla riga 1:

\begin{array}{lrrr|rcr} & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ + & 0 & 2 & 1 & \vphantom{\Bigl(}\sfrac{-2}{4} & \sfrac{2}{4} & 0 \\ \hline & 1 & 0 & 1 & \sfrac{2}{4} & \sfrac{2}{4} \vphantom{\Bigl(}& 0 \end{array} \begin{array}{l} \color{blue}\bm{\leftarrow f_1} \\ \color{blue}\bm{\leftarrow 2f_2}\vphantom{\Bigl(} \\ \phantom{hline} \vphantom{\Bigl(} \end{array}

\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\[2ex] 0 & 1 & \sfrac{2}{4} & \sfrac{-1}{4} & \sfrac{1}{4} & 0 \\[2ex] 0 & 3 & 2 & 0 & 0 & 1\end{array} \right) \begin{array}{c} \xrightarrow{f_1 +2f_2} \\[2ex]  \\[2ex] & \end{array} \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & \sfrac{2}{4} & \sfrac{2}{4} & 0 \\[2ex] 0 & 1 & \sfrac{2}{4} & \sfrac{-1}{4} & \sfrac{1}{4} & 0 \\[2ex] 0 & 3 & 2 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right)

La matrice identità ha uno 0 nell’ultimo elemento della seconda colonna, dove ora c’è un 3. Dobbiamo quindi convertire il 3 in uno 0. Per fare questo, dalla riga 3 sottraiamo la riga 2 moltiplicata per 3:

\begin{array}{lrrr|crr} & 0 & 3 & 2 & 0 & 0\phantom{0} & 1 \\ + & 0 & -3 & \vphantom{\Bigl(}\sfrac{-6}{4} & \sfrac{3}{4} & \sfrac{-3}{4} & 0 \\ \hline & 0 & 0 & \vphantom{\Bigl(}\sfrac{2}{4} & \sfrac{3}{4} & \sfrac{-3}{4} & 1 \end{array} \begin{array}{l} \color{blue}\bm{\leftarrow f_3} \\ \color{blue}\bm{\leftarrow -3f_2}\vphantom{\Bigl(} \\ \phantom{hline} \vphantom{\Bigl(} \end{array}

\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & \sfrac{2}{4} & \sfrac{2}{4} & 0 \\[2ex] 0 & 1 & \sfrac{2}{4} & \sfrac{-1}{4} & \sfrac{1}{4} & 0 \\[2ex] 0 & 3 & 2 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \begin{array}{c} \\[2ex]  \\[2ex] \xrightarrow{f_3 -3f_2} \end{array} \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & \sfrac{2}{4} & \sfrac{2}{4} & 0 \\[2ex] 0 & 1 & \sfrac{2}{4} & \sfrac{-1}{4} & \sfrac{1}{4} & 0 \\[2ex] 0 & 0 &\sfrac{2}{4} & \sfrac{3}{4} & \sfrac{-3}{4} & 1  \end{array} \right)

Passiamo alla terza colonna: dobbiamo trasformare l’ultima

\sfrac{2}{4}

in 1. Per fare ciò, moltiplichiamo la terza riga per 2:

\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & \sfrac{2}{4} & \sfrac{2}{4} & 0 \\[2ex] 0 & 1 & \sfrac{2}{4} & \sfrac{-1}{4} & \sfrac{1}{4} & 0 \\[2ex] 0 & 0 &\sfrac{2}{4} & \sfrac{3}{4} & \sfrac{-3}{4} & 1   \end{array} \right) \begin{array}{c} \\[2ex]  \\[2ex] \xrightarrow{2f_3 } \end{array} \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & \sfrac{2}{4} & \sfrac{2}{4} & 0 \\[2ex] 0 & 1 & \sfrac{2}{4} & \sfrac{-1}{4} & \sfrac{1}{4} & 0 \\[2ex] 0 & 0 & 1 & \sfrac{6}{4} & \sfrac{-6}{4} & 2   \end{array} \right)

La matrice identità ha uno 0 nel secondo elemento dell’ultima colonna. È quindi necessario convertire il

\sfrac{2}{4}

in uno 0. Per fare ciò, dalla riga 2 sottraiamo la riga 3 divisa per 2:

\begin{array}{lrrr|ccr} & 0 & 1 & \vphantom{\Bigl(} \sfrac{2}{4} & \sfrac{-1}{4} & \sfrac{1}{4} & 0 \\ + & 0 & 0 & \vphantom{\Bigl(} \sfrac{-1}{2} & \sfrac{-6}{8} & \sfrac{6}{8} & -1  \\ \hline & 0 & 1 & 0\phantom{0} & -1 & 1 & -1\vphantom{\Bigl(} \end{array} \begin{array}{l} \color{blue}\bm{\leftarrow f_2}\vphantom{\Bigl(}  \\ \color{blue}\bm{\leftarrow -f_3/2}\vphantom{\Bigl(} \\ \phantom{hline} \vphantom{\Bigl(} \end{array}

\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & \sfrac{2}{4} & \sfrac{2}{4} & 0 \\[2ex] 0 & 1 & \sfrac{2}{4} & \sfrac{-1}{4} & \sfrac{1}{4} & 0 \\[2ex] 0 & 0 & 1 & \sfrac{6}{4} & \sfrac{-6}{4} & 2 \end{array} \right) \begin{array}{c} \\[2ex] \xrightarrow{f_2-f_3/2 } \\[2ex] & \end{array} \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & \sfrac{2}{4} & \sfrac{2}{4} & 0 \\[2ex] 0 & 1 & 0 & -1 & 1 & -1 \\[2ex] 0 & 0 & 1 & \sfrac{6}{4} & \sfrac{-6}{4} & 2   \end{array} \right)

Tutto quello che dobbiamo fare ora è convertire il primo elemento della terza colonna in 0. Per fare ciò sottraiamo la riga 3 dalla riga 1:

\begin{array}{lrrr|rcr} & 1 & 0 & 1 & \sfrac{2}{4} & \sfrac{2}{4} & 0 \vphantom{\Bigl(} \\ + & 0 & 0 & -1 & \sfrac{-6}{4} & \sfrac{6}{4} & -2 \vphantom{\Bigl(}  \\ \hline & 1 & 0 & 0 & -1 & 2 & -2 \vphantom{\Bigl(} \end{array} \begin{array}{l} \color{blue}\bm{\leftarrow f_1}\vphantom{\Bigl(}  \\ \color{blue}\bm{\leftarrow -f_3}\vphantom{\Bigl(} \\ \phantom{hline} \vphantom{\Bigl(} \end{array}

\left( \begin{array}{ccc|ccc}1 & 0 & 1 & \sfrac{2}{4} & \sfrac{2}{4} & 0 \\[2ex] 0 & 1 & 0 & -1 & 1 & -1 \\[2ex] 0 & 0 & 1 & \sfrac{6}{4} & \sfrac{-6}{4} & 2 \end{array} \right) \begin{array}{c} \xrightarrow{f_1-f_3 }  \\[2ex] \\[2ex] & \end{array} \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & -1 & 2 & -2 \\[2ex] 0 & 1 & 0 & -1 & 1 & -1 \\[2ex] 0 & 0 & 1 & \sfrac{6}{4} & \sfrac{-6}{4} & 2   \end{array} \right)

La matrice inversa è quindi:

A^{-1}= \left(  \begin{array}{ccc}  -1  & 2 & -2 \\[2ex]  -1 & 1 & -1 \\[2ex] \sfrac{6}{4} &\sfrac{-6}{4} & 2 \end{array} \bm{ \right)}

Infine, le frazioni della matrice inversa possono essere semplificate:

\bm{A^{-1}= \left( } \begin{array}{ccc}  \bm{-1} & \bm{2}  & \bm{-2} \\[2ex]  \bm{-1} & \bm{1} & \bm{-1} \\[2ex] \sfrac{\bm{3}}{\bm{2}} &\sfrac{\bm{-3}}{\bm{2}} & \bm{2} \end{array} \bm{ \right)}

Proprietà della matrice inversa

La matrice inversa ha le seguenti caratteristiche:

  • L’inversa di una matrice è unica .
  • L’ inverso della matrice inversa è la matrice originale:

\left(A^{-1}\right)^{-1} = A

  • L’ inverso della moltiplicazione di due matrici è uguale al prodotto degli inversi delle matrici ma cambiando il loro ordine.

\left(A \cdot B)^{-1} = B^{-1} \cdot A^{-1}

  • Trasporre una matrice e poi fare l’inverso della matrice è come fare prima l’inversione della matrice e poi trasporla.

\left(A^t\right)^{-1} = \left(A^{-1}\right)^{t}

  • Per risolvere il determinante dell’inversa di una matrice possiamo calcolare il determinante della matrice e poi fare la sua inversa, poiché le due operazioni danno lo stesso risultato.

\displaystyle det\left(A^{-1}\right) =\bigl( det(A) \bigr) ^{-1} = \cfrac{1}{det(A)}

Formula per calcolare rapidamente l’inversa di una matrice 2×2

Come abbiamo visto, qualsiasi matrice può essere invertita mediante il metodo dei determinanti o mediante il metodo di Gauss. Ma, separatamente, esiste anche una formula per trovare molto rapidamente l’inverso di una matrice 2×2 :

formula per trovare l'inversa di una matrice 2x2, formula della matrice inversa 2x2

Come puoi vedere, invertire una matrice 2×2 è semplice: basta risolvere il determinante della matrice

(|A|)

, alterna la posizione degli elementi della diagonale principale e cambia il segno degli elementi della diagonale secondaria.

Esempio di come ottenere una matrice inversa 2×2 con la formula

Calcola l’inversa della seguente matrice quadrata 2 × 2:

\displaystyle  A = \begin{pmatrix} 3 & 5 \\[1.1ex] -2 & -4 \end{pmatrix}

Il determinante della matrice A è:

\displaystyle  \begin{aligned}\begin{vmatrix}A\end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 3 & 5 \\[1.1ex] -2 & -4 \end{vmatrix} & = 3 \cdot (-4)- (-2) \cdot 5 \\ & = -12-(-10) \\[2ex] & =-12+10\\[2ex] &=-2\end{aligned}

Ora applichiamo la formula della matrice inversa :

\displaystyle A = \begin{pmatrix} a & b \\[1.1ex] c & d \end{pmatrix}\longrightarrow A^{-1} = \cfrac{1}{|A|} \begin{pmatrix} d & -b \\[1.1ex] -c & a \end{pmatrix}

\displaystyle A = \begin{pmatrix} 3 & 5 \\[1.1ex] -2 & -4 \end{pmatrix}\longrightarrow A^{-1} = \cfrac{1}{-2} \begin{pmatrix} -4 & -5 \\[1.1ex] 2 & 3 \end{pmatrix}

E moltiplichiamo la matrice per la frazione:

\displaystyle  A^{-1} =\begin{pmatrix} \cfrac{-4}{-2} & \cfrac{-5}{-2} \\[3ex] \cfrac{2}{-2} & \cfrac{3}{-2} \end{pmatrix}

La matrice invertita A è quindi:

\displaystyle  \bm{A^{-1} =}\begin{pmatrix} \bm{2} & \cfrac{\bm{5}}{\bm{2}} \\[3ex] \bm{-1} & \bm{-}\cfrac{\bm{3}}{\bm{2}} \end{pmatrix}

Come puoi vedere, invertire una matrice con questa formula è molto più veloce, ma può essere utilizzata solo su matrici di dimensione 2×2.

Esercizi risolti di matrici inverse 2×2 con la formula

Esercizio 1

Invertiamo la seguente matrice di dimensione 2×2:

\displaystyle A=\begin{pmatrix} 2 & 5 \\[1.1ex] 1 & 3 \end{pmatrix}

Il determinante della matrice A è:

\displaystyle  \begin{aligned}\begin{vmatrix}A\end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 2 & 5 \\[1.1ex] 1 & 3 \end{vmatrix} & = 2 \cdot 3- 1 \cdot 5 \\ & = 6-5 \\[2ex] & =1\end{aligned}

Ora applichiamo la formula per trovare la matrice inversa:

\displaystyle A = \begin{pmatrix} a & b \\[1.1ex] c & d \end{pmatrix}\longrightarrow A^{-1} = \cfrac{1}{|A|} \begin{pmatrix} d & -b \\[1.1ex] -c & a \end{pmatrix}

\displaystyle  A=\begin{pmatrix} 2 & 5 \\[1.1ex] 1 & 3 \end{pmatrix} \longrightarrow A^{-1} = \cfrac{1}{1} \begin{pmatrix} 3 & -5 \\[1.1ex] -1 & 2 \end{pmatrix}

L’inversa della matrice A è quindi:

\displaystyle  \bm{A^{-1} =}\begin{pmatrix} \bm{3} & \bm{-5} \\[1.1ex] \bm{-1} & \bm{2} \end{pmatrix}

Esercizio 2

Calcolare l’inversa della seguente matrice di ordine 2:

\displaystyle A=\begin{pmatrix} 2 & 6 \\[1.1ex] -1 & -2 \end{pmatrix}

Il determinante della matrice A è:

\displaystyle  \begin{aligned}\begin{vmatrix}A\end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 2 & 6 \\[1.1ex] -1 & -2 \end{vmatrix} & = 2 \cdot (-2)- (-1) \cdot 6 \\ & = -4-(-6) \\[2ex] & =-4+6 \\[2ex] & =2\end{aligned}

Applichiamo ora la formula per risolvere la matrice inversa di dimensione 2×2:

\displaystyle A = \begin{pmatrix} a & b \\[1.1ex] c & d \end{pmatrix}\longrightarrow A^{-1} = \cfrac{1}{|A|} \begin{pmatrix} d & -b \\[1.1ex] -c & a \end{pmatrix}

\displaystyle  A=\begin{pmatrix} 2 & 6 \\[1.1ex] -1 & -2 \end{pmatrix} \longrightarrow A^{-1} = \cfrac{1}{2} \begin{pmatrix} -2 & -6 \\[1.1ex] 1 & 2 \end{pmatrix}

E infine facciamo la moltiplicazione:

\displaystyle  A^{-1} = \begin{pmatrix} \cfrac{-2}{2} & \cfrac{-6}{2} \\[3ex] \cfrac{1}{2} & \cfrac{2}{2} \end{pmatrix}

\displaystyle  \bm{A^{-1} =}\begin{pmatrix} \bm{-1} & \bm{-3} \\[2ex] \cfrac{\bm{1}}{\bm{2}} & \bm{1} \end{pmatrix}

Esercizio 3

Invertiamo la seguente matrice 2×2:

\displaystyle A=\begin{pmatrix} 4 & 1 \\[1.1ex] 5 & 2 \end{pmatrix}

Il determinante della matrice A è:

\displaystyle  \begin{aligned}\begin{vmatrix}A\end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 4 & 1 \\[1.1ex] 5 & 2\end{vmatrix} & = 4 \cdot 2 - 5 \cdot 1 \\ & = 8-5 \\[2ex] &  =3\end{aligned}

Applichiamo ora la formula per calcolare la matrice inversa di dimensione 2×2:

\displaystyle A = \begin{pmatrix} a & b \\[1.1ex] c & d \end{pmatrix}\longrightarrow A^{-1} = \cfrac{1}{|A|} \begin{pmatrix} d & -b \\[1.1ex] -c & a \end{pmatrix}

\displaystyle  A=\begin{pmatrix} 4 & 1 \\[1.1ex] 5 & 2 \end{pmatrix} \longrightarrow A^{-1} = \cfrac{1}{3} \begin{pmatrix} 2 & -1 \\[1.1ex] -5 & 4 \end{pmatrix}

E infine, facciamo il prodotto tra la frazione e la matrice:

\displaystyle  A^{-1} = \begin{pmatrix} \cfrac{\bm{2}}{\bm{3}} & \bm{-}\cfrac{\bm{1}}{\bm{3}} \\[3ex] \bm{-}\cfrac{\bm{5}}{\bm{3}} & \cfrac{\bm{4}}{\bm{3}} \end{pmatrix}

Esercizio 4

Trovare l’inversa della seguente matrice del secondo ordine:

\displaystyle A=\begin{pmatrix} -2 & 5 \\[1.1ex] -3 & 10 \end{pmatrix}

Il determinante della matrice A è:

\displaystyle  \begin{aligned}\begin{vmatrix}A\end{vmatrix} = \begin{vmatrix} -2 & 5 \\[1.1ex] -3 & 10\end{vmatrix} & = (-2) \cdot 10- (-3) \cdot 5 \\ & = -20-(-15) \\[2ex] & =-20+15 \\[2ex] & =-5\end{aligned}

Ora applichiamo la formula per creare la matrice inversa di dimensione 2×2:

\displaystyle A = \begin{pmatrix} a & b \\[1.1ex] c & d \end{pmatrix}\longrightarrow A^{-1} = \cfrac{1}{|A|} \begin{pmatrix} d & -b \\[1.1ex] -c & a \end{pmatrix}

\displaystyle  A=\begin{pmatrix} -2 & 5 \\[1.1ex] -3 & 10\end{pmatrix} \longrightarrow A^{-1} = \cfrac{1}{-5} \begin{pmatrix} 10 & -5 \\[1.1ex] 3 & -2 \end{pmatrix}

E infine facciamo la moltiplicazione:

\displaystyle  A^{-1} = \begin{pmatrix} \cfrac{10}{-5} & \cfrac{-5}{-5} \\[3ex] \cfrac{3}{-5} & \cfrac{-2}{-5} \end{pmatrix}

\displaystyle  \bm{A^{-1} =}\begin{pmatrix} \bm{-2} & \bm{1} \\[2ex] \bm{-}\cfrac{\bm{3}}{\bm{5}} & \cfrac{\bm{2}}{\bm{5}} \ \end{pmatrix}

Risolvere un sistema di equazioni con la matrice inversa

È difficile apprezzare le reali applicazioni dell’inverso di una matrice. Infatti, probabilmente ti starai chiedendo… a cosa serve la matrice inversa? Serve davvero a qualcosa?

Ebbene, uno degli usi della matrice inversa è risolvere sistemi di equazioni lineari . E sì, anche se possono sembrare due concetti molto diversi, è possibile trovare la soluzione di un sistema di equazioni invertendo una matrice.

Vediamo con un esempio come si realizza:

  • Calcola la soluzione del seguente sistema di equazioni con la matrice inversa:

\left. \begin{array}{r} x+3y=5 \\[2ex] 2x+4y=6 \end{array} \right\}

Innanzitutto va osservato che un sistema di equazioni può essere espresso sotto forma di matrici:

\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 3 \\[1.1ex] 2 & 4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\[1.1ex]y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\[1.1ex] 6 \end{pmatrix}

Possiamo verificare che questa forma matriciale del sistema equivale all’espressione con equazioni: se moltiplichiamo le matrici vedremo che otteniamo le due equazioni del sistema.

Ora, per semplificare i passaggi successivi, chiameremo

A

alla matrice che ha i coefficienti delle incognite,

X

alle colonne della matrice con le incognite, e

B

alla matrice colonna con termini indipendenti:

\displaystyle AX=B

Quindi la matrice

X

è l’incognita dell’equazione della matrice.

Per risolvere questa equazione di matrice, è necessario seguire una procedura che non spiegheremo in modo così dettagliato qui. Se vuoi capirlo completamente, puoi dare un’occhiata a come risolvere le equazioni con le matrici , dove spieghiamo l’intero processo passo dopo passo.

Questa procedura si basa su una proprietà delle matrici inverse: qualsiasi matrice moltiplicata per la sua inversa è uguale alla matrice Identità (o Unità). Pertanto, la matrice sconosciuta può essere facilmente risolta

X

moltiplicando entrambi i membri dell’equazione per l’inverso della matrice A:

\displaystyle AX=B

\displaystyle A^{-1}\cdot AX=A^{-1}\cdot B

\displaystyle IX=A^{-1}\cdot B

\displaystyle X=A^{-1}\cdot B

E una volta che abbiamo isolato la matrice

X

, calcoliamo l’inverso di

A

e risolviamo il prodotto di matrici:

\displaystyle X=\left.\begin{pmatrix} 1 & 3 \\[1.1ex] 2 & 4 \end{pmatrix}\right.^{-1}\cdot \begin{pmatrix} 5 \\[1.1ex] 6 \end{pmatrix}

\displaystyle X=\cfrac{1}{-2} \begin{pmatrix} 4 & -3 \\[1.1ex] -2 & 1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 5 \\[1.1ex] 6 \end{pmatrix}

\displaystyle X= \begin{pmatrix} -1 \\[1.1ex] 2 \end{pmatrix}

La soluzione del sistema di equazioni è quindi:

\displaystyle \bm{x=-1} \qquad \bm{y=2}

Lascia un commento

Il tuo indirizzo email non sarà pubblicato. I campi obbligatori sono contrassegnati *

Torna in alto